数形结合思想_1.pdf
第一节数形结合思想 数与形是数学中最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合的结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。以数思形，以形想数，做好数形转化。运用数形结合思想遵循原则：（1）等价性原则（2）双方性原则（3）简单性原则 数形结合思想常解决以下问：（1）构建函数模型结合图像研究参数的取值范围，方程根的范围，量与量之间的大小关系，函数的最值问题和证明不等式等（2）构建立体几何模型研究代数问题（3）构建解析几何中的斜率，截距，距离等模型研究最值问题（4）构建方程模型，求根的个数等.【例1】.设函数，若无最大值，则实数的取值范围是_.【解析】：如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知1x是函数的极大值点，当时，因此的最大值是；由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，所求的范围是，故填：【点评】：分段函数含字母参数求最值问题，通过把“数”化为“形”来解决，直观形象.33,()2,xx xaf xx xa()f xa3()3g xxx2yx(1,2)A(0,0)O(1,2)B2()33g xx()g x0a 33,0()2,0 xx xf xx x()f x(1)2f 1a ()f x(1)2f 1a 332aaa()f xa(,1)(,1)【例 2】.（2017 浙江，21 节选）如图，已知抛物线2xy，点 A1 1()2 4，3 9()2 4B，抛物线上的点)2321)(,(xyxP过点 B 作直线 AP 的垂线 Q 求|PQPA 的最大值【解析】：联立直线 AP 与 BQ 的方程 110,24930,42kxykxkyk 解得点 Q 的横坐标是)1(23422kkkxQ，因为|PA|=211()2kx=)1(12kk|PQ|=1)1)(1()(1222kkkxxkQ，所以|PA|PQ|=3)1)(1(kk 令3)1)(1()(kkkf，因为2)1)(24()(kkkf，所以 f(k)在区间)21,1(上单调递增，)1,21(上单调递减，因此当 k=12时，|PQPA 取得最大值2716【点评】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过把“形”化为“数”，利用函数3)1)(1()(kkkf求出|PQPA 的最大值【例 3】.（2017 课标 II，理 12）已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则()PAPBPC的最小值是（）A.2 B.32 C.43 D.1【解析】：以BC为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立坐标系，则)3,0(A,)0,1(B,)0,1(C，设),(yxP，所以)3,(yxPA,),1(yxPB,),1(yxPC，),2,2(yxPCPB2323)23(22)(22yxPCPBPA，当)23,0(P时，所求的最小值为23 【点评】“形”“数”互化，把向量“数”的问题通过坐标表示出来，再把“形”化为代数恒等式来解决.【课后练习】1.已知函数 f（x）=2(4,0,log(1)13,03)axaxaxxx（a0,且 a1）在 R 上单调递减，且关于 x的方程|()|2f xx恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（）A（0，23 B23，34 C13，2334 D13，23）34 2.（2017 课标 II，理 1）已知F是抛物线C:28yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则FN _ 3.（2017 课标，理 12）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD相切的圆上.若AP=AB+AD，则+的最大值为（）A3 B22 C5 D2 【课后练习答案】1.C【解析】:由）（xf在R上递减可知,433110,13043aaaa由方程xxf 2)(恰好有两个不相等的实数解，可知,3231,211,23aaa又43a时，抛物线axaxy3)34(2与直线xy 2相切，也符合题意，实数a的取值范围是4332,31 y A P B x C 2.6【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F，做MBl与点B，NAl与点A，由抛物线的解析式可得准线方程为,2x则,4,2FFAN在直角梯形ANFF中，中位线,32FFANBM由抛物线的定义有：,3 MBMF结合题意有,3 MFMN线段FN的长度633NMFMFN 3.3【解 析】如 图所 示，建 立 平 面 直 角 坐 标 系),(),12()02()00()10(yxPDCBA，设，根据等面积 公 式 可 得 圆 的 半 径,52r即 圆 的 方 程 是,54)2(22yx),1,(yxAP)1,0(AB，),0,2(AD若满足,ADABAP即,12yx,12yx设,12yxz即,012zyx点),(yxP在圆54)2(22yx上，所以圆心到直线的距离,rd 即,521412 z解得,31 z所以z的最大值为 3.O M N y A B FF x
