2013年辽宁省高考数学试卷(文科).pdf

第1页（共21页）2013 年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1（5 分）已知集合 A=0,1，2，3，4，B=x|x2,则 AB=（）A0 B0，1 C 0，2 D 0，1,2 2（5 分）复数的模长为(）A B C D2 3（5 分）已知点 A（1，3），B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为（）A B C D 4(5 分）下列关于公差 d0 的等差数列an的四个命题:p1：数列an是递增数列;p2：数列nan是递增数列;p3：数列是递增数列；p4：数列an+3nd是递增数列；其中真命题是（）Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2,p3 Dp1,p4 5（5 分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为20,40），40,60),60，80)，80,100)若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是（）A45 B50 C55 D60 6（5分）在ABC,内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c asinBcosC+csinBcosA=b，且 ab，则B=（）第2页（共21页）A B C D 7（5 分)已知函数 f（x）=ln（3x）+1，则 f（lg2)+f（lg）=（)A1 B0 C1 D2 8（5 分)执行如图所示的程序框图，若输入 n=8，则输出 S=（)A B C D 9(5 分）已知点 O(0，0），A（0,b），B（a，a3），若OAB 为直角三角形，则必有（）Ab=a3 B C D 10（5 分)已知三棱柱ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O的球面上，若 AB=3，AC=4，ABAC,AA1=12,则球 O 的半径为（)A B C D 11（5 分）已知椭圆 C：的左焦点 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连结 AF，BF,若|AB|=10,|AF=6，,则 C 的离心率为（)A B C D 第3页（共21页）12（5 分)已知函数 f（x）满足 f（x）=x22(a+2)x+a2，g（x）=x2+2（a2)xa2+8设 H1(x)=maxf（x),g（x），H2（x)=minf(x)，g（x)（max(p,q）表示p,q 中的较大值，min（p，q）表示 p,q 中的较小值），记 H1（x）的最小值为 A，H2（x）的最大值为 B，则 AB=（)Aa22a16 Ba2+2a16 C16 D16 二、填空题 13（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 14（5 分)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前 n 项和若 a1，a3是方程 x25x+4=0 的两个根，则 S6=15（5 分）已知 F 为双曲线 C：的左焦点,P，Q 为 C 上的点,若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A（5,0）在线段 PQ 上，则PQF 的周长为 16（5 分)为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为 7，样本方差为 4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 三、解答题 17（12 分）设向量,，(1）若,求 x 的值；（2）设函数，求 f（x）的最大值 第4页（共21页）18（12 分）如图，AB 是圆 O 的直径，PA圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点（1）求证：BC平面 PAC;（2）若 Q 为 PA 的中点，G 为AOC 的重心,求证：QG平面 PBC 19（12 分）现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 2 道题解答（1)所取的 2 道题都是甲类题的概率;（2)所取的 2 道题不是同一类题的概率 20（12 分）如图，抛物线 C1：x2=4y，C2：x2=2py（p0），点 M（x0，y0)在抛物线 C2上，过 M 作 C1的切线，切点为 A，B（M 为原点 O 时，A，B 重合于 O）,当 x0=1时，切线 MA 的斜率为 （）求 P 的值；（）当 M 在 C2上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A，B 重合于 O 时，中点为 O）21（12 分）（1）证明:当 x0，1时，;（2）若不等式对 x0，1恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。第5页（共21页）22(10 分）（选修 41 几何证明选讲）如图,AB 为O 的直径，直线 CD 与O 相切于 E，AD 垂直 CD 于 D，BC 垂直 CD于 C，EF 垂直于 AB 于 F,连接 AE，BE，证明:（1）FEB=CEB；（2）EF2=ADBC 23在直角坐标系 xOy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为=4sin,cos（)=2（)求 C1与 C2交点的极坐标;（）设 P 为 C1的圆心，Q 为 C1与 C2交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为（tR 为参数），求 a,b 的值 24已知函数 f(x）=xa|，其中 a1（1）当 a=2 时，求不等式 f（x）4x4|的解集；(2）已知关于 x 的不等式|f（2x+a）2f（x）2 的解集x1x2，求 a的值 第6页（共21页）2013 年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题,每小题 5 分，满分 60 分）1(5 分）已知集合 A=0,1，2,3，4，B=x|x|2,则 AB=（）A0 B 0，1 C 0，2 D0,1，2【解答】解:由 B 中的不等式x2,解得:2x2，即 B=（2，2），A=0，1,2，3，4，AB=0，1 故选 B 2(5 分）复数的模长为（)A B C D2【解答】解:复数，所以=故选 B 3（5 分）已知点 A（1,3)，B（4,1)，则与向量同方向的单位向量为（）A B C D【解答】解：已知点 A(1，3），B（4,1），=(4,1）（1，3）=（3，4），=5，则与向量同方向的单位向量为=，故选 A 第7页（共21页）4(5 分）下列关于公差 d0 的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2:数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列;p4：数列an+3nd是递增数列；其中真命题是(）Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2，p3 Dp1，p4【解答】解：对于公差 d0 的等差数列an，an+1an=d0，命题 p1：数列an是递增数列成立，是真命题 对于数列nan,第 n+1 项与第 n 项的差等于（n+1）an+1nan=（n+1）d+an，不一定是正实数,故 p2不正确，是假命题 对 于 数 列，第n+1项 与 第n项 的 差 等 于 =，不一定是正实数，故 p3不正确，是假命题 对于数列an+3nd，第 n+1 项与第 n 项的差等于 an+1+3（n+1）dan3nd=4d0,故命题 p4：数列an+3nd是递增数列成立，是真命题 故选 D 5(5 分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为20，40），40，60)，60,80）,80,100）若低于 60 分的人数是 15人,则该班的学生人数是（)第8页（共21页）A45 B50 C55 D60【解答】解：成绩低于 60 分有第一、二组数据,在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为 0。005,0。01,每组数据的组距为 20，则成绩低于 60 分的频率 P=（0。005+0。010）20=0.3，又低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是=50 故选：B 6(5 分)在ABC，内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c asinBcosC+csinBcosA=b,且 ab，则B=（）A B C D【解答】解:利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB0，sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，ab,AB，即B 为锐角，则B=故选 A 7（5 分）已知函数 f（x)=ln（3x）+1，则 f（lg2)+f（lg)=（）A1 B0 C1 D2【解答】解：函数的定义域为（，+)，f(x)=ln（3x)+1,f（x）+f(x）=ln(+3x）+1+ln（3x）+1=ln（+3x）（3x）+2=ln（1+9x29x2）+2=ln1+2=2，则 f（lg2）+f（lg)=f(lg2）+f(lg2）=2，故选:D 第9页（共21页）8(5 分）执行如图所示的程序框图,若输入 n=8，则输出 S=（）A B C D【解答】解：当 i=2 时，S=0+=，i=4;当 i=4 时，S=+=，i=6；当 i=6 时，S=+=，i=8；当 i=8 时，S=+=，i=10；不满足循环的条件 i8,退出循环，输出 S=故选 A 第10页（共21页）9(5 分）已知点 O(0，0），A（0，b）,B（a，a3），若OAB 为直角三角形，则必有（）Ab=a3 B C D【解答】解：=（a,a3b），=(a，a3)，且 ab0 若，则=ba3=0,a=0 或 b=0，但是 ab0，应舍去;若，则=b（a3b）=0,b0，b=a30;若,则=a2+a3（a3b）=0，得 1+a4ab=0，即 综上可知：OAB 为直角三角形，则必有 故选 C 10（5 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球 O 的半径为（）A B C D【解答】解：因为三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，第11页（共21页）所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直,侧面 B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为 AB=3，AC=4,BC=5，BC1=，所以球的半径为：故选 C 11（5 分)已知椭圆 C：的左焦点 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点,连结 AF，BF，若|AB|=10，|AF=6，,则 C 的离心率为(）A B C D【解答】解：如图所示，在AFB 中，由余弦定理可得|AF|2=AB2+|BF|22|AB|BFcosABF，,化为（BF8）2=0,解得BF|=8 设 F为椭圆的右焦点,连接 BF，AF根据对称性可得四边形 AFBF是矩形|BF=6,|FF=10 2a=8+6,2c=10，解得 a=7，c=5 故选 B 12(5 分）已知函数 f（x）满足 f（x）=x22（a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a 第12页（共21页）2）xa2+8设 H1(x）=maxf（x)，g（x)，H2（x)=minf（x），g（x）（max（p,q）表示 p，q 中的较大值，min(p，q）表示 p，q 中的较小值),记 H1（x)的最小值为 A，H2(x）的最大值为 B,则 AB=(）Aa22a16 Ba2+2a16 C16 D16【解答】解:取 a=2，则 f(x）=x2+4,g（x）=x28x+4画出它们的图象,如图所示 则 H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2(x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由 解得或，A=4，B=20，AB=16 故选 C 二、填空题 13（5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 1616 第13页（共21页）【解答】解:根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为 2，高为 4 的圆筒，四棱柱的底面是边长为 2 的正方形，高也为 4 故其体积为：224224=1616，故答案为：1616 14（5 分）已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前 n 项和若 a1,a3是方程 x25x+4=0 的两个根,则 S6=63 【解答】解：解方程 x25x+4=0，得 x1=1,x2=4 因为数列an是递增数列,且 a1，a3是方程 x25x+4=0 的两个根，所以 a1=1,a3=4 设等比数列an的公比为 q，则，所以 q=2 则 故答案为 63 15(5 分）已知 F 为双曲线 C：的左焦点，P，Q 为 C 上的点,若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0）在线段 PQ 上，则PQF 的周长为 44 【解答】解：根据题意，双曲线 C:的左焦点 F（5,0）,所以点 A(5,0）第14页（共21页）是双曲线的右焦点,虚轴长为：8;双曲线图象如图:|PFAP|=2a=6|QF|QA|=2a=6 而|PQ=16,+得：PF+QF|PQ|=12,周长为：PF+|QF+PQ|=12+2|PQ=44 故答案为：44 16（5 分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为 7,样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 10 【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）5=7;方差 s2=（x17)2+（x27）2+（x37）2+（x47）2+（x57）25=4 从而有 x1+x2+x3+x4+x5=35，（x17）2+(x27）2+(x37)2+(x47）2+（x57）2=20 若样本数据中的最大值为 11，不妨设 x5=11，则式变为：（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的;第15页（共21页）若样本数据为 4，6,7，8，10，代入验证知式均成立,此时样本数据中的最大值为 10 故答案为：10 三、解答题 17（12 分）设向量，,（1）若，求 x 的值；（2)设函数，求 f(x）的最大值【解答】解：（1）由题意可得=+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得 4sin2x=1，即 sin2x=x0,，sinx=,即 x=（2)函数=(sinx,sinx)（cosx,sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x）+x0，2x，,当 2x=,sin（2x）+取得最大值为 1+=18（12 分）如图,AB 是圆 O 的直径,PA圆 O 所在的平面，C 是圆 O 上的点（1）求证：BC平面 PAC；(2)若 Q 为 PA 的中点,G 为AOC 的重心，求证：QG平面 PBC 【解答】解:（1）AB 是圆 O 的直径，PA圆所在的平面，可得 PABC,C 是圆 O 上的点，由直径对的圆周角等于 90，可得 BCAC 第16页（共21页）再由 ACPA=A,利用直线和平面垂直的判定定理可得 BC平面 PAC（2)若 Q 为 PA 的中点，G 为AOC 的重心，连接 OG 并延长交 AC 于点 M，连接 QM，则由重心的性质可得 M 为 AC 的中点 故 OM 是ABC 的中位线，QM 是PAC 的中位线，故有 OMBC，QMPC 而 OM 和 QM 是平面 OQM 内的两条相交直线,AC 和 BC 是平面 PBC 内的两条相交直线,故平面 OQM平面 PBC 又 QG 平面 OQM,QG平面 PBC 19（12 分）现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题，张同学从中任取 2 道题解答（1）所取的 2 道题都是甲类题的概率；（2）所取的 2 道题不是同一类题的概率【解答】解：(1）从中任取 2 道题解答，试验结果有=15 种;设事件 A 为“所取的 2 道题都是甲类题，则包含的基本事件共有 C=6 种，因此，P（A）=(2）设事件 B 为“所取的 2 道题不是同一类题，从 6 件中抽取 2 道，有 C62种情况，而抽出的 2 道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目,有 C41C21=8 种情况，根据古典概型的计算，有 P（B）=20（12 分)如图，抛物线 C1：x2=4y，C2：x2=2py（p0），点 M(x0，y0）在抛物线 C2上,过 M 作 C1的切线，切点为 A，B（M 为原点 O 时，A，B 重合于 O）,当 x0=1时，切线 MA 的斜率为 (）求 P 的值；（）当 M 在 C2上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程（A，B 重合于 O 时,中点为 O）第17页（共21页）【解答】解：（）因为抛物线 C1:x2=4y 上任意一点（x,y）的切线斜率为 y=，且切线 MA 的斜率为，所以设 A 点坐标为(x，y），得，解得 x=1，y=，点 A 的坐标为（1,），故切线 MA 的方程为 y=（x+1）+因为点 M(1，y0）在切线 MA 及抛物线 C2上，于是 y0=(2）+=y0=解得 p=2（)设 N（x，y)，A（x1，),B(x2，)，x1x2，由 N 为线段 AB 中点知 x=，y=切线 MA，MB 的方程为 y=(xx1）+，；y=（xx2)+,由得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标满足 x0=,y0=因为点 M（x0，y0）在 C2上，即 x02=4y0,所以 x1x2=由得 x2=y，x0 当 x1=x2时，A，B 丙点重合于原点 O,A，B 中点 N 为 O，坐标满足 x2=y 第18页（共21页）因此中点 N 的轨迹方程为 x2=y 21(12 分）（1)证明：当 x0,1时，；（2)若不等式对 x0,1恒成立，求实数 a 的取值范围【解答】（1）证明：记 F（x)=sinxx，则 F（x）=cosx 当 x（0，)时,F(x）0，F(x）在0，上是增函数；当 x（，1）时，F（x）0，F（x）在，1上是减函数;又 F(0）=0，F（1）0，所以当 x0,1时，F(x）0，即 sinxx,记 H（x）=sinxx，则当 x（0,1）时,H（x)=cosx10，所以 H（x）在0，1上是减函数；则 H(x)H（0）=0,即 sinxx 综上，xsinxx（2）当 x0，1时，ax+x2+2（x+2）cosx4=（a+2）x+x2+4（x+2）（a+2）x+x2+4（x+2)=(a+2)x，当 a2 时，不等式 ax+x2+2（x+2）cosx4 对 x0,1恒成立，下面证明，当 a2 时,不等式 ax+x2+2(x+2）cosx4 对 x0，1不恒成立 当 x0，1时，ax+x2+2（x+2）cosx4=(a+2）x+x2+4（x+2）(a+2)x+x2+4（x+2）第19页（共21页）=(a+2）xx2（a+2）xx2=xx(a+2）所以存在 x0(0，1）（例如 x0取和中的较小值)满足 ax0+2（x0+2）cosx040，即当 a2 时,不等式 ax+x2+2(x+2）cosx4 对 x0，1不恒成立 综上，实数 a 的取值范围是（，2 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（10 分)（选修 41 几何证明选讲)如图，AB 为O 的直径,直线 CD 与O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C，EF 垂直于 AB 于 F，连接 AE,BE,证明：（1)FEB=CEB；（2)EF2=ADBC 【解答】证明:(1）直线 CD 与O 相切于 E，CEB=EAB AB 为O 的直径,AEB=90 EAB+EBA=90 EFAB,FEB+EBF=90 FEB=EAB CEB=EAB（2)BCCD，ECB=90=EFB，第20页（共21页）又CEB=FEB，EB 公用 CEBFEB CB=FB 同理可得ADEAFE，AD=AF 在 RtAEB 中,EFAB，EF2=AFFB EF2=ADCB 23在直角坐标系 xOy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为=4sin，cos(）=2(）求 C1与 C2交点的极坐标；（）设 P 为 C1的圆心，Q 为 C1与 C2交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为（tR 为参数），求 a，b 的值【解答】解：（I)圆 C1，直线 C2的直角坐标方程分别为 x2+（y2）2=4,x+y4=0,解得或，C1与 C2交点的极坐标为(4，）(2，)(II）由（I）得，P 与 Q 点的坐标分别为（0,2），(1，3），故直线 PQ 的直角坐标方程为 xy+2=0，由参数方程可得 y=x+1，解得 a=1，b=2 24已知函数 f（x）=xa，其中 a1(1）当 a=2 时，求不等式 f(x）4x4|的解集;（2）已知关于 x 的不等式f（2x+a）2f(x）2 的解集x|1x2，求 a 第21页（共21页）的值【解答】解：（1）当 a=2 时，f（x)4x4可化为|x2|+x4|4，当 x2 时,得2x+64，解得 x1；当 2x4 时，得 24，无解；当 x4 时，得 2x64，解得 x5;故不等式的解集为xx5 或 x1（2）设 h（x）=f(2x+a）2f（x),则 h（x)=由|h（x）2 得，又已知关于 x 的不等式|f（2x+a）2f(x）2 的解集x|1x2，所以,故 a=3