《平行四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解.pdf

平行四边形全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.2.掌握三角形的中位线定理.3.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式 4.积累数学活动经验，发展推理能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形的定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形 ABCD记作“口 ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”.要点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.要点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的 性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形 三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定定理 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个 行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依 据.要点四、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行 线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2平行线性质定理及其推论 夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.要点五、三角形的中位线 三角形的中位线 1连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4 个小三角形.因而每个 1 小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形 2 1 面积的.4（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点六、多边形内角和、外角和 n 边形的内角和为（n 2）180（n 3）要点诠释：（1）内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形 内角和求其边数；（2）正多边形的每个内角都相等，都等于（n 2）180；n 多边形的外角和为 360 n 边形的外角和恒等于 360，它与边数的多少无关.【典型例题】类型一、平行四边形的性质与判定 1、如图，在 口 ABCD中，点 E 在 AD上，连接 BE，DFBE交 BC于点 F，AF与 BE交与 点 M，CE与 DF交于点 N 求证：四边形 MFNE是平行四边形 【答案与解析】证明：四边形 ABCD是平行四边形.ADBC，ADBC（平行四边形的对边相等且平行）又 DF BE（已知）四边形 BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）DEBF（平行四边形的对边相等）ADDE BCBF，即 AECF 又 AECF 四边形 AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）AFCE 四边形 MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方 法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四 边形是平行四边形”来证明.举一反三：【变式】如图，等腰 ABC中，D是 BC边上的一点，DE AC，DF?AB，?通过观察分析线段 DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论 【答案】ABDE DF，理由：DEAC，DFAB，四边形 AEDF是平行四边形，C EDB DFAE 等腰 ABC，B C，B EDB，DE BE，ABAEBEDFDE 2、完成下列各题：（1）如图 1，四边形 ABCD中，ABCD，BD，BC 6，AB 3，求四边形 ABCD的周长（2）已知：如图 2，在ABC中，D为边 BC上的一点，AD平分 EDC，且 E B，DEDC 求证：ABAC 【思路点拨】（1）首先判定四边形 ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质和周长公式计算即可；（2）由已知条件证明 ADE ADC 可得到 E C，又 E B，所以 BC，进而证 明 AB AC【答案与解析】（1）解：ABCD，BC180，又 BD，CD180，ADBC，ABCD是平行四边形，AB CD3，BCAD 6，四边形 ABCD的周长 2623 18；（2）证明：AD 平分 EDC，ADEADC，又 DE DC，AD AD，ADEADC，EC，又EB，BC，AB AC【总结升华】（1）本题考查了平行四边形的判定和平行四边形的性质以及求平行四边形的 周长；（2）本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质以及等腰三角形的证明 举一反三：变式】如图，已知 口 ABCD中，F是 BC边的中点，连接 DF并延长，交 AB的延长线于点 【答案】证明：F 是 BC 边的中点，BF CF，四边形 ABCD是平行四边形，AB DC，ABCD，CFBE，CDFE，在 CDF和 BEF中 C FBE CDF E CF BF CDF BEF（AAS），BE DC，AB DC，AB BE 3、（2015?哈尔滨）如图 1，口 ABCD中，点 O是对角线 AC的中点，EF过点 O，与 AD，BC分别相交于点 E，F，GH过点 O，与 AB，CD分别相交于点 G，H，连接 EG，FG，FH，EH（1）求证：四边形 EGFH是平行四边形；E（2）如图 2，若 EFAB，GHBC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中与四 边形 AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形 AGHD除外）【思路点拨】（1）由四边形 ABCD是平行四边形，得到 ADBC，根据平行四边形的性质得 到EAO=FCO，证出 OAEOCF，得到 OE=O，F 同理 OG=O，H 根据对角线互相平分的四边 形是平行四边形得到结论；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到结论【答案与解析】（1）证明：四边形 ABCD是平行四边形，ADBC，EAO=FCO，在OAE与 OCF中，OAEOCF，OE=O，F 同理 OG=O，H 四边形 EGFH是平行四边形；（2）解：与四边形 AGHD面积相等的所有平行四边形有 口 GBCH，口 ABFE，口 EFCD，口 EGFH；四边形 ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，EFAB，GHBC，四边形 GBCH，ABFE，EFCD，EGFH为平行四边形，EF过点 O，GH过点 O，OE=O，F OG=O，H 口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH，口ACHD它们面积=口ABCD的面积，与四边形 AGHD面积相等的所有平行四边形有 口 GBCH，口 ABFE，口 EFCD，口 EGFH【总结升华】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平 行四边形的判定定理是解题的关键 4、（2016?菏泽）如图，点 O是 ABC内一点，连结 OB、OC，并将 AB、OB、OC、AC的 中点 D、E、F、G依次连结，得到四边形 DEFG（1）求证：四边形 DEFG是平行四边形；（2）若 M为 EF 的中点，OM=3，OBC和 OCB互余，求 DG的长度 【思路点拨】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 EF BC且 EF=BC，DG BC且 DG=BC，从而得到 DE=EF，DG EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形证明即可；（2）先判断出 BOC=90，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出 EF 即可【答案与解析】解：（1）D、G分别是 AB、AC的中点，DG BC，DG=BC，E、F 分别是 OB、OC的中点，EF BC，EF=BC，DG=EF，DGEF，四边形 DEFG是平行四边形；（2）OBC和 OCB互余，OBC+OCB=90，BOC=90，M为 EF的中点，OM=3，EF=2OM=6 由（1）有四边形 DEFG是平行四边形，DG=EF=6【总结升华】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三 角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形 DEFG是平行四边形 类型二、三角形的中位线 5、如果三角形的两条边分别为 4 和 6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是 下列数据中的（）A 6 B 8 C 10 D 12【思路点拨】本题依据三角形三边关系，可求第三边大于 2 小于 10，原三角形的周长大于 12 小于 20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于 6 而小于 10，看哪个符合就可以了【答案与解析】解：设三角形的三边分别是 a、b、c，令 a 4，b 6，则 2c 10，12三角形的周长 20，故 6 中点三角形周长 10 故选 B【总结升华】本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的 周长范围是解题的关键 举一反三：【变式】（太仓市期中）ABC中 E 是 AB的中点，CD平分 ACB，ADCD与点 D，求证：DE=（BC AC）【答案】解：延长 AD交 BC于 F，CD平分 ACB，ADCD，ACD=BCD，ADC=FDC=90，又 CD=CD，ADC FDC（ASA）AC=C，F AD=FD 又 ABC中 E是 AB的中点，DE是ABF 的中位线，DE=BF=（BCCF）=（BCAC）类型三、多边形内角和与外角和 6、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A四边形 B 五边形 C 六边形 D 八边形【思路点拨】首先设此多边形是 n 边形，由多边形的外角和为 360，即可得方程 180（n 2）360，解此方程即可求得答案【答案】A；【解析】解：设此多边形是 n 边形，多边形的外角和为 360，180（n 2）360，解得：n 4 这个多边形是四边形【总结升华】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识 此题难度不大，注意多边形的外 角和为 360，n 边形的内角和等于 180（n 2）举一反三：【变式】若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A 3 B 4 C 5 D 6【答案】A；解：设边数为 n，根据题意得（n2）?180360 解之得 n 4 n为正整数，且 n3，n 3 故选 A