2017人教版七年级数学知识点及典型例题.pdf

第一章 有理数 知识点一 有理数的分类 有理数的另一种分类 想一想：零是整数吗?自然数一定是整数吗?自然数一定是正整数吗?整数一定是自然数吗?零是整数；自然数一定是整数；自然数不一定是正整数，因为零也是自然数；整数不一定是自然数，因为负整数不是自然数。知识点二 数轴 规定了唯一的原点，正方向和单位长度 (三要素)的直线叫做数轴。比3 大的负整数是-2、-1。与原点的距离为三个单位的点有 2 个，他们分别表示的有理数是 3、-3。2.请画一个数轴，并检查它是否具备数轴三要素？在数轴上，原点及原点左边所表示的数是 整数 负数 非负数 非正数 以下语句中正确的选项是 数轴上的点只能表示整数 数轴上的点只能表示分数 数轴上的点只能表示有理数 所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 答案 AD 知识点三 相反数 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数,0 的相反数是 0。在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。知识点四 绝对值 1.绝对值的几何意义:一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。2.绝对值的代数定义：1一个正数的绝对值是它本身；2一个负数数的绝对值是它的相反数；30 的绝对值是 0；4|a|大于或者等于 0。数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从大到小的顺序，即左边的数小于右边的数。由此可知：1正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；2两个负数，绝对值大的反而小。知识点五 有理数加减法 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。2.互为相反数的两个数相加得 0。3.一个数同 0 相加，仍得这个数。4.减去一个数，等于加上这个数的相反数。知识点六 乘除法法则 1.两数相乘，同号得 正，异号得 负，并把绝对值 相乘。0 乘以任何数，都得 0 。2.几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数的个数为 偶数 时，积为正；负因数的个数为 奇数 时，积为负。3.两数相除，同号得 正，异号得 负，并把绝对值 相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0 。4.有理数中仍然有：乘积是 1 的两个数互为 倒数。5.除以一个不等于 0 的数等于乘以这个数的 倒数。知识点七 乘方 乘方定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。知识点八 运算律及混合运算 1.加法交换律：a+b=b+a 1.加法交换律：a+b=b+a 2.乘法交换律：ab=ba 3.加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c 4.乘法结合律：a(bc)=(ab)c 5.乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 6.有理数混合运算顺序：先乘方；再乘除；最后算加减。7.有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。8.同级运算，从左到右进行。知识点九 近似数 1.近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近，像这样的数我们称它为近似数。1具体近似数如 30.2、58.0 2带单位近似数如 2.4 万 3科学记数法 3.精确度：用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数，有一个近似程度的问题，这个近似程度就是精确度。四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位(看精确度得到原数中去看在哪一位上,如:2.4 万精确到千位，而非十分位，因为 2.4万就是 24000，4 在千位上)。4.有效数字：对于一个不为 0 的近似数，从左边第一个不为 0 的数字起，到末尾数止，所有数字都是这个近似数的有效数字。求近似数要求保留 n 个有效数字时，第 n+1 个有效数字作四舍五入处理。例：0.0109 有三个有效数字 1、0、9，要求保留 2 个有效数字时，0.0109 的第三个有效数字 9 四舍五入，变为 0.0110，保留两个有效数字 1、1 后求出近似数0.01090.011。第二章 整式的加减 知识点一 整式的相关概念 代数式中的一种有理式：不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。(分母中含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式)1.单项式：数或字母的积如 5n，单个的数或字母也是单项式。1单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。(如果一个单项式，只含有数字因数，系数是它本身，次数是 0)。2单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为 0)。1概念：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。2多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。3多项式的排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。在做多项式的排列的题时注意：(1)由于单项式的项包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符 看作是这一项的一部分，一起移动。(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意:a.先确认按照哪个字母的指数来排列。b.确定按这个字母降幂排列，还是升幂排列。3.整式:单项式和多项式统称为整式。1数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“”乘，或省略不写；2数与数相乘，仍应使用“”乘，不用“”乘，也不能省略乘号；3数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如 a5 应写成 5a；4带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式；5在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如 3a写成 3/a 的形式；6a 与 b 的差写作 a-b，要注意字母顺序；假设只说两数的差，当分别设两数为 a、b 时，则应分类，写做 a-b 和 b-a.知识点二 整式的加减运算 1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。(同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关)。2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。不能合并的项单独作为一项，不可遗漏 3.整式加减实质就是去括号，合并同类项。注：去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。4.几个重要的代数式：m、n 表示整数 1 a 与 b 的平方差是：a2-b2 ；a 与 b 差的平方是：a-b 2 ；本式中 2 为平方 2假设 a、b、c 是正整数，则两位整数是：10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c；3假设 m、n 是整数，则被5 除商 m 余 n 的数是：5m+n ；偶数是：2n，奇数是：2n+1；三个连续整数是：n-1、n、n+1；4假设 b0，则正数是:a2+b，负数是：-a2-b，非负数是：a2，非正数是：-a2 本式中 2 为平方 第三章 一元一次方程 知识点一 方程的相关概念 等式：表示相等关系的式子。方程：含有未知数的等式。(方程一定是等式,但等式不一定是方程)。方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。解方程：求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程。一元一次方程：只含一个未知数，未知数的次数是 1，并且等式两边都是整式的方程。同解方程：两方程的解相同。知识点二 等式的性质 等式的性质 1：等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等。即：如果 a=b，那么 ac=bc。等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。即：如果 a=b，那么 ac=bc；如果 a=b(c0)，那么 a/c=b/c。知识点三 解一元一次方程 1.一般解法：去分母：两边同乘以各分母的最小公倍数；去括号；移项：移项要变号；合并同类项：把方程化成 ax=b(a0)的形式；系数化为 1：两边同除以未知数的系数,得到方程的解 x=b/a。2.一元一次方程的应用(重点难点)列方程解应用题的关键是：仔细审题，找出能正确表达题目整体数量关系的一个相等关系，再设未知数，并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。a.和差倍分问题：这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。b.行程相遇问题：三个基本量的关系 路程=速度时间(1)两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间:甲的路程+乙的路程=一圈的长度(直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同)；(2)两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度。c.工程任务问题：三个基本量的关系:工作量=工作效率工作时间 一般情况下，把全部工作量看做 1(即 100%)，工作效率=1工作时间(各个量一定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量)。合作效率=各个人的效率之和。d.利润问题：利润=售价-成本=成本利润率；利润率=利润成本；实际售价=标价折扣率。e.分配问题：例：某车间有 22 名工人加工生产一种螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓 120 个或螺母 200 个，一个螺栓要配两个螺母(建立等量关系的依据)，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？f.水上航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。应用举例 1.一本书，小明第一天读了十分之一，第二天读了 10 页，已读的是未读的 14,请问这本书一共有多少页?等量关系：已读的+未读的=总页数(或已读的=总页数-未读的，未读的=总页数-已读的)。2.某服装七月份下降了 10%，八月份上升了 10%，则八月份价格与原价比()A.不变 B.增加 1%C.减少 9%D.减少 1%注意：不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7 月份是在原价基础上下降10%,8 月份是在 7 月份基础上上升 10%而不再是在原价基础上上升。3.甲乙两人在 400 米的圆形跑道上跑步,甲每秒跑 9 米,乙每秒跑 7 米。(1)当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?(2)当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?分析(1):设经过 x 秒首次相遇。两人加起来跑完一圈即 400 米时首次相遇,所以等量关系式是:甲的路程+乙的路程=一圈的长度 400 米 甲的路程=甲的速度时间 x 乙的路程=乙的速度时间 x 得到方程:9x+7x=400(2)设经过 x 秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈与慢的人相遇,所以等量关系式是:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度 400 米,在这即是甲的路程-乙的路程=400。4.一项任务,甲独做需 x 天,乙独做需 y 天,假设两人合作需_天 分析:合作时间=工作量合作效率 工作量=1 合作效率=甲的效率+乙的效率 甲的效率=工作量甲的时间=1x 乙的效率=工作量乙的时间=1y 合作时间=1(1x+1y)5.某种商品每件的进价为 250 元,按标价的 9 折销售时,利润率为 15.2%,这种商品每件标价多少元？分析：设标价 x 元,等量关系:利润(求)成本(已知 250 元)=利润率(已知 15.2%)利润=实际售价(标价的 9 折即 90%x)-成本 250(90%x-250)250=15.2%第四章 图形认识初步 知识点一：几何图形 1.我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。2.有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。3.有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。如线段、角、三角形、长方形、圆等。4.立体图形与平面图形虽然是两类不同的几何图形，但是立体图形中某些部分是平面图形，对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的外表适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形成为相应立体图形的展开图。知识点二 点、线、面、体 1.立体图形是几何体，简称体；包围着体的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线；线和线相交的地方是点。2.几何图形都是由点、线、面、体组成，点是构成图形的基本元素。知识点三 直线、射线、线段 1.线段：直线上两个点和它们之间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点。射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。点 p 在直线 a 上(或说直线 a 经过点 p)；点 p 不在直线 a 上(或说直线 a 不经过点 p)。过一点可画无数条直线，过两点有且仅有一条直线。简述为：两点确定一条直线。3.线段的中点：把一线段分成两相等线段的点。两点的所有连线中，线段最短，简述为：两点之间，线段最短。两点间的距离：连接两点间的线段的长度。线段的长短比较：度量法；叠合法 知识点四 角 角：由两条具有公共端点引出射线组成的图形(也可看做是由一射线绕端点旋转而成。角的表示：三个大写字母;一个大写字母(不混淆情况下方可使用);一个数字;一个希腊字母。角的要素：顶点和边，角的大小与边的长短无关。角的单位：度,分,秒 1的 60 分之一为 1 分，记作 1，即 160 1的 60 分之一为 1 秒，记作 1，即 160 角的大小比较：度量法；叠合法。角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个等角，这条射线叫角平分线。余角和补角：如果两个角的和等于 90直角，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于 180平角，就说这两个角互为补角。性质：等角的补角相等；等角的余角相等。题型一：作图题 例 1 已知：线段 m、n。如图 求作：线段 AC，使 AC=m-n。作法：1作射线 AM；2在射线 AM 上截取 AB=m。3在线段 AB 上截取 BC=n。则线段 AC 就是所求作的线段。题型二：线段的分类考虑 例 2 已知线段 AB8cm，在直线 AB 上画线段 BC，使它等于 3cm，求线段 AC 的长。解：此题分两种情况：如图 449 所示，当点 C 在线段 AB 的延长线上时，ACABBC8311(crn)；如图 4410 所示，当点 C 在线段 AB 上时，AC=ABBC835(cm)所以线段 AC 的长为 11 cm 或 5cm。例 3 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是()A1 或 3 B3 C2 D1 解析：这道题要分两种情况考虑：一是这三点都在一条直线上时，就只能画出一条直线；二是这三点不在同一条直线上时，此时共可以画出三条直线 答案：A 题型三：两角互补、互余定义及其性质的应用 例 4 一个角的补角是这个角的 4 倍，求这个角的度数 解：设这个角是 x，则它的补角是(180 x)。由题意，得 180 x4 x，解得 x36所以这个角是 36。点拨 此题主要考查补角定义的应用，数学中利用方程、转化思想，可将“形”的问题转化为“数”的问题研究，从而简捷解决问题。例 5 如果一个角的补角是 120，那么这个角的余角是()A30 B60 C90 D150 解析：此题是对余角、补角的综合考查，先根据这个角的补角是 120，求出这个角是 60，再求出它的余角是 30。答案：A 例 6 根据补角的定义和余角的定义可知，10的角的补角是 170，余角是80；15的角的补角是 165，余角是 75；32的角的补角是 148，余角是 58.观察以上各组数据，你能得出怎样的结论?请用任意角 代替题中的 10、15、32的角来说明你的结论。解：结论为：一个角的补角比这个角的余角大 90。说明：设任意角是(090)，的补角是 180，的余角是 90，则(180)(90)90。题型四 角的有关运算 例 7 如图 443 所示，AB 和 CD 都是直线，AOE90，3=FOD，12720，求2、3 的度数。解：因为AOE90，所以29019027206240 又因为AOD180115240，3FOD，所以3AOD7620 所以上 26240，37620 例 8 如图 444 所示，OB、OC 是AOD 内任意两条射线，OM 平分AOB，ON平分COD，假设MON，BOC=，用、表示AOD。解：因为MON，BOC=，所以BOMCONMONBOC=又 OM 平分AOB，ON 平分COD，所以AOBCOD2BOM2CON=2(BOMCON)2()，所以AODAOBCODBOC2()=2.例 9 (1)用度、分、秒表示 5412(2)324424等于多少度?(3)计算：13322433 解：(1)因为 01260012=72，0.2=6002=12，所以 5412=54712(2)因为 24=()2404，444=()444=074，所以 324424=32.74(3)13322433(13282)3433=44823433 44(811)3433=442713433=4427103344273=44273。题型五 钟表的时针与分针夹角问题 例 10 15：25 时钟面上时针和分针所构成的角是_度 解析：起始时刻定为 15：00(下午 3 点整时，时针和分针构成的角是 90)，终止时刻为 15：25，从图 445 中可以看出分针从 12 转到 5 用了 25 分钟，转了625150，时针转了 0.52512.5，所以 15：25 时钟面时针和分针所构成的角为 15090 12.547.5 例 11 从 3 时到 6 时，钟表的时针旋转角的度数是()A30 B60 C90 D120 考点突破：此类题是近几年中考中的热点问题，考查形式为选择题或填空题解决此类问题需明确：在钟表上，1 分钟分针走 6，1 小时时针走 30。题型六：方位角 例 12 如图 4424 所示，一只蚂蚁从 O 点出发，沿北偏东 30方向爬行 2.5 cm，碰到障碍物 B 后，又沿西北方向爬行 3 cm 到达 C 处。1)画出蚂蚁爬行的路线；(2)求OBC 的度数；(3)测出线段 OC 的长度(精确到 0.1 cm)解：(1)蚂蚁爬行的路线如图 4425 所示 (2)因为蚂蚁从 O 点出发沿北偏东 30方向爬行 2.5 cm 到达 B 处，即OBD30，则ABO60 又因为蚂蚁到达 B 处后又沿西北方向爬行了 3 cm，即ABC45 所以OBCABOABC6045105(3)用刻度尺测量 OC 的长约为 4.4 cm 题型七 折叠问题 例 12 如图，长方形纸片 ABCD，点 E、F 分别在边 AB、CD 上，连接 EF将BEF对折，点 B 落在直线 EF 上的点 B处，得折痕 EM；将AEF 对折，点 A 落在直线EF 上的点 A处，得折痕 EN，求NEM 的度数 解：EN 平分AEA,所以 AEN=AEN 同理,EM 平分BEB,所以 BEM=BEM 因为：AEN+AEN+BEM+BEM=180度 所以：AEN+BEM=90度