2021届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学试题(解析版).pdf

努力的你，未来可期!精品 2021 届重庆市育才中学高三上学期入学考试数学试题 一、单选题 1 已知集合04,AxxxZ，集合2,By ym mA，则AB（）A1 B1,2,3 C1,4,9 D【答案】A【解析】先求得集合A，由此求得集合B，进而求得AB.【详解】依题意1,2,3A，所以1,4,9B，所以1AB.故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2已知1223p xqx：，：，则p是q的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意:12p x1x 或3x ，利用充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】由题意:1212pxx 或121xx 或3x ，由“1x 或3x ”不能推出“23x”；由“23x”可推出“1x 或3x ”；故p是q的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题.3设121izii，则|z（）A0 B1 C5 D3【答案】B 努力的你，未来可期!精品【解析】先将z分母实数化，然后直接求其模【详解】11122=2=211121iiiiziiiiiiiz（）（）（）（）【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题 4某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校，下列各图中，符合这一过程的是（）A B C D【答案】C【解析】第一段匀速慢，第二段停止，第三段加速，得出与学校的距离的变化情况，即可得出结论.【详解】由于开始匀速行驶，所以离学校的距离匀速减少，中间一段停留，与学校距离没变，然后加速赶到学校，与学校的距离在同样的时间段内减少的越来越快，故选：C.【点睛】本题考查函数的图象以及函数的实际应用，属于基础题.5若(21)65fxx，则()f x的解析式是 A()f x 32x B()f x 31x C()f x 31x D()f x 34x【答案】A 努力的你，未来可期!精品【解析】令21xt 换元，整理可得 31532f ttt，所以 32f xx【详解】令 121,31532,322txtxf tttf xx ，故选 A【点睛】已知复合函数的表达式，求外层函数的表达式用换元法 6函数2()ln(1)f xxx的零点所在的区间是（）A1,12 B(1,1)e C(1,2)e D(2,)e【答案】C【解析】根据对数函数的性质可得而(1)0f e且(2)0f，利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数 2ln1f xxx在0,上单调递增且连续，而22(1)ln(1 1)1011f eeee ，2(2)ln(2 1)ln3 102f，即(1)20f ef，所以，函数 2ln1f xxx的零点所在的区间是1,2e，故选 C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于中档题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.7设4log 9a，122b，13827c则（）Aabc Bbac Cacb Dcab【答案】C【解析】利用指数、对数函数的单调性，以及适当的中间量，即可得出答案.【详解】因为44233log 9log 8log 222a,1383272c，12022231b，努力的你，未来可期!精品 所以acb，故选：C【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于基础题.8函数32ln|()xxf xx的图象大致为（）A B C D【答案】A【解析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项【详解】解：函数的定义域为0 x x，因为3322()ln|ln|()()()xxxxfxf xxx，所以()f x为偶函数，所以排除 C,D,又因为当0 x 时，322lnln()xxxf xxxx，当x时，()f x ，所以排除 B 故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案 9 已知函数()yf x的定义域是R，值域为 1,2，则值域也为 1,2的函数是（）努力的你，未来可期!精品 A2()1yf x B(21)yfx C()yf x D|()|yf x【答案】B【解析】已知()f x的定义域和值域，然后可根据各选项所给函数的特点分别分析函数的值域；这里的选项所给的均是常见的平移、伸缩、对称、翻折变换，可从这几个方面入手.【详解】()f x的定义域为R，值域为 1,2，即1()2f x；A2()1 1,5 yf x，即2()1yf x的值域为 1,5，该选项错误；B(21)1,2 yfx，即(21)yfx的值域为 1,2，该选项正确；C()2,1 yf x，即()yf x 的值域为 2,1，该选项错误；D()0,2yf x，即|()|yf x的值域为0,2，该选项错误故选B【点睛】函数图象常见的四种变换：平移、伸缩、对称、翻折.平移：()()yf xyf xA；伸缩：()()yf xyAf x或者()yf Ax；对称：()()yf xyf x（关于x轴对称）或者()yfx（关于y轴对称）；翻折：()|()|yf xyf x（将x轴下方图象翻折到上方）或者(|)yfx（将y轴右边图象翻折到左边）.二、多选题 10设非空集合 P，Q满足PQQ，且PQ，则下列选项中错误的是（）AxQ，有xP BxP，使得xQ C xQ，使得xP DxQ，有xP【答案】CD【解析】由两集合交集的结果推出 Q是 P 的真子集，再根据真子集的概念进行判断.【详解】因为PQQ，且PQ，所以 Q 是 P的真子集，所以xQ，有xP，xP，使得xQ，CD错误.努力的你，未来可期!精品 故选：CD【点睛】本题考查集合交集的概念、真子集的概念，属于基础题.11已知函数 f x对任意xR都有 422f xf xf，若1yf x的图象关于直线1x 对称，且对任意的1x，20,2x，且12xx，都有 12120f xf xxx，则下列结论正确的是（）A f x是偶函数 B f x的周期4T C20220f D f x在4,2 单调递减【答案】ABC【解析】由1yf x的图象关于直线1x 对称，则(11)(11)fxfx，即()()fxf x，故()f x是偶函数，可判断 A 的正误；由 422f xf xf，令2x，可得(2)0f，则(4)()f xf x，得到()f x的周期，可判断 B的正误；又()f x在(0,2)递增，结合奇偶性，周期性，再判断 CD是否正确.【详解】由1yf x的图象关于直线1x 对称，则(11)(11)fxfx，即()()fxf x，故()f x是偶函数，A 正确；由 422f xf xf，令2x，可得(2)0f，则(4)()f xf x，则()f x的周期4T，B 正确；2022(45052)(2)0fff，故 C正确；又()f x在(0,2)递增，则(2,0)递减，由周期4T，则 f x在4,2 单调递增，故 D 错误.故答案为：ABC【点睛】本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.12 德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成就显著.19 世纪,狄利努力的你，未来可期!精品 克雷定义了一个“奇怪的函数”1,0,RxQyf xxC Q其中 R为实数集,Q为有理数集.则关于函数 f x有如下四个命题,正确的为()A函数 f x是偶函数 B1x,2RxC Q,1212f xxf xf x恒成立 C任取一个不为零的有理数 T,fx Tfx对任意的xR恒成立 D不存在三个点 11,A x f x,22,B xf x,33C xf x，,使得ABC为等腰直角三角形【答案】ACD【解析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可【详解】对于 A，若xQ，则xQ，满足()()f xfx；若RxC Q，则RxC Q，满足()()f xfx；故函数()f x为偶函数，选项 A正确；对于 B，取12,RRxC Q xC Q ，则 1201f xxf，120f xf x，故选项 B错误；对于 C，若xQ，则xTQ，满足 f xf xT；若RxC Q，则RxTC Q，满足 f xf xT，故选项 C正确；对于 D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：直角顶点A在1y 上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，则BC中点的横坐标仍然为无理数，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为 1 矛盾，故不成立；直角顶点A在1y 上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横努力的你，未来可期!精品 坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为 1 矛盾，故不成立；直角顶点A在x轴上，斜边在1y 上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为 0矛盾，故不成立；直角顶点A在x轴上，斜边不在1y 上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为 1 矛盾，故不成立 综上，不存在三个点 11,A x f x，22,B xf x，33C xf x，使得ABC为等腰直角三角形，故选项 D正确 故选：ACD【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题 努力的你，未来可期!精品 三、填空题 13151lg2lg222=_ 【答案】1【解析】【详解】试题分析：15155lg2lg2()lglg42lg(4)2lg1021 212222 【考点】对数的运算 14若 yf x的定义域为0,2，则函数 21fxg xx的定义域是 _.【答案】0,1【解析】根据抽象函数的定义域的求法，求得 g x的定义域.【详解】由于 yf x的定义域为0,2，故对 g x有0220110 xxx，所以 g x的定义域为0,1.故答案为：0,1【点睛】本小题主要考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.15 已知函数 f x是定义域在R上的偶函数，且11f xf x，当 0,1x时，3f xx，则关于x的方程 cosf xx在1 5,2 2上所有实数解之和为_.【答案】7【解析】判断出 f x的奇偶性和周期性，画出 f x和cosyx在1,3上的图象，根据对称性求得所求.【详解】依题意 f x是定义在R上的偶函数，由于11f xf x，所以 f x是周期为2的周期函数.由于函数cosyx的最小正周期为22，所以cosyx的最小正周期为1，且coscosxx，所以函数cosyx为偶函数.努力的你，未来可期!精品 画出 f x和cosyx在1,3上的图象如下图所示（画 f x两个周期的图象，不影响后续分析），由图可知，在区间1 5,2 2上，两个函数图象的交点共7个，其中6个两两分别关于直线1x 对称，有一个是 1,1，所以关于x的方程 cosf xx在1 5,2 2上所有实数解之和为3 2 17 .故答案为：7 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，属于中档题.16 已知函数 2f xx2ax，2g x4a lnxb，设两曲线 yf x，yg x有公共点 P，且在 P 点处的切线相同，当a0,时，实数 b 的最大值是 _【答案】2 e【解析】由题意可得 00f xg x，00f xg x，联立后把 b用含有 a 的代数式表示，再由导数求最值得答案 努力的你，未来可期!精品【详解】设00,P x y，22f xxa，24ag xx 由题意知，00f xg x，00f xg x，即2200024xaxa lnxb，200422axax，解得0 xa或02(xa 舍)，代入得：2234baa lna，0,a，68421 4baalnaaalna，当140,ae时，0b，当14,ae时，0b 实数 b 的最大值是1144342b eeelnee 故答案为2 e【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题 四、解答题 17在锐角ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，已知3coscosbcAaC；（1）求cos A的值：（2）已知2AB，ABC的面积为28 29，求BC的长.【答案】（1）13；（2）4 113.【解析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和差的正弦公式整理即可得结果；努力的你，未来可期!精品（2）由（1）知1cos3A，所以2 2sin3A，由面积公式可得AC的值，再利用余弦定理即可求得BC的长.【详解】（1）由正弦定理得：3sinsincossincosBCAAC,即3sincossincoscossinBAACAC，所以3sincossinsinBAA CB，因为sin0B，所以3cos1A，得1cos3A，（2）由（1）知1cos3A，所以2 2sin3A，1sin228 29ABCSABACA，即12 228 29223AC，解得：143AC，在ABC中，由余弦定理得：2222cosBCABACABACA 221414117616 1122 233399 ，所以4 113BC 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，涉及两角和的正弦公式，属于中档题.18为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，某学校抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在寒假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间2,4的有8 人 努力的你，未来可期!精品 （I）求直方图中a的值及甲班学生平均每天学习时间在区间10,12的人数；（II）从甲、乙两个班平均每天学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试，设 4 人中甲班学生的人数为k，求k的分布列和数学期望【答案】（I）3；（II）127.【解析】试题分析：（I）由直方图能求出a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间1012（，的人数；（II）由已知得的所有可能取值为0123，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.试题解析：（I）由直方图知，0.150.1250.1 0.087521a，解得0.0375a，因为甲班学习时间在区间2,4的有 8 人，所以甲班的学生人数为8400.2，所以甲、乙两班人数均为 40 人 所以甲班学习时间在区间10,12的人数为40 0.03753（人）（II）乙班学习时间在区间10,12的人数为40 0.05 24（人）由知甲班学习时间在区间10,12的人数为 3 人，在两班中学习时间大于 10 小时的同学共 7 人，k的所有可能取值为 0，1，2，3 0434471035C CP kC，13344712135C CP kC，22344718235C CP kC，3134474335C CP kC 所以随机变量k的分布列为：k 0 1 2 3 努力的你，未来可期!精品 P 135 1235 1835 435 112184120123353535357Ek 19已知各项都是正数的数列 na的前n项和为nS，212nnnSaa，*nN.（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列 nb满足：21nnnbaa，求数列1nb的前n项和nT.【答案】（1）12nan；（2）21nnTn.【解析】（1）利用11,1,2nnnS naSSn求得数列 na的通项公式.（2）利用裂项求和法求得nT.【详解】（1）依题意0na，212nnnSaa，当1n 时，211112aaa，解得112a；当2n 时，212nnnSaa，211112nnnSaa，两式相减并化简得 11102nnnnaaaa，其中10nnaa，所以1102nnaa，即1122nnaan.所以数列 na的通项是首项为112a，公差为12的等差数列，所以12nan.（2）由（1）得12nn nb，所以1211211nbn nnn，所以11111212231nTnn 122 111nnn.【点睛】努力的你，未来可期!精品 本小题主要考查已知nS求na，考查裂项求和法，属于中档题.20 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆：222210 xyabab的离心率为22，直线l：2y 上的点和椭圆上点的最小距离为 1.（1）求椭圆的方程：（2）已知椭圆的上顶点为A，点B，C是上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F.记直线AC与AB的斜率分别为1k，2k.求证：12kk为定值；求AEF的面积的最小值.【答案】（1）2212xy；（2）证明见解析；2.【解析】（1）根据已知条件得到,cba，结合222abc求得,a b c的值，从而求得椭圆的方程.（2）设出,B C两点的坐标，计算1212kk，由此证得结论成立.求得直线,AC AB的方程，由此求得,E F两点的坐标，由此求得EF的最小值，进而求得AEF的面积的最小值.【详解】（1）依题意可知2222221cababc，解得2,1abc，所以椭圆的方程为2212xy.（2）设0000,B x yCxy，且002x.则222200001,122xxyy .努力的你，未来可期!精品 00120011,ACAByykkkkxx，所以20200012220000111122xyyykkxxxx 为定值.直线AC的方程为0011yyxx，令2y 解得001Fxxy，直线AB的方程为0011yyxx，令2y 解得001Exxy，所以000000020000011211111xyxyxxxEFyyyyy 020002442xxxx，由于002x，所以00124,2 22xx，也即EF的最小值为2 2.所以AEF的面积的最小值为12 22 122.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.21如图 1，在高为 2 的梯形ABCD中，/AB CD，2AB，5CD，过A、B分别作AECD，BFCD，垂足分别为E、F.已知1DE，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADEBCF，如图 2.（1）若AFBD，证明：BDE为直角三角形；（2）若/DE CF，3CD，求平面ADC与平面ABFE所成角的余弦值.努力的你，未来可期!精品【答案】(1)证明见解析；(2)155【解析】（1）由AFBE，AFBD可得AF 平面BFE，得出AF DE，结合DEAE即可得出DE 平面ABFE，故而DEBE；（2）求出CFE的大小，以E为原点建立空间坐标系，求出平面ACD和平面ABFE的法向量，计算两法向量的夹角即可得出二面角的大小【详解】（1）证明：连接BE，由已知可知四边形ABFE是正方形，AFBE，又AFBD，BEDEE，AF平面BDE，又DE 平面BDE，AFDE，又DEAE，AEAFF，DE平面ABFE，又BE 平面ABFE，DEBE，即BDE为直角三角形（2）取CF的中点M，连结DM，则四边形DEFM是平行四边形，2DMEF，112CMCF，又3CD，1431cos2 1 22CMD，即60CMDCFE，过E作EGEF，则EG 平面ABFE，以E为原点，以EA，EF，EG为坐标轴建立空间直角坐标系，则(2A，0，0)，(0C，1，3)，(0D，12，3)2，(2AC ，1，3)，(2AD ，12，3)2，设平面ACD的法向量为(nx，y，)z，则00n ACn AD，即230132022xyzxyz，令3z 得(1n，1，3)，又GE 平面ABFE，(0m，0，1)是平面ABFE的一个法向量，315cos,55mnm nm n，由图形可知平面ADC与平面ABFE所成角为锐二面角，努力的你，未来可期!精品 平面ADC与平面ABFE所成角的余弦值为155 【点睛】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题 22已知 sinf xx，lng xx，21h xxax.（1）若 0,1x，证明：1f xg x；（2）对任意0,1x都有 0f xeh xg x，求整数a的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）构造函数 sinln1 01F xxxx，利用二阶导数的方法证得 00F xF，由此证得结论成立.（2）先求得1x 时，a的取值范围，再结合（1）的结论，求得a的最大值.【详解】（1）设 sinln1 01F xxxx，1cos1Fxxx，注意到 00F.设 21,sin1xFxxxx，x在 0,1上递减，11sin104，010，所以存在唯一零点00,1x，使得 00 x.则 Fx在00,x上递增，在0,1x上递减.111cos1cos0223F ，00F，所以 0Fx 在0,1上恒成立，所以 F x在 0,1上递增.所以 00F xF，即 0F x，所以当 0,1x时 1f xg x.努力的你，未来可期!精品（2）因为对任意0,1x，不等式 0f xeh xg x恒成立，即sin21 ln0 xexaxx 恒成立.令1x，则sin1sin10,eaea，由（1）知sin1ln 2，所以ln2sin1123eee，由于a为整数，所以2a.因此sin2sin21 ln21 lnxxexaxxexxx .下证明 sin221 ln0 xH xexxx 在区间0,1恒成立即可.由（1）知sinln1xx在区间0,1恒成立，即sin1xex，故 22121 lnlnH xxxxxxxx ，设 2ln,0,1G xxxx x，则 2211121210 xxxxGxxxxx，所以 G x在0,1上递减，所以 10G xG，所以 0H x 在0,1上恒成立.综上所述，整数a的最大值为2.【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于较难题.