2020高中数学第1章导数及其应用章末复习课学案2-.pdf

学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 1 章 导数及其应用 导数的几何意义【例 1】已知函数f（x）x3x16。(1）求曲线yf（x）在点(2，6）处的切线方程；（2）直线 l 为曲线yf(x）的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标;(3)如果曲线yf(x）的某一切线与直线y错误!x3 垂直，求切点坐标与切线的方程 解(1）f（x)（x3x16)3x21，f（x)在点(2,6)处的切线的斜率为kf（2)13。学必求其心得，业必贵于专精 -2-切线的方程为y13(x2)（6）,即y13x32.(2）法一：设切点为（x0,y0），则直线 l 的斜率为f（x0）3x201，直线 l 的方程为 y（3x错误!1)(xx0）x错误!x016.又直线 l 过点(0,0),0（3x2，01)(x0)x错误!x016.整理得，x错误!8，x02.y0（2)3(2)1626。k3(2)2113。直线 l 的方程为y13x，切点坐标为（2，26）法二：设直线 l 的方程为ykx，切点为(x0，y0),则k错误!错误!，又kf（x0)3x错误!1，错误!3x错误!1。解得，x02，学必求其心得，业必贵于专精 -3-y0(2）3（2）1626.k3（2)2113.直线 l 的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3）切线与直线y错误!3 垂直，切线的斜率k4。设切点坐标为(x0，y0),则f（x0）3x错误!14，x01。错误!或错误!即切点为（1，14)或(1，18)切线方程为y4（x1）14 或y4（x1)18.即y4x18 或y4x14。1导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f（x0)（xx0)，明确“过点P（x0，y0）的曲线yf(x）的切线方程与“在点P(x0，y0）处的曲线yf(x）的切线方程”的异同点 2围绕着切点有三个等量关系：切点（x0,y0)，则kf(x0)，学必求其心得，业必贵于专精 -4-y0f（x0），（x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到 1直线ykxb与曲线yx3ax1 相切于点(2,3)，则b_.15 yx3ax1 过点(2,3),a3，y3x23,kyx23439，bykx39215。函数的单调性与导数【例 2】(1）f(x)是定义在（0，)上的非负可导函数，且满足xf（x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，则必有（）Aaf（b)bf（a)Bbf（a）af(b）Caf(a）bf（b）Dbf(b）af（a）(2)设f(x）aln x错误!，其中a为常数，讨论函数f（x)的单调性(1)A 令F(x）错误!，则F（x）错误!。又当x0 时，xf（x）f(x)0，F(x)0，F(x）在(0，）上单调递减 学必求其心得，业必贵于专精 -5-又ab，F(a)F（b），faa错误!,bf(a）af（b)，故选 A.(2)解 函数f(x)的定义域为(0，）f（x)错误!错误!错误!.当a0 时，f（x）0，函数f(x)在(0,）上单调递增 当a0 时，令g(x)ax2（2a2）xa，由于（2a2）24a24（2a1)，当a错误!时,0，f(x)错误!0，函数f（x）在（0，)上单调递减 当a错误!时，0，g（x)0，f（x）0，函数f(x）在（0，)上单调递减 当错误!a0 时,0。设x1，x2（x1x2)是函数g（x)的两个零点，则x1错误!,x2错误!，由x1错误!错误!0,学必求其心得，业必贵于专精 -6-所以x(0，x1)时，g（x)0,f(x)0，函数f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0,f（x)0，函数f（x）单调递增，x(x2，）时，g(x）0,f(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a0 时，函数f(x）在（0，)上单调递增；当a错误!时,函数f（x)在(0，)上单调递减；当12a0 时，函数f(x)在错误!，错误!上单调递减，在错误!上单调递增 利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用fx与其导数fx之间的对应关系,然后结合函数的单调性等知识求解.,求解参数范围的步骤为:1对含参数的函数fx求导，得到fx；2若函数fx在a，b上单调递增,则fx0 恒成立；若函数fx在a，b上单调递减，则fx0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；3验证参数范围中取等号时，是否恒有fx0。若学必求其心得，业必贵于专精 -7-fx0 恒成立,则函数fx在a，b上为常函数，舍去此参数值。2若函数f(x)错误!x3错误!ax2(a1)x1 在区间(1,4)上为减函数，在区间（6，)上为增函数，试求实数a的取值范围 解 函数f(x）的导数f(x）x2axa1.令f(x）0,解得x1 或xa1。当a11，即a2 时,函数f(x）在(1,)上为增函数,不合题意 当a11，即a2 时，函数f（x）在(，1）上为增函数，在（1,a1）上为减函数，在(a1,)上为增函数 依题意当x（1,4)时,f（x)0，当x（6，)时，f（x）0.故 4a16,即 5a7.因此a的取值范围是5,7.函数的极值、最值与导数【例 3】已知函数f（x)x3ax2b的图象上一点P(1,0）且在点P处的切线与直线 3xy0 平行(1)求函数f(x)的解析式；学必求其心得，业必贵于专精 -8-(2)求函数f（x)在区间0，t(0t3）上的最大值和最小值 解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P（1,0）处的切线斜率为f（1）32a，即 32a3,a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f（x)x33x22.（2）由f（x)x33x22，得f（x）3x26x。由f(x)0，得x0 或x2.当 0t2 时，在区间(0，t)上，f（x)0,f（x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0）2，f(x）minf(t）t33t22。当 2t3 时，当x变化时，f(x），f（x)的变化情况如下表：x 0（0,2)2(2，t）t f(x)0 0 f（x）2 2 t33t22 f(x）minf(2)2,f(x）max为f（0）与f（t)中较大的一个 f（t）f（0）t33t2t2（t3）0,所以f(x)maxf(0)2。学必求其心得，业必贵于专精 -9-(变结论）在本例条件不变的情况下，若关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根,求实数c的取值范围 解 令g(x)f（x）cx33x22c，则g（x)3x26x3x（x2）在x1，2）上，g(x）0；在x(2,3上，g（x)0。要使g（x)0 在1,3上恰有两个相异的实根，则错误!解得2c0.(1求极值时一般需确定fx0 的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点。2求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.3(2019全国卷节选）已知函数f(x)sin xln(1x），f（x)为f(x）的导数证明：f(x）在区间错误!存在唯一极大值点 解 设g（x)f(x)，则g（x)cos x错误!,g(x）sin x错误!,学必求其心得，业必贵于专精 -10-当x错误!时,g(x)单调递减,而g(0)0，g错误!0；当x错误!时,g(x)0.所以g（x)在(1，a）单调递增，在错误!单调递减，故g(x）在错误!存在唯一极大值点，即f（x）在错误!存在唯一极大值点.生活中的优化问题【例 4】某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为错误!立方米 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱体部分每平方米建造费用为 3 千元，半球体部分每平方米建造费用为 4 千元设该容器的总建造费用为y千元 （1）将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用 解 由题意可知 错误!r2l错误!，l错误!错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -11-又圆柱的侧面积为 2rl1283r错误!,两端两个半球的表面积之和为4r2.所以y错误!34r24错误!8r2.又l错误!错误!0r2错误!，所以定义域为（0，2错误!)(2)因为y错误!16r错误!,所以令y0，得 2r2错误!;令y0，得 0r2.所以当r2 米时，该容器的建造费用最小，为 96 千元,此时l错误!米 解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型,并确定函数的定义域(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中,导数是一个有力的工具（3)验证数学问题的解是否满足实际意义 学必求其心得，业必贵于专精 -12-4现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为 35 海里/小时,A地至B地之间的航行距离约为 500 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比（比例系数为 0.6）,其余费用为每小时 960元（1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时）的函数；（2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解（1）依题意得y错误!(9600。6x2）错误!300 x,函数的定义域为（0,35，即y错误!300 x（0 x35）(2）由(1)知y错误!300 x(0 x35)，所以y错误!300.令y0，解得x40 或x40(舍去)因为函数的定义域为(0，35，所以函数在定义域内没有极值又当 0 x35 时，y0，所以y错误!300 x在(0，35 上单调递减，故当x35 时,函数y错误!300 x取得最小值 故为了使全程运输成本最小，轮船应以 35 海里/小时的速度行驶.函数方程思想【例 5】设函数f（x)x36x5，xR。学必求其心得，业必贵于专精 -13-（1）求f（x)的极值点；(2）若关于x的方程f（x）a有 3 个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x（1，)时，f（x）k（x1）恒成立，求实数k的取值范围 解（1)f(x）3（x22),令f(x）0，得x1错误!，x2错误!。当x（,错误!)(错误!,)时，f（x)0,当x(错误!，错误!）时，f（x）0,因此x1错误!，x2错误!分别为f(x）的极大值点、极小值点（2)由(1）的分析可知yf(x)图象的大致形状及走向如图所示要使直线ya与yf（x)的图象有3 个不同交点需54错误!f(错误!）af(错误!)54错误!。则方程f（x)a有 3 个不同实根时，所求实数a的取值范围为(54错误!，54错误!）（3）法一：f(x)k（x1),即（x1）（x2x5）k(x1），学必求其心得，业必贵于专精 -14-因为x1,所以kx2x5 在（1,)上恒成立,令g(x）x2x5,由二次函数的性质得g（x)在（1，)上是增函数，所以g(x）g(1)3,所以所求k的取值范围是为（，3 法二：直线yk（x1)过定点(1,0）且f(1）0,曲线f(x）在点（1，0）处切线斜率f(1）3，由（2)中草图知要使x(1，）时,f（x)k（x1）恒成立需k3。故实数k的取值范围为（,3 论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极最值的应用。问题破解的方法是根据题目的要求,借助导数将函数的单调性与极最值列出，然后再借助单调性和极最值情况,画出函数图象的草图，数形结合求解.5已知函数f(x）ex错误!，aR,试讨论函数f(x)的零点个数 解 函数f（x）的定义域为x|xa (1）当xa时，ex0,xa0，f(x)0,学必求其心得，业必贵于专精 -15-即f（x)在（a，）上无零点(2)当xa时，f(x)错误!，令g（x）ex(xa)1，则g（x)ex（xa1)由g（x)0 得xa1。当xa1 时，g(x)0;当xa1 时，g（x)0，g（x）在（,a1)上单调递减，在(a1，）上单调递增，g(x）ming（a1)1ea1.当a1 时，g(a1）0，xa1 是f(x)的唯一零点；当a1 时,g（a1）1ea10，f(x）没有零点；当a1 时，g（a1）1ea10,f(x）有两个零点