第3节平面向量的数量积及其应用--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版).pdf

第 3 节 平面向量的数量积及其应用 知 识 梳 理 1平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记OAa，OBb，则AOB(0180)叫做向量 a 与 b 的夹角(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos_ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab|a|b|cos_，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0a0.(3)数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos_ 的乘积 2平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|aa x21y21.(3)夹角：cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.(4)两非零向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21x22y22.3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)1设 e 是单位向量，且 e 与 a 的夹角为，则 eaae|a|cos.2当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|，特别地，aa|a|2或|a|a2.3数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出 bc，两边不能约去同一个向量 4两个向量的夹角为锐角，则有 ab0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有 ab0，反之也不成立 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误(1)两个向量的夹角的范围是0，2.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(4)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角()(5)abac(a0)，则 bc.()答案(1)(2)(3)(4)(5)解析(1)两个向量夹角的范围是0，(4)若 ab0，a 和 b 的夹角可能为 0；若 ab0，a 和 b 的夹角可能为.(5)由 abac(a0)得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，c，所以向量 b 和 c 不一定相等 2(2021北京昌平区二模)在平行四边形 ABCD 中，ABCD，AB(2，2)，AD(2，1)，则ACDB()A3 B2 C3 D4 答案 C 解析 在平行四边形 ABCD 中，ABCD，AB(2，2)，AD(2，1)，ACABAD(4，1)，DBABAD(0，3)，则ACDB40(1)(3)3.3(2020全国卷)已知向量 a，b 满足|a|5，|b|6，ab6，则 cos a，ab()A3135 B1935 C.1735 D.1935 答案 D 解析|ab|2(ab)2a22abb225123649，|ab|7，cosa，aba（ab）|a|ab|a2ab|a|ab|256571935.故选 D.4(必修 4P104 例 1 改编)已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角 120，则向量 b在向量 a 方向上的投影为_ 答案 2 解析 由数量积的定义知 b 在 a 方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.5(2021浙江名校仿真训练四)已知向量 a(1，x)，b(x，3)，若 a 与 b 共线，则|a|_；若 ab，则|b|_ 答案 2 3 解析 a 与 b 共线得 13x20，解得 x 3，所以|a|12（3）22.由 ab 得 x3x0，解得 x0，所以|b|02323.6设平面向量 a(2，1)，b(，1)(R)，则|a|_，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是_ 答案 5 12，2(2，)解析 a(2，1)，|a|5，a 与 b 的夹角为钝角；cosa，b0，且 a，b 不平行；ab0，且 a，b 不平行；2112，且 2；的取值范围是12，2(2，)考点一 平面向量的数量积运算【例 1】(1)(一题多解)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则AFBC的值为()A58 B.18 C.14 D.118(2)(2019天津卷)在四边形 ABCD 中，ADBC，AB2 3，AD5，A30，点 E在线段 CB 的延长线上，且 AEBE，则BDAE_ 答案(1)B(2)1 解析(1)法一 如图所示，根据已知得，DF34AC，所以AFADDF12AB34AC，BCACAB，则AFBC12AB34AC(ACAB)12ABAC12AB234AC234ACAB 34AC212AB214ACAB34121411cos 6018.故选 B.法二 建立如图所示的平面直角坐标系 则 B12，0，C12，0，A0，32，所以BC(1，0)易知|DE|12|AC|，FECACE60，则|EF|14|AC|14，所以点 F 的坐标为18，38，则AF18，5 38，所以AFBC18，5 38(1，0)18.(2)如图，E 在线段 CB 的延长线上，EBAD.DAB30，ABE30.AEBE，EAB30.又AB2 3，BE2.AD5，EB25AD.AEABBEAB25AD.又BDADAB，BDAE(ADAB)AB25AD ADAB25AD2AB225ADAB 75|AD|AB|cos 302552(2 3)2 7552 332101221221.感悟升华(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补【训练 1】(1)(一题多解)在 RtABC 中，BCA90，CB2，CA4，P 在边AC 的中线 BD 上，则CPBP的最小值为()A12 B0 C4 D1(2)(2021绍兴柯桥区模拟)已知ABC 中，C90，AB3，AC2，O 为ABC所在平面内一点，并且满足OA2OB3OC0，记 I1OAOB，I2OBOC，I3OCOA，则()AI1I2I3 BI2I1I3 CI1I3I2 DI3I1I2 答案(1)A(2)A 解析(1)法一 由题意知，BD2 2，且CBD45.因为点 P 在 AC 边的中线 BD 上，所以设BPBD(01)，如图所示，所以CPBP(CBBP)BP(CBBD)BDCBBD2BD2|CB|BD|cos 1352(2 2)2824814212，当 14时，CPBP取得最小值12，故选 A.法二 依题意，以 C 为坐标原点，分别以 AC，BC 所在的直线为 x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(0，2)，D(2，0)，所以直线 BD 的方程为 yx2，因为点 P 在 AC 边的中线 BD 上，所以可设 P(t，2t)(0t2)，所以CP(t，2t)，BP(t，t)，所以CPBPt2t(2t)2t22t2t12212，当 t12时，CPBP取得最小值12，故选 A.(2)如图建 立平面直角坐标系 Cxy，则 C(0，0)，A(0，2)，B(5，0)设点 O(x，y)，则OC(x，y)，OA(x，2y)，OB(5x，y)因为OA2OB3OC0，所以 x2（5x）3x0，2y2y3y0，解得x53，y13，故 I1OAOB53，I2OBOC1，I3OCOA0，所以 I1I20，b，e1b，e230.由 be11，得|b|e1|cos 301，|b|1322 33.法二 由题意可得，不妨设 e1(1，0)，e212，32，b(x，y)be1be21，x1，12x32y1，解得 y33.b1，33，|b|1132 33.(2)法一 设 O 为坐标原点，aOA，bOB(x，y)，e(1，0)，由 b24eb30 得 x2y24x30，即(x2)2y21，所以点 B 的轨迹是以 C(2，0)为圆心，1 为半径的圆 因为 a 与 e 的夹角为3，所以不妨令点 A 在射线 y 3x(x0)上，如图，数形结合可知|ab|min|CA|CB|31.故选 A.法二 由 b24eb30 得 b24eb3e2(be)(b3e)0.设 bOB，eOE，3eOF，所以 beEB，b3eFB，所以EBFB0，取 EF 的中点为 C，则 B 在以 C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设 aOA，作射线 OA，使得AOE3，所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|CA|BC|31.故选 A.角度 2 平面向量的夹角【例 22】(2021厦门质检一)两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|2|b|，则向量 ab 与 a 的夹角为()A.6 B.3 C.23 D.56 答案 A 解析 因为|ab|ab|，所以|ab|2|ab|2，即 a2b22aba2b22ab，所以 ab0，所以 ab.因为|ab|2|b|，即a2b2 4b2，所以|a|3|b|.因为|ab|2|b|，所以 cosab，a（ab）a|ab|a|a2ab2|b|a|3b22 3b232，所以向量 ab 与 a 的夹角为6.角度 3 平面向量的垂直【例 23】(1)设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则()Aab B|a|b|Cab D|a|b|(2)(2021杭州市质检)设 a，b，c 为非零不共线的向量，若|atc(1t)b|ac|(tR)，则()A(ab)(ac)B(ab)(bc)C(ac)(ab)D(ac)(bc)答案(1)A(2)D 解析(1)|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.(2)设向量OAa，OBb，OCc，ODb，tc(1t)(b)OP，则点 P 在直线 DC 上，则由|atc(1t)(b)|ac|得|OAOP|OAOC|，即|PA|CA|，即点 A 到直线 DC 的最小距离为|CA|，则ACCD，即(ac)(bc)，故选 D.角度 4 向量的投影【例 24】(1)(2021温州适考)已知向量 a，b 满足|a|2，|b|1，ab1，则|ab|_，b 在 a 上的投影等于_(2)(一题多解)已有正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则DECB的值为_；DEDC的最大值为_ 答案(1)7 12(2)1 1 解析(1)因为|ab|2(ab)2a2b22ab2212217，所以|ab|7，b 在 a 上的投影为ab|a|12.(2)法一 如图，DECB(DAAE)CBDACBAECBDA21，DEDC(DAAE)DC DADCAEDC AEDC|AE|DC|DC|21.法二 以 A 为坐标原点，以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设 E(t，0)，t0，1，则DE(t，1)，CB(0，1)，所以DECB(t，1)(0，1)1.因为DC(1，0)，所以DEDC(t，1)(1，0)t1，故DEDC的最大值为 1.法三 由图知，无论 E 点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是 CB1，DECB|CB|11.当 E 运动到 B 点时，DE在DC方向上的投影最大即为 DC1，(DEDC)max|DC|11.感悟升华(1)求两向量的夹角：cos ab|a|b|，要注意 0，(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|aa.|ab|（ab）2 a22abb2.若 a(x，y)，则|a|x2y2.(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.【训练 2】(1)(角度 1)设向量 a，b，c 满足 abc0，ab，|a|1，|b|2，则|c|2()A1 B2 C4 D5(2)(角度 2)若向量 a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知 2a3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是_(3)(角度 3)(一题多解)(2020全国卷)已知单位向量 a，b 的夹角为 60，则在下列向量中，与 b 垂直的是()Aa2b B2ab Ca2b D2ab(4)(角度 4)(2021广东四校联考)已知平面向量 a，b 是非零向量，|a|2，a(a2b)，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为()A1 B1 C2 D2 答案(1)D(2)，9292，3 (3)D(4)A 解析(1)abc0，所以 cab，|c|2a22abb21045.(2)2a3b 与 c 的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2，1)f(x)max2，所以 t2t2 或 t2t2，解得 t2 或 t0，故不等式 t2t2 无实数解，所以 t 的取值范围是(，1)(2，)感悟升华 此类问题一般通过向量的运算转化为三角函数问题解决【训练 3】已知向量 a(cos x，sin x)，b(6，2)，x0，(1)若 ab，求 x 的值；(2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值 解(1)由题意得 6cos x 2sin x0，所以 tan x 3，又 x0，所以 x3.(2)f(x)ab 6cos x 2sin x 2 2sinx3，因为 x0，所以 x33，23，即 f(x)的最大值为 2 2，此时 x32，于是 x56；f(x)的最小值为 6，此时 x33，于是 x0.基础巩固题组 一、选择题 1(2021沈阳监测一)已知 a，b 均为单位向量，若 a，b 夹角为23，则|ab|()A.7 B.6 C.5 D 3 答案 D 解析 因为|ab|2a22abb212111213，所以|ab|3，故选 D.2(一题多解)(2021武汉调研)设向量 a(1，2)，b(0，1)，向量ab 与向量 a3b 垂直，则实数()A.12 B1 C1 D12 答案 B 解析 法一 因为 a(1，2)，b(0，1)，所以 ab(，21)，a3b(1，1)，由已知得(，21)(1，1)0，所以 210，解得 1，故选B.法二 因为向量 ab 与向量 a3b 垂直，所以(ab)(a3b)0，所以|a|2(31)ab3|b|20，因为 a(1，2)，b(0，1)，所以|a|25，|b|21，ab2，所以 52(31)310，解得 1，故选B.3(2021北京延庆区模拟)ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，若 2OAABAC0，且|OA|AB|，则CACB()A.32 B.3 C3 D2 3 答案 C 解析 2OAABAC0，OBOC，故点 O 是 BC 的中点，且ABC 为直角三角形，又ABC 外接圆半径为 1，|OA|AB|，所以 BC2，CA 3，BCA30，CACB|CA|CB|cos 302 3323.4(2021北仑中学模拟)设向量 a，b 满足：|a|1，|b|2，a(ab)0，则 a 与b 的夹角是()A30 B60 C90 D120 答案 D 解析 设 a 与 b 的夹角为，因为|a|1，|b|2，a(ab)0，所以 a2ab12cos 0，即 cos 12，因为 0180，所以 a 与 b 的夹角 120，故选D.5(2021北京东城区综合练习)已知向量 a(0，5)，b(4，3)，c(2，1)，那么下列结论正确的是()Aab 与 c 为共线向量 Bab 与 c 垂直 Cab 与 a 的夹角为钝角 Dab 与 b 的夹角为锐角 答案 B 解析 根据题意，向量 a(0，5)，b(4，3)，c(2，1)，则 ab(4，8)，又由 c(2，1)，有(4)(1)(2)8，则(ab)与 c 不是共线向量，c(2，1)，则(ab)c(4)(2)(1)80，则(ab)与 c 垂直 6若两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|2|b|4，则向量 a 在 ab 上的投影为()A.3 B3 C.6 D6 答案 B 解析 由|ab|ab|，得 a22abb2a22abb2，即 ab0，由|ab|2|b|，得 a22abb24b2，即 a23b2，所以|a|3|b|2 3，所以向量 a 在 ab 上的投影为a（ab）|ab|a2|ab|3.二、填空题 7(2021北京朝阳区期末)已知四边形的顶点 A，B，C，D 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，则ACDB_ 答案 7 解析 如图，以 A 为坐标原点，以 AC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，2)，C(7，0)，D(3，2)，AC(7，0)，DB(1，4)，ACDB71047.8如图，四个边长为 1 的正方形排成一个正方形，AB 是大正方形的一条边，Pi(i1，2，7)是小正方形的其余的顶点，则ABAPi(i1，2，7)的不同值的个数为_ 答案 3 解析 ABAP|AB|AP|cosAB，AP20，或 21，或 22，有 3 个不同的值 9(2021浙江十校联盟适考)已知|a|2|b|2，ab1，b(tab)(tR)，则|a2b|_，t_ 答案 2 1 解析 由题意得|a2b|2|a|24ab4|b|244(1)414，所以|a2b|2，由 b(tab)得 b(tab)tab|b|2t10，解得 t1.10(2021鄞州中学检测)在ABC 中，AB2 3，AC4，AD 13，D 为线段BC 的中点，则 BC_，SABC_ 答案 2 2 3 解析 因为点 D 为线段 BC 的中点，所以AD12(ABAC)，两边平方得|AD|2 14(|AB|22AB AC|AC|2)，解得AB AC12，则|BC|（ACAB）2|AC|22ACAB|AB|22.cosAB，ACABAC|AB|AC|32，则 sinAB，AC12，所以 SABC12|AB|AC|sin BAC2 3.11(2021广州测试)已知单位向量 e1与 e2的夹角为3，若向量 e12e2与 2e1ke2的夹角为56，则实数 k 的值为_ 答案 10 解析 依题意，|e1|e2|1，e1e211cos 312.又向量 e12e2与 2e1ke2的夹 角 为56，所 以(e1 2e2)(2e1 ke2)|e1 2e2|2e1 ke2|cos 56124124124124k12k21232.又(e12e2)(2e1ke2)2e21ke1e24e1e22ke22452k，故整理得 85k 21k22k4，所以85k0，（85k）221（k22k4），解得 k10.三、解答题 12已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求 a 与 b 的夹角；(2)求|ab|；(3)若ABa，BCb，求ABC 的面积 解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos ab|a|b|64312.又 0，23.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2 422(6)3213，|ab|13.(3)AB与BC的夹角 23，ABC233.又|AB|a|4，|BC|b|3，SABC12|AB|BC|sinABC1243323 3.13已知向量 a(cos x，sin x)，b(3，3)，x0，(1)若 ab，求 x 的值；(2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的x 的值 解(1)ab，3sin x 3cos x，3sin x 3cos x0，即 sinx60.0 x，6x676，x6，x56.(2)f(x)ab3cos x 3sin x2 3sinx3.x0，x33，23，32sinx31，2 3f(x)3，当 x33，即 x0 时，f(x)取得最大值 3；当 x32，即 x56时，f(x)取得最小值2 3.能力提升题组 14(2017浙江卷)如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC 与 BD 交于点 O，记 I1OAOB，I2OBOC，I3OCOD，则()AI1I2I3 BI1I3I2 CI3I1I2 DI2I1I3 答案 C 解析 如图所示，四边形 ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AOAF，而AFB90，AOB 与COD 为钝角，AOD 与BOC 为锐角，根据题意，I1I2OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA|OB|CA|cosAOB0，I1I3，作 AGBD 于 G，又 ABAD，OBBGGDOD，而 OAAFFCOC，|OA|OB|OC|OD|，而 cosAOBcosCODOCOD，即 I1I3.I3I1 2)，点 P(rcos，rsin)，则点 A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1)，所以PA(1rcos，1rsin)，PB(1rcos，1rsin)，PC(1rcos，1rsin)，PD(1rcos，1rsin)，所以PAPBr22rsin，PAPC2r2，PAPDr22rcos，PBPCr22rcos，PBPD2r2，PCPDr22rsin，PA22r22r(cos sin)，PB22r22r(cos sin)，PC22r22r(cos sin)，PD22r22r(cos sin).PAPCPBPD42r2，为定值，故 A 正确；PAPBPBPCPCPDPDPA4r2，为定值，故 B 正确；当 0 时，|PA|PB|PC|PD|2|PA|2|PB|；当 4时，|PA|PB|PC|PD|PA|PC|2|PB|，显然 2|PA|2|PB|PA|PC|2|PB|，故|PA|PB|PC|PD|不是定值，故选项C错误；PA2PB2PC2PD284r2，为定值，故选项 D 正确综上，故选 C.16.(2018天津卷改编)如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点 E 为边 CD 上的动点，则AEBE的最小值为_ 答案 2116 解析 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形 ABCD 中，ABAD1，BAD120，所以 A(0，0)，B(1，0)，D12，32.设 C(1，m)，E(x，y)，所以DC 32，m32，AD12，32，因为 ADCD，所以32，m3212，320，则32(12)32m320，解得 m 3，即 C(1，3)因为 E 在 CD 上，所以32y 3，由 kCEkCD，得3y1x332112，即 x 3y2，因为AE(x，y)，BE(x1，y)，所以AEBE(x，y)(x1，y)x2xy2(3y2)2 3y2y24y25 3y6，令 f(y)4y25 3y6，y32，3.因为函数 f(y)4y25 3y6 在32，5 38上单调递减，在5 38，3 上单调递增，所以 f(y)min45 38 25 35 3862116.所以AEBE的最小值为2116.17(2021杭州质检)如图，在ABC 中，BAC23，AD3DB，P 为 CD 上一点，且满足APmAC12AB，若ABC 的面积为 2 3.(1)求 m 的值；(2)求|AP|的最小值 解(1)由题意得APmAC12ABmAC23AD，且 C，P，D 三点共线，所以 m231，即 m13.(2)由(1)可知AP13AC12AB，设|AB|c，|AC|b，所以 SABC12bcsin 232 3，解得 bc8，所以|AP|213AC12AB2b29c2413ACAB.因为ACABbccos 234，所以|AP|2b29c24432bc64343，故|AP|2 33，当且仅当 b2 3，c4 33时取等号，故|AP|的最小值为2 33.18在平面直角坐标系 xOy 中，设向量 a(cos，sin)，b(sin，cos)，c12，32.(1)若|ab|c|，求 sin()的值；(2)设 56，0，且 a(bc)，求 的值 解(1)向量 a(cos，sin)，b(sin，cos)，c12，32，|a|b|c|1，且 abcos sin sin cos sin()|ab|c|，|ab|2|c|2，即|a|22ab|b|21.12sin()11，即 sin()12.(2)56，a32，12.依题意，bcsin 12，cos 32.a(bc)，32cos 3212sin 120，化简得，12sin 32cos 12，sin312.0，3323.36，即 2.