量子力学导论考研名校量子力学考研真题解析.pdf

量子力学导论考研名校量子力学考研真题解析 一、考研真题解析库 9 两个无相互作用的粒子置于一维无限深方势阱（0 xa）中，对于以下两种情况，写出两粒子体系可具有的两个最低能量值，相应的简并度，以及上述能级对应的所有二粒子波函数：（1）两个自旋为 1/2 的可区分粒子；（2）两个自旋为 1/2 的全同粒子。中国科学院 2007 研【解题思路】对于可解模型一维无限深势阱，可以通过定态薛定谔方程来求解相应的本征波函数和本征值，由可区分粒子和全同粒子的性质，可以构造相应的两粒子波函数。【解析】（1）对于一维无限深势阱中的单粒子，由定态薛定谔方程可得 波函数为 本征能量为 对于两个可区分粒子 基态 能量 波函数 因此，能级简并度为 4。第一激发态 或者 能量 波函数 因此，能级简并度为 8。（2）对于两个全同粒子，自旋 1/2 为费米子，则总波函数满足交换反对称关系。基态 能量 波函数 能级非简并。第一激发态 或者 能量 波函数 能级简并度为 4。【知识储备】一维无限深方势阱 若势能满足 在阱内（|x|a），体系所满足的定态薛定谔方程是 在阱外（|x|a），定态薛定谔方程是 体系的能量本征值 本征函数 全同粒子 a全同粒子定义 在量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋等）相同的微观粒子称为全同粒子。b全同性原理 全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。描述全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称的，而且这种对称性不随时间改变。c两个电子的自旋函数 若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数S和反对称自旋波函数A，分别写为 【拓展发散】两个自旋为 1 的全同粒子，即玻色子，求解相应的波函数和能量，以及简并度。30 假设自由空间中有两个质量为 m、自旋为/2 的粒子，它们按如下自旋相关势相互作用，其中 r 为两粒子之间的距离，g0 为常量，而（il，2）为分别作用于第 i 个粒子自旋的 Pauli 矩阵。（1）请写出该两粒子体系的一组可对易力学量完全集；（2）请给出该体系各束缚定态的能级 g；（3）请写出该体系的基态，并注明相应的量子数。中国科学技术大学 2012 研【解题思路】可以选取和哈密顿量对易的力学量算符，来确定一组可对易力学量完全集；直接利用定态薛定谔方程求解本征能量和本征态。【解析】（1）体系的哈密顿量可以写为 令，则，与哈密顿量对易。对于，此结果是显然的。对于 体系的角动量显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组即为体系的一组可对易力学量完全集。（2）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写为 其中为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量完全集的本征函数 由于 满足 其中。令 可知只有，才会出现束缚态。将写为 可知 将上述方程与氢原子情形时相类比，可知束缚态能级为 （3）对于体系的基态为 相应的量子数 其中为玻尔半径。【知识储备】定态薛定谔方程 体系的总角动量满足角动量的一般对易关系 J Ji J 分量形式 Jx，JyiJz；Jy，JziJx；Jz，JxiJy 或统一写成 Ji，JjiijkJk 其中的 i，j，k 分别表示 x，y，z 分量，如果 i，j，k 有两者或两者以上相同则ijk为 0，其他情况则为 1 或1。31 粒子在势场中运动（），试求系统能级和能级方程。中国科学院 2007 研【解题思路】对于不随时间变化的势场，明显可以直接使用定态薛定谔方程求解本征波函数和本征能级，针对本题提供的势场，需要充分利用函数的性质。【解析】粒子在无限深势场中运动，由定态薛定谔方程可得 当 xa 或 xa 时 当axa 时 对两边在积分可得 当 x0 时 其中 求解可得 带入可得，则 B0，所以 因为 所以 即 【知识储备】定态薛定谔方程 波函数必须满足的三个基本条件 有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种；连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。32 一维谐振子系统哈密顿量为，设受到微扰的作用，试求对第 n 个谐振子能级的一级微扰修正。中国科学院 2007 研【解题思路】对于一维谐振子模型，可以利用定态薛定谔方程求解其本征波函数和本征能级，在不随时间变化的微扰的作用下，可以直接代入定态非简并微扰理论求解修正能级，在计算的过程中，可以充分利用谐振子本征波函数的推导关系式和维里定理，这样可以简化计算。【解析】由定态薛定谔方程求解一维谐振子可得 本征波函数为 对于微扰有 根据定态微扰第 n 级的一级修正为 对于谐振子势场，由维里定理可得 由 可得 所以 【知识储备】一维线性谐振子 势能满足方程 本征值 振子的基态（n0）能量，零点能 本征函数 其中 常用公式总结：维里定理 粒子在 r 的 n 次方的势场中运动，则粒子的平均动能和平均势能满足关系式 非简并定态微扰 微扰作用下的哈密顿量 HH0H 第 n 个能级的近似表示 波函数的近似表示 33 两个自旋为的粒子，两个粒子分别为，求系统处于单态和三重态的概率。中国科学院 2008 研【解题思路】对于两个自旋为的粒子，它们为费米子，可以通过它们各自的波函数，将其写为三重态和单态的形式，则可以显而易见的求解出分别在三重态和单态的几率。【解析】因为两个粒子分别为 则它们两个粒子系统的状态为 其中为单态，、为三重态。因此，系统处于单态的概率为，系统处于单态和三重态的概率为。【知识储备】单态和三重态 若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数S和反对称自旋波函数A，分别写为 其中，（）表示第 1（2）个电子处于自旋向上或向下的态。A是两电子自旋反平行的态，总自旋为零，此态是单态；S是三重简并的，被称为三重态。34 对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为，为参数，用变分法求基态能量和波函数，并与严格解比较。复旦大学 2001 研【解题思路】当外界扰动不能判断是否大小时，可以使用变分法，具体操作可以根据变分法程序化的步骤进行计算，最后得出结果，可以通过实验数据来判断变分法选取参数的优劣，在此基础上，可以通过调整参数来得到更加优化的解答。【解析】首先由波函数的归一化条件，得出试探波函数的归一化形式为 选择为参量。能量的平均值为 由可得。所以基态波函数为 能量为 由薛定谔方程求解的一维谐振子的基态波函数和能量为 比较两种结果，它们相同。【知识储备】变分法求体系基态能量方法总结 分析具体的物理问题和研究对象，在微扰法的适用条件不满足的情况下，可以选择变分法求解，步骤如下：a根据具体的物理系统和研究者的经验，选取含有参数的尝试波函数（）；b计算 H 的平均能量H（），它是变分参量的函数；c由极值条件求解数值；d带入H（），求出H（）的最小值，所求结果即为基态能量的上限。一维谐振子本征函数 其中 【拓展发散】当在非简谐振子哈密顿量或者任何其它的哈密顿量时，都可以利用同样的变分法的操作方法进行计算，变分法对于扰动的大小和特性没有限制，因此变分法在很多定性问题方面有很广泛的应用。35 两个自旋为 1/2 的粒子组成的体系由哈密顿量描述，其中分别是两个粒子的自旋，是它们的 z 分量，A，B 为常数，求该哈密顿量的所有能级。复旦大学 2004 研【解题思路】对于哈密顿量，选择恰当合适的共同本征态，利用自旋角动量的合成和总自旋角动量与各自分量的关系求解。【解析】由两个自旋为 1/2 的粒子组成的体系，为总自旋，即 并且对应的 z 分量有 所以 即 因此哈密顿量可以改写为 根据自旋角动量的合成规则 则或者。当时，；当时，。因此带入哈密顿量，可得所有能级为 或者 或者 【知识储备】两个角动量合成 耦合表象 a力学量组相互对易，其共同本征矢构成正交归一系；b以此本征矢为基矢的表象称为耦合表象；c耦合表象的基矢记为，或简记为。无耦合表象 a力学量组也相互对易，相应的表象称为无耦合表象；b无耦合表象的基矢为。需满足；。其中，j|j1j2|，j1j2；mj，j1，j1，j。