2020高中数学第2章解析几何初步.2直线的方程第1课时直线方程的点斜式学案.pdf
学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 1 课时 直线方程的点斜式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握直线方程的点斜式(重点)2。了解直线在y轴上截距的概念（易混点)3。了解斜截式与一次函数的关系（难点)1。通过学习直线的点斜式、斜截式方程，培养数学抽象素养。2.通过求解直线的点斜式、斜截式方程，提升数学运算素养。1直线的点斜式和斜截式方程(1）直线的方程：如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程 直线l上任一点的坐标(x，y）都满足这个方程；满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上(2)直线的点斜式和斜截式方程 名称 点斜式 斜截式 已知条件 点P（x0，y0）和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b 学必求其心得，业必贵于专精 -2-图示 方程 yy0k(xx0）ykxb 适用范围 斜率存在 思考 1:直线的点斜式方程能否表示平面内所有的直线？提示:不能不表示倾斜角为 90的直线 2直线l的截距(1）在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b）的纵坐标(2）在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0）的横坐标 思考 2:直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗？提示：直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数，可正、可负、可为 0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数 1过点P(2，0）,斜率是 3 的直线的方程是()Ay3x2 By3x2 Cy3(x2)Dy3(x2）学必求其心得，业必贵于专精 -3-答案 D 2直线方程为y22x2,则（）A直线过点（2,2），斜率为 2 B直线过点（2,2),斜率为 2 C直线过点(1，2)，斜率为错误!D直线过点(1，2)，斜率为 2 D 把直线方程写成点斜式方程y(2)2(x1)，故直线过点（1,2）,斜率为 2。3直线y2错误!(x3）的倾斜角是_，在y轴上的截距是_ 120 233 因为直线斜率为错误!，所以倾斜角为 120.又因为x0 时，y233,在y轴上的截距是 233。直线的点斜式方程【例 1】根据条件写出下列直线方程的点斜式（1)经过点A（1,4)，倾斜角为 45；学必求其心得，业必贵于专精 -4-（2)经过原点，倾斜角为 60；（3)经过点D（1，1)，倾斜角为 0.解（1)直线斜率为 tan 451，直线方程为y4x1。(2)直线斜率为 tan 603，所求直线的方程为y0错误!(x0）（3)直线斜率为 0，直线方程为y10(x1)1求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率k写出方程yy0k(xx0）2点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0，y0）的所有直线，但斜率不存在的直线除外 1(1）过点（1，2)，且倾斜角为 135的直线方程为_(2）斜率为错误!,与x轴交点的横坐标为7 的直线的点斜式方程为_(1）xy10(2)y0错误!（x7)（1）ktan 1351,由直线的点斜式方程得y2（x1)，即xy10.（2)由直线与x轴交点的横坐标为7，得直线过点(7，0）学必求其心得，业必贵于专精 -5-又斜率为错误!，所以所求直线的点斜式方程为：y0错误!(x7)直线方程的斜截式【例 2】根据条件写出下列直线的斜截式方程（1)斜率为 2,在y轴上的截距是 5；（2）倾斜角为 150，在y轴上的截距是2；（3)倾斜角为 60，与y轴的交点到坐标原点的距离为 3.解(1）由直线方程的斜截式可知,所示直线方程为y2x5.(2)倾斜角150，斜率ktan 150错误!，由斜截式可得方程为y错误!x2.（3）直线的倾斜角为 60，其斜率ktan 603，直线与y轴的交点到原点的距离为 3,直线在y轴上的截距b3 或b3.所求直线方程为y错误!x3 或y错误!x3。学必求其心得，业必贵于专精 -6-1已知直线的斜率或直线与y轴的交点坐标时，常用斜截式写出直线方程 2利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在当直线斜率不存在时,直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距 2根据条件写出下列直线方程的斜截式（1）经过点A(3,4)，在x轴上的截距为 2；（2)斜率与直线xy0 相同，在y轴的截距与直线y2x3的相同 解（1）法一:易知直线的斜率存在,设直线方程为yk(x2)，点A(3,4)在直线上，k4，y4（x2）4x8，所求直线方程的斜截式为y4x8.法二：由于直线过点A(3，4)和点(2,0)，则直线的斜率k错误!4，由直线的点斜式方程得y04（x2)4x8,学必求其心得，业必贵于专精 -7-所求直线方程的斜截式为y4x8.（2)因为直线xy0 的方程可化为yx，斜率为1,直线y2x3 在y轴上的截距为 3,所以所求直线方程的斜截式为yx3.点斜式、斜截式的应用 探究问题 1已知直线l：yk(x1）2 不经过第二象限，如何求k的取值范围？提示：由l的方程知l过定点A(1，2),斜率为k，则kOA2(O为坐标原点），如图所示，数形结合可知,k2 时满足条件 2直线l的斜率为错误!,且与坐标轴所围成的三角形的周长是12，请求出直线l的方程 提示:设直线l的方程为y34xb，令x0，得yb；令y0,得x错误!b，b错误!错误!12，解得b3，所求的直线方程为y错误!x3.学必求其心得，业必贵于专精 -8-【例 3】已知直线l经过点P(2，3），且与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，求直线l的方程 思路探究 先判断直线的斜率一定存在，设出直线方程的点斜式或斜截式，再去构造方程求解 解 显然，直线l与两坐标轴不垂直,否则不构成三角形，设其斜率为k（k0），则直线l的方程为y3k（x2),令x0，得y2k3，令y0，得x错误!2，于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 错误!错误!4,即（2k3)错误!8.若（2k3）错误!8，则整理得 4k24k90,无解 若(2k3)错误!8,则整理得 4k220k90，解之，得k错误!或k错误!。所以直线l的方程为y3错误!（x2)或y3错误!(x2），即y错误!x2 或y错误!x6。学必求其心得，业必贵于专精 -9-1若将本例中“直线l经过点P(2，3)”改为“直线l的斜率为2”，其它条件不变，求直线l的方程 解 设直线方程为y2xb，则 令x0 得yb；令y0 得x错误!；由题意得，错误!b|错误!4，即|b216.所以b4。所以直线l的方程为y2x4 或y2x4.2若将本例中“且与两坐标轴围成的三角形的面积为 4”改为“且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程 解 依题意直线的斜率存在,设为k,直线方程为y3k（x2），令x0 得纵截距为y2k3.令y0 得横截距为x错误!2，依题意得，2k3错误!2,解得k错误!或k1，所以直线方程为y32x或yx1。学必求其心得，业必贵于专精 -10-1直线方程的斜截式ykxb清晰地指出了该直线的两个几何要素:斜率k和截距b.2已知一点的坐标,求过该点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定斜率;已知直线的斜率，常用斜截式,再由其他条件确定该直线在y轴上的截距，无论采用哪种方式，在求解过程中待定系数法是求解该类问题的常用方法.1对直线的点斜式方程的认识（1)应用条件：一个定点P(x0，y0）；有斜率k.(2）局限性：直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线,这时直线方程为：xx00 或xx0.（3）方程特点：当k取任意实数时，方程yy0k(xx0）表示恒过定点（x0，y0)的无数条直线 2对“截距”概念的理解 直线ykxb中的b叫直线在y轴上的截距，也可称为直线的截距,即当x0 时yb。所以直线在y轴上的截距为其与y轴的交点的纵坐标，不是直线与y轴的交点到坐标原点的距离 3直线方程的斜截式与一次函数解析式的关系(1）斜截式方程中,k0 时,ykxb即为一次函数，k0 时，y学必求其心得，业必贵于专精 -11-b不是一次函数（2）一次函数ykxb（k0）一定可以看成一条直线的斜截式方程 1思考辨析（1）点斜式yy1k（xx1）只适用于不平行于x轴且不垂直于x轴的任何直线 （）（2）斜截式ykxb适用于不垂直于x轴的任何直线（3)错误!k表示过点P1(x1，y1）且斜率为k的直线的方程 解析（1)，点斜式yy1k（xx1)适用于平行x轴的直线，所以(1）错（2)，正确(3)，错误!k中不含点P1(x1，y1),所以不能表示过点P1(x1,y1）且斜率为k的直线,因此（3)错 答案(1）（2)（3)2直线ykxb通过第一、三、四象限，则有（）Ak0，b0 Bk0，b0 学必求其心得，业必贵于专精 -12-Ck0 Dk0,b0，b0.3斜率为 4，且经过点（2,3）的直线方程是_ y34（x2）由直线的点斜式方程可得y34(x2）4已知直线l的倾斜角是直线yx1 的倾斜角的 2 倍，且过点P（3，3），则直线l的方程为_ x3 直线yx1 的斜率为 1，所以倾斜角为 45，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的 2 倍，所以所求直线的倾斜角为90，其斜率不存在又直线过点P(3，3)，所以直线l的方程为x3。
