2020高中数学第章立体几何初步..空间几何体的表面积讲义.pdf
学必求其心得，业必贵于专精 -1-1。3.1 空间几何体的表面积 学 习 目 标 核 心 素 养 1。了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的几何特征（重点)2.了解柱、锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式)(易错点）3.会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积（重点、难点）通过学习本节内容来提 升 学 生 的 直 观 想象、数学运算核心素养。1几种特殊的多面体(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱（2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱(3）正棱锥:一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥正棱锥的侧棱长都相等(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台 2几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 学必求其心得，业必贵于专精 -2-几何体 直观图 侧面展开图 侧面积 直（正）棱柱 S直（正）棱柱侧ch 正棱锥 S正棱锥侧错误!ch 正棱台 S正棱台侧错误!（cc)h 圆柱 S圆柱侧cl2rl 圆锥 S圆锥侧错误!clrl 圆台 S圆台侧错误!(cc)l（rr)l 思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？提示：S圆柱侧2rl错误!S圆台侧(rr)l错误!S圆锥侧rl。1.思考辨析（1)棱长都相等的长方体是正方体 （）学必求其心得，业必贵于专精 -3-(2)有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱（3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱（4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 （)答案（1)（2)（3)（4)2正三棱锥的底面边长为a，高为错误!a,则此棱锥的侧面积为_ 错误!a2 如图，在正三棱锥S。ABC中,过 点S作SO平面ABC于O点,则O为ABC的中心,连结AO并延长与BC相交于点M，连结SM，SM即为斜高h,在 RtSMO中，h 错误!错误!a，所以侧面积S3错误!错误!aa错误!a2。3以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于_ 2 以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r1，高h1,所以侧面积S2rh2.4已知圆柱的底面半径为 1,母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为_ 6 S2122126.学必求其心得，业必贵于专精 -4-棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积【例 1】正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3,求它的表面积 思路探究：由S侧与S底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长,最后求表面积 解 如图，设PO3，PE是斜高，S侧2S底，412BCPE2BC2。BCPE。在 RtPOE中，PO3，OE错误!BC错误!PE。9错误!错误!PE2，PE2错误!.S底BC2PE2(2错误!）212。S侧2S底21224。S表S底S侧122436。求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，学必求其心得，业必贵于专精 -5-高，斜高，侧棱求解时要注意直角三角形和梯形的应用 1已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高 解 如图所示,在三棱台ABC。ABC中，O，O分别为上、下底面的中心，D，D分别是BC，BC的中点，则DD是等腰梯形BCCB的高,所以S侧3错误!(2030）DD75DD。又AB20 cm，AB30 cm,则上、下底面面积之和为S上S下错误!(202302)325错误!(cm2)由S侧S上S下，得 75DD325错误!，所以DD错误!错误!（cm)，又因为OD错误!20错误!(cm)，OD错误!305错误!(cm)，所以棱台的高hOO错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -6-4错误!（cm）.圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积【例 2】已知圆锥的底面半径为R,高为 3R。若它的内接圆柱的底面半径为错误!R，求该圆柱的全面积 思路探究:作出轴截面，转化为平面问题，利用比例关系找出高与半径的函数关系 解 设圆柱底面半径为r，高为h，由题意知r错误!R，错误!错误!，h错误!R，S圆柱全2r22rh2错误!错误!2错误!错误!错误!R2。1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键 2.解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题，通常是作出轴截面，转化为平面问题来求解 2圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180，那么圆台的表面积是多少？解 如图所示,设圆台的上底面周长为c，因为扇学必求其心得，业必贵于专精 -7-环的圆心角是 180，故cSA210，所以SA20，同理可得SB40，所以ABSBSA20,所以S表面积S侧S上S下(r1r2）ABr错误!r错误!（1020)201022021 100(cm2）故圆台的表面积为 1 100 cm2.几何体侧面积和全面积的实际应用 探究问题 如图（1)所示，已知正方体面对角线长为a,沿阴影面将它切割成两块，拼成如图（2）所示的几何体，那么此几何体的表面积与正方体的表面积之比为多少？（1）(2）提示 由已知可得正方体的边长为错误!a，新几何体的表面积为S表(2)2错误!aa4错误!错误!（2错误!)a2。S表(2)S表（1)(2错误!）a26错误!错误!(22）3。学必求其心得，业必贵于专精 -8-【例 3】用油漆涂 100 个圆台形水桶（桶内、外侧都要涂)，桶口直径为 30 cm，桶底直径为 25 cm,母线长是 27。5 cm，已知每平方米需要油漆 150 g，共需要多少油漆?(精确到 0。1 kg）思路探究：求水桶的表面积计算总油漆量 解 每个水桶需要涂油漆的面积为S（S桶底S侧）2 错误!2 0。182 5(m2），因此 100 个水桶需要油漆 1000.182 50.158。6（kg)对于有关几何体侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题 3一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为 1 m、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体如果每平方米大约需要鲜花 150 朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(取 3。1)？解 圆柱形物体的侧面面积S13。1139。3(m2)，半球形物体的表面积为S223.1错误!错误!1。6（m2),所以S1S29.31。610。9(m2)，学必求其心得，业必贵于专精 -9-即 10。91501 635（朵）答：装饰这个花柱大约需要 1 635 朵鲜花 1本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体的表面积求法，难点是求组合体的表面积 2本节课要掌握的规律方法(1)求简单空间几何体侧面积、表面积的方法技巧（2）求组合体的表面积方法 3本节课易错点是求几何体表面积时弄错数据和运算错误 1圆台的上、下底面半径分别是 3 和 4，母线长为 6，则其表面积等于（）A42 B51 C58 D67 D S圆台表S圆台侧S上底S下底（34）6324267.2一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a,则它的表面积是_ 6a23错误!a2 正六棱柱的表面积为 6a23错误!a2。学必求其心得，业必贵于专精 -10-3一个圆柱的底面面积是S,其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为_ 4S 设圆柱的底面半径为R，则SR2,R错误!，底面周长c2R。故圆柱的侧面积为S圆柱侧c2（2R）242错误!4S。4一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为 2。7 m,侧棱长为 2。3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸,则需多少油毡纸?(精确到 0.1 m2）解 如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高,则SE就是正四棱锥的斜高 在 RtSAE中,SA2。3 m，AE1。35 m,所以SE错误!1。86(m）,而底面周长42.710.8(m），所以S棱锥侧1210。81.8610.0（m2)故需要油毡纸约 10。0 m2。
