指数函数的概念教学设计.pdf

环节一 指数函数的概念【引入新课】问题 1 上一章学习了函数的概念和基本性质，还研究了一类具体的函数幂函数，结合这些研究经验，你能说说研究一类函数的内容、过程和方法吗？答案：首先结合实际背景抽象出函数概念，然后研究函数的图象与性质，最后应用函数解决实际问题 过渡语：对于指数幂 ax（a0），我们已经把指数 x 的范围拓展到了实数；对于一类函数，我们也有了一定的研究思路，这节课继续研究其他类型的基本初等函数（板书：指数函数的概念）【课堂探究】问题 2 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式 由于旅游人数不断增加，A，B 两地景区自 2001 年起采取了不同的应对措施，A 地提高了景区门票价格，而 B 地则取消了景区门票下表（表 1）给出了 A，B 两地景区2001 年至 2015 年的游客人次以及逐年增加量 表 1 时间/年 A 地景区 B 地景区 人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1 005 102 2014 732 11 1 118 113 2015 743 11 1 244 126 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？答案：从表格中的数据不难看出，A，B 两地景区的游客人次都在增长，但是 A 地景区游客的年增加量大致相等（约为 10 万次）；B 地景区游客的年增加量越来越大，从开始的31 万次增长到最后的 126 万次 追问 1 除了通过直接观察表格中数据的变化情况，我们还可以对数据做怎样的处理，进而发现其变化规律？比如能否将数据转化为图象的形式进行观察？怎样转化？答案：为了有利于观察规律，根据表 1，可以分别画出 A，B 两地景区采取不同措施后的 15 年，游客人次随年份变化的图象我们可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来，得到图 1 追问 2 通过观察图象，并结合表格中的数据，你能发现什么规律？答案：通过观察图象，并结合表格中的数据，可以发现 A 地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长）；B 地景区的游客人次则是非线性增长，并且增长速度越来越快 追问 3 图象显示出 A，B 两地景区的游客人次呈不同的增长方式，这两种增长变化如何用代数运算表示？我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，通过年增加量可以看出 A 地景区的游客人次的变化规律那么，能否通过对 B 地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？谈谈你的想法 答案：我们可以用“增长率”来刻画 B 地景区人次的变化规律从 2002 年起，将 B 地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 1.1127830920012002年游客人次年游客人次 1.1130934420022003年游客人次年游客人次 图 1 1.111118124420142015年游客人次年游客人次 结果表明，B 地景区的游客人次的年增长率都约为 1.1110.11，是一个常数 结论：像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长因此，B 地景区的游客人次近似于指数增长 追问 4 根据我们发现的 B 地景区游客人次的变化规律，能否给出 B 地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的规律的关系式？这一关系式有什么特点？答案：从 2001 年开始，B 地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：1 年后，游客人次是 2001 年的 1.111倍；2 年后，游客人次是 2001 年的 1.112倍；3 年后，游客人次是 2001 年的 1.113倍；x 年后，游客人次是 2001 年的 1.11x倍；如果设经过 x 年后的游客人次为 2001 年的 y 倍，那么 y1.11x(xN)这是一个函数，其中指数 x 是自变量，这个函数刻画的实际问题的变化规律的特征是增长率不变，并且是呈指数增长 问题3 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量与死亡年数之间有怎样的关系？请同学们进行思考 追问 1 能否求出生物死亡后，体内碳 14 含量的年衰减率是多少？答案：设死亡生物体内碳 14 含量的年衰减率为 p，如果把刚死亡的生物体内碳 14 含量看成 1 个单位，那么 死亡 1 年后，生物体内碳 14 含量为(1p)1；死亡 2 年后，生物体内碳 14 含量为(1p)2；死亡 3 年后，生物体内碳 14 含量为(1p)3；死亡 5 730 年后，生物体内碳 14 含量为(1p)5730；根据已知条件，(1p)573012，从而 1p(12)57301，所以年衰减率为 p1(12)57301 追问 2 根据计算出的碳 14 含量的年衰减率，能否给出死亡生物体内碳 14 含量随死亡年数变化的规律的关系式？这一关系式有什么特点？答案：设生物死亡年数为 x，死亡生物体内碳 14 含量为 y，那么 y(1p)x，即 y(12)57301)x(x0,)这也是一个函数，指数 x 是自变量死亡生物体内碳 14 含量每年都以 1(12)57301的衰减率衰减 结论：像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减因此，死亡生物体内碳14 含量呈指数衰减 问题 4 比较问题 2 和问题 3 中的两个实例，它们所描述的变化规律有什么共同特征？答案：如果用字母 a 代替上述两式中的底数 1.11 和(12)57301，那么函数 y1.11x和y(12)57301)x就可以表示为 yax 的形式，其中指数 x 是自变量，底数 a 是一个大于 0 且不等于 1 的常数 结论：一般地，函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数（exponential function），其中指数 x 是自变量，定义域是 R【知识应用】例 1 已知指数函数 f(x)ax(a0，且 a1)，且 f(3)，求 f(0)，f(1)，f(3)的值 答案：解：因为 f(x)ax，且 f(3)，则 a3，解得13a ，于是 3xfx 所以，10133101,1,3fff 例 2（1）在问题 1 中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来 1 000 元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为 150 元，比较这 15 年间 A，B 两地旅游收入变化情况（2）在问题 2 中，某生物死亡 10 000 年后，它体内碳 14 的含量衰减为原来的百分之几？追问 1 影响 A，B 两地旅游收入的因素有哪些？它们又是如何施加具体影响的？答案：旅游收入是游客人数与每位游客带来的收入的乘积，结合问题 1 的分析可知，经过x年后，A地游客人数为10 x600，每位游客带来的收入是1150元；B地游客人数为1.11x，每位游客带来的收入是 1000 元所以 A，B 两地的收入分别为 f(x)1 150(10 x600)和g(x)1 0002781.11x 追问 2 如何比较 f(x)1 150(10 x600)与 g(x)1 0002781.11x的大小关系？答案：借助函数观点和信息技术，画出两个函数的图象，先整体把握两个函数的变化趋势，再关注具体细节 解：（1）设经过 x 年，游客给 A，B 两地带来的收入分别为 f(x)和 g(x)，则 f(x)1 150(10 x600)，g(x)1 0002781.11x 利用计算工具可得，当 x0 时，f(0)g(0)412 000 当 x10.22 时，f(10.22)g(10.22)结合图 2 可知：当 x10.22 时，f(x)g(x)，当 x10.22 时，f(x)g(x)当 x14 时，g(14)f(14)347 303 这说明，在 2001 年，游客给 A 地带来的收入比 B 地多 412 000 万元；随后 10 年，虽然 f(x)g(x)，但 g(x)的增长速度大于 f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在 2001 年 3月某个时刻就有 f(x)g(x)，这时游客给 A 地带来的收入和 B 地差不多；此后，f(x)g(x)，游客给 B 地带来的收入超过了 A 地；由于 g(x)增长得越来越快，在 2015 年，B 地的收入已经比 A 地多了 347 303 万元了（2）设生物死亡 x 年后，它体内碳 14 含量为 h(x)如果把刚死亡的生物体内碳 14 含量看成 1 个单位，那么 15 7301()2xh x 当 x10 000 时，利用计算工具求得 10 0005 730110 000()0.302h 所以，生物死亡 10 000 年后，它体内碳 14 含量衰减为原来的约 30 图 2 问题 5 观察例 2（1）中的函数解析式 g(x)1 0002781.11x，它与我们前面所定义的指数函数 yax(a0，且 a1)有何异同？答案：例 2（1）中的函数解析式 g(x)1 0002781.11x，也是呈指数增长型的函数，它与指数函数 yax相比，在 ax(a0，且 a1)前面多了一个系数 结论：在实际问题中，经常会遇到类似于例 2（1）的指数增长模型：设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到 y，则 yN(1p)x(xN)形如 ykax(kR，且k0；a0，且a1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型【归纳总结、布置作业】问题 6 回顾本节课，你能从代数运算的角度谈谈问题 2 中的增长率和问题 3 中的衰减率为什么是一个常数吗？这体现了指数函数的什么本质特性？答案：对于指数函数 f(x)ax(a0，且 a1)，问题 2 和问题 3 的两个实例中指数增长或指数衰减的本质可以用下列式子体现：0000000023,0,21xfxxfxxfxxfxn xaxnfxfxxfxxfxnx N 当 x00，x1 时，上式即 123,0121ffff na nffff nN 事实上，对于形如 ykax(kR，且 k0；a0，且 a1)的函数，也满足上面的式子 总之，指数函数是刻画自变量增量相同、函数值变化相同比例的一类重要函数模型 布置作业 教科书习题 4.2 第 1，2，4，7，8 题