2011年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题(理科)(解析版).pdf

2011 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理）试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设函数2,0,()()4,0.x xf xfxx若,则实数=()（A）-4 或-2 （B）-4 或 2 （C）-2 或 4 （D）-2 或 2【答案】B 【解析】当0时，4,42)(f；当0，4,42)(2f.（2）把复数z的共轭复数记作z，i 为虚数单位，若 z=1+I,则(1)zz()（A）3-i （B）3+i （C）1+3i （D）3【答案】A 【解析】iz1，iz1，izzzz3)1)(2()1(.(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()【答案】D 【解析】由正视图可排除 A、B 选项；由俯视图可排除 C 选项.（4）下列命题中错误的是()（A）如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（C）如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面（D）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】D 【解析】若面面，在面内与面的交线不相交的直线平行平面，故 A 正确；B 中若内存在直线垂直平面，则，与题没矛盾，所以 B 正确；由面面的性质知选项 C 正确.（5）设实数,x y满足不等式组250270,0 xyxyx，y 0，若,x y为整数，则34xy的最小值是()（A）14 （B）16 （C）17 （D）19【答案】B 【解析】可行域如图所示 联立072052yxyx，解之得13yx，又边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为43，当yxz43 过点（4，1）时，有最小值 16.（6）若02，02-，1cos()43，3cos()423，则cos()2()（A）33 （B）33 （C）5 39 （D）69【答案】C 【解析】31)4cos(，20，332)4sin(，又33)24cos(，02，36)24sin(，)24()4cos()2cos()24sin()4sin()24cos()4cos(363323331935.（7）若,a b为实数，则“01mab”是11abba 或 的()（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当0,0ba时，由10 ab两边同除b可得ba1成立；当0,0ba时，两边同除以a可得ab1成立，“10 ab”是“ba1或ab1”的充会条件，反过来0ab，由ba1或o x y 2x+y-7=0 X+2y-5=0 ab1得不到10 ab.（8）已知椭圆22122:1(0)xyCabab 与双曲线221:14yCx 有公共的焦点，2C的一条渐近线与以1C的长轴为直径的圆相交于,A B两点，若1C恰好将线段AB三等分，则()（A）2132a （B）213a （C）212b （D）22b 【答案】C 【解析】由双曲线422yx 1 知渐近线方程为xy2，又椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆方程可化为22xb225 yb 225 bb，联立直线与椭圆方程消y得，20552222bbbx，又1C将线段 AB 三等分，3220552212222abbb，解之得212b.（9）有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率()（A）15 （B）25 （C）35 D45【答案】B 【解析】由古典概型的概率公式得522155222233232222AAAAAAAP.（10）设 a，b，c 为实数，)1)1()(),)()(22bxcxaxxgcbxxaxxf（.记集合S=()0,()0,x f xxRTx g xxR若S，T分别为集合元素 S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是()（A）S=1 且T=0 （B）1T=1S 且（C）S=2 且T=2 （D）S=2 且T=3【答案】C 【解析】当0cba时，1s且 0|T；当0,0ba 且042 cb时，1s且1|T；当04,02aba时，2s且3|T.非选择题部分（共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分（11）若函数2()f xxxa为偶函数，则实数a 。【答案】0 【解析】)(xf为偶函数，)()(xfxf，即,|)(|22axaxaxxaxx0a.（12）若某程序图如图所示，则该程序运行后输出的 k 的值是 。【答案】5 【解析】3k时，34a64，43b84，ba；4k时，44a256，44b256，ba；5k时，54a2564，45b625，ba.（13）设二项式)0()(6axax的展开式中3x的系数为 A,常数项为 B，若 B=4A，则 a 的值是 。【答案】2 【解析】由题意得kkkkkkkxCaxaxCT2366661，262CaA，464CaB，又AB4，464Ca2624Ca，解之得42a，又0a，2a.（14）若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为12，则 与 的夹角的取值范围是 。【答案】65,6 【解析】由题意得：21sin，1，1，2121sin，又),0(，)65,6(.（15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X 为该毕业生得到面试得公司个数。若1(0)12P X，则随机变量 X 的数学期望()E X 【答案】35 【解析】12132102pXP，21p.31221312132122XP，125213122132222XP，61213232XP，3561312523111210XE.（16）设,x y为实数，若2241,xyxy则2xy的最大值是 .。【答案】5102 【解析】1422xyyx，13)2(2xyyx，即1223)2(2xyyx，1)22(23)2(22yxyx，解之得：58)2(2 yx，即51022 yx.（17）设12,F F分别为椭圆2213xy的焦点，点,A B在椭 圆上，若125F AF B;则点A的坐标是 .【答案】1,0 【解析】设直线AF1的反向延长线与椭圆交于点B，又BFAF215，由椭圆的对称性可得115FBAF，设11,yxA，22,yxB，又22336|11xAF，|1BF223362x，2121252)223(365)223(36xxxx解之得01x，点 A 的坐标为 1,0.三、解答题;本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（18）（本题满分 14 分）在ABC中，角.A BC所对的边分别为 a,b,c.已知sinsinsin,ACpB pR且214acb.（）当5,14pb时，求,a c的值；()若角B为锐角，求 p 的取值范围；18本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。（I）解：由题设并利用正弦定理，得5,41,4acac 解得1,1,41,1.4aacc或 （II）解：由余弦定理，2222cosbacacB 222222()22cos11cos,2231cos,22acacacBp bbbBpB即 因为230cos1,(,2)2Bp得，由题设知60,2.2pp所以 （19）（本题满分 14 分）已知公差不为 0 的等差数列 na的首项1a为 a(aR),设数列的前 n 项和为nS，且11a，21a，41a成等比数列（1）求数列 na的通项公式及nS（2）记1231111.nnASSSS，212221111.nnBaaaa，当2n 时，试比较nA与nB的大小.19本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分 14 分。（I）解：设等差数列 na的公差为 d，由2214111(),aaa 得2111()(3)ada ad 因为0d，所以da所以1(1),.2nnan nana S（II）解：因为12 11()1nSa nn，所以 123111121(1)1nnASSSSan 因为1122nnaa，所以 21122211()11111212(1).1212nnnnBaaaaaa 当0122,21nnnnnnnCCCCn时，即1111,12nn 所以，当0,;nnaAB时 当0,.nnaAB时 （20）本题满分 15 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC8，PO4，AO3，OD2（）证明：APBC；（）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。20本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分 15 分。方法一：（I）证明：如图，以 O 为原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz 则(0,0,0),(0,3,0),(4,2,0),(4,2,0),(0,0,4)OABCP，(0,3,4),(8,0,0)APBC，由此可得0AP BC，所以 APBC，即.APBC（II）解：设,1,(0,3,4)PMPAPM则 BMBPPMBPPA(4,2,4)(0,3,4)(4,23,44)(4,5,0),(8,0,0)ACBC 设平面 BMC 的法向量1111(,)nx y z，平面 APC 的法向量2n222(,)xyz 由110,0,BM nBC n 得11114(23)(44)0,80,xyxx 即11110,23(0,1,)2344,44xnzy可取 由220,0.AP nAC n即2222340,450,yzxy 得222225,4(5,4,3).3,4xynzy 可取 由12230,430,44n n 得 解得25，故 AM=3。综上所述，存在点 M 符合题意，AM=3。方法二：（I）证明：由 AB=AC，D 是 BC 的中点，得ADBC 又PO 平面 ABC，得.POBC 因为POADO，所以BC 平面 PAD，故.BCPA（II）解：如图，在平面 PAB 内作BMPA于 M，连 CM，由（I）中知APBC，得AP 平面 BMC，又AP 平面 APC，所以平面 BMC平面 APC。在222,41,41.Rt ADBABADBDAB中得 在222,Rt PODPDPOOD中，在222,Rt PDBPBPDBD中 所以222236,PB=6.PBPOODDB得 在222Rt POA,25,5.PAAOOPPA中得 又2221cos,23PAPBABBPAPA PB 从而 PMcos2PBBPA，所以 AM=PA-PM=3。综上所述，存在点 M 符合题意，AM=3。（21）（21）（本题满分 15 分）已知抛物线1:C2xy，圆2:C22(4)1xy的圆心为点 M。（）求点 M 到抛物线1C的准线的距离；（）已知点 P 是抛物线1C上一点（异于原点），过点 P作圆2C的两条切线，交抛物线1C于 A，B 两点，若过 M，P两点的直线l垂足于 AB，求直线l的方程.21本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。（I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：1,4y 所以圆心 M（0，4）到准线的距离是17.4（II）解：设222001122(,),(,),(,)P x xA x xB x x，则题意得00120,1,xxxx，设过点 P 的圆 C2的切线方程为200()yxk xx，即200ykxkxx 则2002|4|1,1kxxk 即222220000(1)2(4)(4)10 xkxx kx，设 PA，PB 的斜率为1212,()k k kk，则12,k k是上述方程的两根，所以 222000121222002(4)(4)1,.11x xxkkk kxx 将代入222000,yxxkxkxx得 由于0 x是此方程的根，故110220,xkx xkx，所以 222200012121200212002(4)422,.1ABMPx xxxxkxxkkxx kxxxx 由MPAB，得2200002002(4)4(2)(1)1ABMPx xxkkxxx，解得2023,5x 即点 P 的坐标为23 23(,)55，所以直线l的方程为3 1154.115yx （22）（本题满分 14 分）设函数()f x2()lnxax，aR（）若xe为()yf x的极值点，求实数a；（）求实数a的取值范围，使得对任意的x（0,3e，恒有()f x42e成立.注：e为自然对数的底数。22本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分 14 分。（I）解：求导得2()()2()ln()(2ln1).xaafxxaxxaxxx 因为()xef x 是的极值点，所以()()(3)0,afeeae 解得3aeae或经检验，符合题意，所以3.aeae或（II）解：当01x时，对于任意的实数 a，恒有2()04f xe成立；当13xe时，由题意，首先有22(3)(3)ln(3)4feeaee，解得2233ln(3)ln(3)eeeaeee，由（I）知()()(2ln1),afxxaxx 令()2ln1,(1)10,()2ln0,ah xxhah aax 则 且23ln(3)(3)2ln(3)12ln(3)133eeeaheeeee 12(ln3)0.ln3ee 又()(0,)h x在内单调递增 所以函数()(0,)h x在内有唯一零点，记此零点为000,13,1.xxexa则 从而，当0(0,)xx时，()0;fx 当0(,),()0;xx afx时 当(,)xa时，()0.fx 即0()(0,)f xx在内单调递增，在0(,)x a内单调递减，在(,)a 内单调递增。所以要使2()41,3f xexe对恒成立，只要 2200022()()ln4,(1)(3)(3)ln(3)4,(2)f xxaxefeeaee 成立。由000()2ln10ah xxx，知 0002ln,axxx （3）将（3）代入（1）得232004ln4.xxe 又01x，注意到函数33ln1,xx在内单调递增，故01xe。再由（3）以及函数2 ln(1,)xxx在内单调递增，可得13.ae 由（2）解得，2233.ln(3)ln(3)eeeaeee 所以233.ln(3)eeaee 综上，a 的取值范围是233.ln(3)eeaee