2018年专题10几何最值问题含详细答案.pdf

1/16 专题 10 几何最值问题【十二个基本问题】2/16 3/16 1如图，长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm，高为 5cm若一只蚂蚁从 P 点开始经过 4个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A 61cm B11cm C13cm D17cm 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 2已知圆锥的底面半径为 r20cm,高 h20 15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点 A 出发在侧面上爬行一周又回到 A 点，蚂蚁爬行的最短距离为_ 3如图，在ABC 中，AB3，AC4，BC5，P 为边 BC 上一动点，PEAB 于 E，PFAC 于 F，则 EF 的最小值为（）A2 B2.2 C2.4 D2.5 4如图，在矩形 ABCD 中，AB10，BC5若点 M、N 分别是线段 AC，AB 上的两个动点，则 BMMN 的最小值为（）A10 B8 C5 3 D6 5如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C1处（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当 AB4,BC4,CC15 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长（3）在（2）的条件下，求点B1到最短路径的距离 6如图，已知 P 为AOB 内任意一点，且AOB30，点P1、P2分别在 OA、OB 上，求作点P1、P2,使PP1P2的周长最小，连接 OP，若 OP10cm，求PP1P2的周长 4/16 7如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AEDF连接 CF 交 BD 于点G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是_ 第 7 题 第 8 题 第 9 题 8如图，在等腰 RtABC 中,BAC90,ABAC,BC4 2,点 D 是 AC 边上一动点，连接 BD，以 AD 为直径的圆交 BD 于点 E，则线段 CE 长度的最小值为 9如图，O 的半径为 1，弦 AB1，点 P 为优弧AB上一动点,ACAP 交直线 PB 于点 C，则ABC 的最大面积是（）A12 B22 C32 D34 10如图，已知抛物线 yx2bxc与一直线相交于 A(1，0)，C(2，3)两点，与 y 轴交于点 N其顶点为 D(1)抛物线及直线 AC 的函数关系式；(2)设点 M(3，m)，求使 MNMD 的值最小时 m 的值；(3)若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EFBD 交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E的坐标；若不能，请说明理由；(4)若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值 5/16 11如图，抛物线 l 交 x 轴于点 A(3，0)、B(1，0)，交 y 轴于点 C(0，3)将抛物线 l 沿y 轴翻折得抛物线l1(1)求l1的解析式；(2)在l1的对称轴上找出点 P,使点 P 到点 A 的对称点A1及 C 两点的距离差最大，并说出理由；(3)平行于 x 轴的一条直线交抛物线l1于 E、F 两点，若以 EF 为直径的圆恰与 x 轴相切，求此圆的半径 6/16 12(2016朝阳）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：ABC 内总存在一点 P 与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小【特例】如图 1，点 P 为等边ABC 的中心，将ACP 绕点 A 逆时针旋转 60得到ADE,从而有 DEPC，连接 PD 得到 PDPA，同时APBAPD12060180,ADPADE180,即 B、P、D、E 四点共线，故 PAPBPCPDPBDEBE在ABC中，另取一点 P，易知点 P与三个顶点连线的夹角不相等，可证明 B、P、D、E 四点不共线，所以 PAPBPCPAPBPC,即点 P 到三个顶点距离之和最小 13问题提出（1）如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=a，AB=b，填空：当点 A 位于 时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 （用含 a，b 的式子表示）问题探究（2）点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=6，AB=3，如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE，找出图中与 BE 相等的线段，请说明7/16 理由，并直接写出线段 BE 长的最大值 问题解决：（3）如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（5，0），点P 为线段 AB 外一动点，且 PA=2，PM=PB，BPM=90，求线段 AM 长的最大值及此时点P 的坐标 如图 4，在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=60，BC=4 2，若对角线 BDCD于点 D，请直接写出对角线 AC 的最大值 8/16 14如图所示，已知抛物线 ya(x3)(x1)(a0)，与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，经过点 A 的直线 y 3xb与抛物线的另一个交点为 D(1)若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式；(2)若在第三象限内的抛物线上有点 P，使得以 A、B、P 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 P 的坐标；(3)在(1)的条件下，设点 E 是线段 AD 上的一点(不含端点)，连接 BE 一动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 ED 以每秒2 33个单位的速度运动到点 D 后停止，问当点 E 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少？9/16 答案 1平面展开最短路径问题 解：如图所示：长方体的底面边长分别为 2cm 和 4cm,高为 5cm PA424212(cm),QA5cm,PQPA2AQ213cm故选：C 2解：设扇形的圆心角为 n，圆锥的顶为 E,r20cm,h20 15cm 由勾股定理可得母线 lr2h280cm,而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为 220n80180,n90 即EAA是等腰直角三角形，由勾股定理得：AAAE2AE280 2cm 答：蚂蚁爬行的最短距离为80 2cm 故答案为：80 2cm 3解：连接 AP,在ABC 中，AB3,AC4,BC5，AB2AC2BC2,即BAC90 又PEAB 于 E,PFAC 于 F，四边形 AEPF 是矩形，EFAP，AP 的最小值即为直角三角形 ABC 斜边上的高，即 2.4,EF 的最小值为 2.4,故答案为：2.4 4解：过 B 点作 AC 的垂线，使 AC 两边的线段相等，到 E 点，过 E 作 EF 垂直 AB 交 AB于 F 点，AC5 5,AC 边上的高为ABBCAC2 5,所以 BE4 5 ABCEFB,ABEFACBE,即10EF5 54 5 EF8故选：B 5解：（1）如图，木柜的表面展开图是矩形ABC1D1或ACC1A1 故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC1或AC1;（2）蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC1D1爬过的路径AC1的长是l142(45)2 10/16 蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB1C1D爬过的路径AC1的长l1 97,蚂蚁沿着木柜表面ACC1A1爬过的路径AC1的长是l2(44)252 l1l2,故最短路径的长是l2 89（3）作B1EAC1于 E，C1EB1C1A1A,A1C1A是公共角，AA1C1B1EC1,即B1EAA1B1C1AC1,则B1EB1C1AC1AA148952089为所求 6解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 M、N，连接 MN，分别交 OA、OB 于点P1、P2,连接 OM、ON、PP1、PP2,此时PP1P2的周长最小,PP1P2的周长P1P2,PP1P1P2PP2MP1P1P2NP2MN，M、N 分别是 P 关于 OA、OB 的对称点，MOAAOP,NOBBOP,PP1P1M,PP2P2N,MOPONO，MONMOAAOPNOBBOP2AOB,AOB30,MON23060,OMN 是等边三角形，又 PP1P2的 周 长 P1P2,PP1P1P2PP2MP1P1P2NP2MN，MNP 的周长MNMOPO10cm 7解：在正方形 ABCD 中,ABADCD,BADCDA,ADGCDG,在ABE 和DCF 中,ABCDBADCDAAEDF,ABEDCF(SAS),12,在ADG 和CDG 中,ADCDADGCDGDGDG,ADGCDG(SAS),23,13,BAH3BAD90,1BAH90,AHB1809090,取 AB 的中点 O,连接 OH、OD,则 OHAO12AB1,在 RtAOD 中,ODAO2AD21222 5,根据三角形的三边关系,OHDHOD,当 O、D、H 三点共线时,DH 的长度最小,最小值ODOH 51(解法二：可以理解为点 H 是在 RtAHB,AB 直径的半圆AB上运动当 O、H、D 三点共线时,DH11/16 长度最小)故答案为：51 8 解：连结 AE，如图 1，BAC90,ABAC,BC4 2,ABAC4，AD 为直径，AED90,AEB90,点 E 在以 AB 为直径的O 上，O 的半径为 2，当点 O、E、C 共线时，CE 最小，如图 2,在 RtAOC 中，OA2,AC4，OCOA2AC22 5,CEOCOE2 52,即线段 CE 长度的最小值为2 52 故答案为2 52 9解：连结 OA、OB，作ABC 的外接圆 D，如图 1，OAOB1,AB1，OAB 为等边三角形，AOB60,APB12AOB30,ACAP,C60,AB1，要使ABC 的最大面积，则点 C 到 AB 的距离最大，ACB60,点 C 在D 上，ADB120,如图 2，当点 C 优弧 AB 的中点时，点 C 到 AB 的距离最大，此时ABC 为等边三角形，且面积为34AB234,ABC 的最大面积为34 故选：D 10 解：(1)由抛物线 yx2bxc过点 A(1,0)及 C(2,3)得,1bc042bc3,解得 b2c3,故抛物线为 yx22x3 又设直线为 ykxn 过点 A(1,0)及 C(2,3)得 kn02kn3,解得 k1n1故直线 AC 为 yx1;12/16(2)如图 1,作 N 点关于直线 x3 的对称点 N,则 N(6,3),由(1)得 D(1,4),故直线 DN的函数关系式为 y 15x 215,当 M(3,m)在直线 DN上时,MNMD 的值最小,则 m 153 215185;(3)由(1)、(2)得 D(1,4),B(1,2),点 E 在直线 AC 上,设 E(x,x1),如图 2,当点 E 在线段 AC 上时,点 F 在点 E 上方,则 F(x,x3),F 在抛物线上,x3x22x3,解得,x0 或 x1(舍去)E(0,1);当点 E 在线段 AC(或 CA)延长线上时,点 F 在点 E 下方,则 F(x,x1)由 F 在抛物线上x1x22x3解得 x1 172或 x1 172 E 1 172,3 172或 1 172,3 172 综上,满足条件的点 E 的坐标为(0,1)、1 172,3 172或 1 172,3 172;(4)方法一：如图 3,过点 P 作 PQx 轴交 AC 于点 Q,交 x 轴于点 H；过点 C 作 CGx 轴于点G,设 Q(x,x1),则P()x,x22x3 PQ()x22x3(x1)x2x2 又SAPCSAPQSCPQ12PQAG12()x2x2 3 32x 122 278 面积的最大值为278 方法二：过点 P 作 PQx 轴交 AC 于点 Q,交 x 轴于点 H；过点 C 作 CGx 轴于点 G,如图3,设 Q(x,x1),则P()x,x22x3 又SAPCS_(APH)S_(直角梯形 PHGC)S_(AGC)12(x1)()x22x3 12()x22x33(2x)1233 32x2 32x3 32x 122 278 APC 的面积的最大值为278 11解：(1)如图 1 所示,设经翻折后,点 A、B 的对应点分别为A1、B1,依题意,由翻折变换的性质可知A1(3,0),B1(1,0),C点坐标不变,因此,抛物线l1经过A1(3,0),B1(1,0),C(0,3)三点,设抛物线l1的解析式为 yax2bxc,则有：13/16 9a3bc0abc0c3,解得 a1,b2,c3,故抛物线l1的解析式为：yx22x3 (2)抛物线l1的对称轴为：x b2a1,如图 2 所示,连接B1C并延长,与对称轴 x1 交于点 P,则点 P 即为所求 此时,|PA1PC|PB1PC|B1C 设 P为对称轴 x1 上不同于点 P 的任意一点,则有：|PA1PC|PB_(1)PC|B_(1)C(三角形两边之差小于第三边),故|PB1PC|PA1PC|,即|PA1PC|最大 设直线B1C的解析式为 ykxb,则有：kb0b3,解得 kb3,故直线B1C的解析式为：y3x3 令 x1,得 y6,故 P(1,6)(3)依题意画出图形,如图 3 所示,有两种情况 当圆位于 x 轴上方时,设圆心为 D,半径为 r,由抛物线及圆的对称性可知,点 D 位于对称轴 x1 上,则 D(1,r),F(1r,r)点 F(1r,r)在抛物线 yx22x3上,r(1r)22(1r)3,化简得：r2r40 解得r11712,r2(gh(17)1)/(2)(舍去),此圆的半径为1712;当圆位于 x 轴下方时,同理可求得圆的半径为1712 综上所述,此圆的半径为1712或1712 12解：（1）如图 1，将ACP 绕点 A 逆时针旋转 60得到ADE,PAD60,PACDAE,PADA、PCDE、APCADE120,14/16 APD 为等边三角形，PAPD,APDADP60,APBAPD12060180,ADPADE180,即 B、P、D、E 四点共线，PAPBPCPDPBDEBEPAPBPC 的值最小（2）方法一：如图 2，分别以 AB、BC 为边在ABC 外作等边三角形，连接 CD、AE 交于点 P，ABDB、BEBC8、ABDEBC60,ABEDBC,在ABE 和DBC 中，ABDBABEDBCBEBC，ABEDBC(SAS),CDAE、BAEBDC,又AOPBOD,APOOBD60,在 DO 上截取 DQAP，连接 BQ，在ABP 和DBQ 中，ABDBBAPBDQAPDQ，ABPDBQ(SAS),BPBQ,PBAQBD,又QBDQBA60,PBAQBA60,即PBQ60,PBQ 为等边三角形，PBPQ，则 PAPBPCDQPQPCCDAE，在 RtACE 中，AC6、CE8，AECD10，故点 P 到三个顶点的距离之和的最小值为 10 方法二：如图 3，由（2）知，当APBAPCBPC120时,APBPPC 的值最小，把CPB 绕点 C 逆时针旋转 60得CPB,由（2）知 A、P、P、B共线，且 APBPPCAB,PCBPCB,PCBPCAPCBPCA30,ACB90,ABAC2BC2AC2BC210 13解：（1）点 A 为线段 BC 外一动点，且 BCa,ABb，当点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 BCABab,故答案为：CB 的延长线上,ab;（2）CDBE，理由：ABD 与ACE 是等边三角形，ADAB,ACAE,BADCAE60,BADBACCAEBAC,即CADEAB,在CAD 与EAB 中，ADABCADEABACAE，CADEAB(SAS),CDBE；线段 BE 长的最大值线段 CD 的最大值，由（1）知，当线段 CD 的长取得最大值时，点 D 在 CB 的延长线上，最大值为 BDBCABBC369；15/16 （3）如图 1，连接 BM，将APM 绕着点 P 顺时针旋转 90得到PBN,连接 AN，则APN 是等腰直角三角形,PNPA2,BNAM，A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(5,0),OA2,OB5，AB3，线段 AM 长的最大值线段 BN 长的最大值，当 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值，最大值ABAN,AN 2AP2 2,最大值为2 23;如图 2，过 P 作 PEx 轴于 E，APN 是等腰直角三角形，PEAE 2,OEBOABAE53 22 2,2ff976c3.png P(2 2,2)（4）如图 4 中，以 BC 为边作等边三角形BCM,ABDCBM60,ABCDBM,ABDB,BCBM，ABCDBM,ACMD，欲求 AC 的最大值，只要求出 DM 的最大值即可，BC4 2定值,BDC90,点 D 在以 BC 为直径的O 上运动，由图象可知，当点 D 在 BC 上方,DMBC 时，DM 的值最大，最大值2 22 6,AC 的最大值为2 22 6 14解：(1)ya(x3)(x1),点 A 的坐标为(3,0)、点 B 两的坐标为(1,0),直线 y 3xb经过点 A,b3 3,y 3x3 3,当 x2 时,y5 3,则点 D 的坐标为(2,5 3),点 D 在抛物线上,a(23)(21)5 3,解得,a 3,则抛物线的解析式为 y 3(x3)(x1)3x22 3x3 3;(2)如图 1 中,作 PHx 轴于 H,设点 P 坐标(m,n),当BPAABC 时,BACPBA,tanBACtanPBA,即OCOAPHHB,3a3nm1,即 na(m1),na(m1)na(m3)(m1)解得 m4 或 1(舍弃),16/16 当 m4 时,n5a,BPAABC,ACABABPB,AB2ACPB,429a29 25a225,解得 a 1515或(gh(15)/(15)(舍弃),则 n5a 153,点 P 坐标4,153 当PBAABC 时,CBAPBA,tanCBAtanPBA,即OCOBPHHB,3a1nm1,n3a(m1),n3a(m1)na(m3)(m1),解得 m6 或 1(舍弃),当 m6 时,n21a,PBAABC,BCBAABPB,即AB2BCPB,4219a2 72(21a)2,解得 a 77或(77 不合题意舍弃),则点 P 坐标(6,3 7),综上所述,符合条件的点 P 的坐标4,153和(6,3 7)(3)如图 2 中,作 DMx 轴交抛物线于 M,作 DNx 轴于 N,作 EFDM 于 F,则 tanDANDNAN5 35 3,DAN60,EDF60,DEEFsinEDF2 33EF,Q 的运动时间 tBE1 DE2 33BEEF,当 BE 和 EF 共线时,t 最小,则 BEDM,此时点 E 坐标(1,4 3)