2021届宁夏回族自治区银川一中高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版).pdf

努力的你，未来可期!精品 2021 届宁夏回族自治区银川一中高三上学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题 1设集合22,14yAx y x，1(,)4xBx y y，则AB的子集的个数是（）A4 B3 C2 D1【答案】A【解析】由题意，集合 A表示椭圆，集合 B 表示指数函数，画出图形，数形结合可得答案.【详解】集合22,14yAx y x，1(,)4xBx y y，则2214=,14xyxABx yy，画出图形如图：由图可知，AB的元素有 2个，则AB的子集有22=4个，故选：A 【点睛】本题考查交集及其运算，考查集合的性质，用数形结合的思想将问题转为图象交点的个数，属于基础题.2函数 221logxfxx的定义域为（）A0,B1,C0,1 D 0,11,努力的你，未来可期!精品【答案】D【解析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.【详解】由题意，2log00 xx，解得0 x 且1x，即函数 221logxfxx的定义域为 0,11,.故选：D.【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，属于基础题型.3下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若21x，则1x”的否命题为：“若21x，则1x”B“1x”是“2560 xx”的必要不充分条件 C命题“xR，使210 xx”的否定是：“xR 均有210 xx”D命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论 【详解】解：A命题“若21x，则1x”的否命题为：“若21x，则1x”，则A错误 B由2560 xx，解得6x 或1x，则“1x”是“2560 xx”的充分不必要条件，故B错误 C命题“xR 使得210 xx”的否定是：“xR 均有21 0 xx”，故C错误 D命题“若xy，则sinsinxy”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题，故D正确 故选D【点睛】本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握四种命题，充分条件和必要条件，含努力的你，未来可期!精品 有一个量词的命题的否定 4埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔 令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约 230 米因年久风化，顶端剥落 10米，则胡夫金字塔现高大约为（）A128.5 米 B132.5 米 C136.5 米 D110.5 米【答案】C【解析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案 【详解】胡夫金字塔原高为h，则23043.141592h，即2304146.42 3.14159h米，则胡夫金字塔现高大约为 136.4 米故选 C【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案属于常规题型 5下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（）A1ln|yx B()ln(1)ln(1)f xxx Cee()2xxf x De1()e1xxf x【答案】D【解析】根据已知利用函数的性质逐项分析排除即可.【详解】在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是奇函数，A选项，1()ln()|fxf xx是偶函数，不符合条件；B选项，定义域|1x x 不关于原点对称，不符合条件；C选项，ee()()2xxfxf x是偶函数，不符合条件；努力的你，未来可期!精品 D选项中，因为 1111xxxxeefxf xee，所以函数 11xxef xe为奇函数，将函数式变为 211xf xe，随着x增大函数值也增大，f x是单调递增函数，符合条件，故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性，要考虑函数的定义域.6设函数32()logxf xax在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是（）A3(1,log 2)B3(0,log 2)C3(log 2,1)D3(1,log 4)【答案】C【解析】试题分析：单调函数32()logxf xax在区间（1，2）内有零点，f（1）f（2）0 又 则 解得，故选【考点】函数零点的判定定理 7已知函数,1log,1xaaxf xx x（0a 且1a），若 12f，则12ff（）A1 B12 C12 D2【答案】C【解析】由 12f可确定函数解析式，然后根据分段函数的意义求值即可.【详解】函数,1log,1xaaxf xx x（0a 且1a），12fa，则 22,1log,1xxf xx x，121212f，则11222112log 222fff，故选：C【点睛】努力的你，未来可期!精品 本题考查分段函数求函数值问题，考查计算能力，属于基础题.8函数1()|(1)xxef xxe的图像大致为（）A B C D【答案】C【解析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解【详解】函数1()|(1)xxef xxe的定义域是|0 x x，排除 BD，又11()()(1)(1)xxxxeefxf xx exe，即函数为奇函数排除 A 故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法 9若 2xf x 的反函数为 1fx，且 114fafb，则11ab的最小值是（）A1 B12 C13 D14【答案】B【解析】先求出 1fx，根据题中条件，求出16ab，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】由2xy 得2logxy，所以 12logfxx，努力的你，未来可期!精品 又 114fafb，所以22loglog4ab，即2log4ab，所以16ab，因此11121242abab，当且仅当11ab，即4ab时，等号成立.故选：B.【点睛】本题主要考查由基本不等式求和的最小值，涉及反函数以及对数的运算，属于基础题型.10设0.512a，0.50.3b，0.3log0.2c，则a、b、c的大小关系（）Abac Babc Cabc Dacb【答案】A【解析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为12yx在0,)上单调递增，110.32 所以0.50.50.5110.32，即0.50.5110.32 因为0.30.3log0.2log0.31 所以bac 故选：A【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.11已知定义在0,上的函数 f x满足 0 xfxf x，且 22f，则 0 xxf ee的解集是（）A,ln2 Bln2,C20,e D2,e【答案】A【解析】构造函数 g x=f xx，求导确定其单调性，0 xxf ee等价为 2xg eg，利用单调性解不等式即可 努力的你，未来可期!精品【详解】令 g x=2,0,g xf xxfxf xgxxx 在0,上单调递减，且 221,2fg故 0 xxf ee等价为 2,2xxf efe即 2xg eg,故2xe,解 xln2,故解集为,ln2 故选 A【点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题 12已知函数1,0,()ln1,0,xxf xxx若方程 f xm mR恰有三个不同的实数解a，b，c abc，则ab c的取值范围是（）A52,2 B22,e C52,2 D52,2【答案】B【解析】画出()f x的图像，根据图像求出m以及a+b的值和c的范围，进一步求出答案.【详解】画出()f x的图像，因为方程 f xm mR恰有三个不同的实数解a，b，c abc 可知m的范围0,1 由题可知a+b=-2，0ln11c 所以11ce 所以22 ab ce.努力的你，未来可期!精品 故选：B.【点睛】本题考查的是函数与方程的知识点，涉及到数形结合的思想，属于基础题.二、填空题 13若函数()f x称为“准奇函数”，则必存在常数 a，b，使得对定义域的任意 x 值，均有()(2)2f xfaxb，已知()1xf xx为准奇函数”，则 ab_.【答案】2.【解析】根据函数关于点对称的关系式，找到函数 f（x）的对称点，即可得到结论【详解】由()(2)2f xfaxb知“准奇函数”()f x关于点(,)a b对称；因为()1xf xx=111x关于(1,1)对称，所以1a，1b，2ab.故答案为 2.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性的表示方式，属于基础题 14若函数32()3f xxtxx在区间1,4上单调递减，则实数t的取值范围是_；【答案】51,)8【解析】【详解】函数 323f xxtxx，2323fxxtx 又函数 323f xxtxx在区间 1,4上单调递减 23230 xtx在区间 1,4上恒成立 即323048830tt，解得:518t，当518t 时，经检验适合题意 故答案为51,8【点睛】f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0 且在(a，b)内的任一非空子努力的你，未来可期!精品 区间上 f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解 15已知函数()f x的值域为0,4（2,2x），函数()1g xax，2,2x，12,2x，总02,2x，使得 01g xf x成立，则实数a的取值范围为_.【答案】55,22 【解析】依题意分析 fx的值域 A 包含于 g x的值域 B，再对a分类讨论得到()g x的值域，列关系计算即可.【详解】因为12,2x，总02,2x，使得 01g xf x成立，所以 fx的值域 A 包含于 g x的值域 B，依题意A=0,4，又函数()1g xax，2,2x，因此，当0a 时，1B ，不满足题意；当0a 时，()g x在2,2上递增，则 21,210,4Baa，故210214aa ，即得52a；当0a 时，()g x在2,2上递减，则 21,210,4Baa，故210214aa ，即得52a .综上，实数a的取值范围为55,22.故答案为：55,22.【点睛】本题考查了恒成立问题、函数的值域，以及利用包含关系求参数范围问题，属于中档题.16定义在实数集 R 上的函数 fx满足 20f xf x，且 4fxf x，现有以下三种叙述：8 是函数 fx的一个周期；努力的你，未来可期!精品 fx的图象关于直线2x 对称；fx是偶函数 其中正确的序号是 .【答案】【解析】试题分析：由 20f xf x，得，则，即 4 是的一个周期，8 也是的一个周期；由 4fxf x，得的图像关于直线对称；由 4fxf x与，得，即，即函数为偶函数.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的对称性；3.函数的周期性.三、解答题 17已知幂函数 24mmfxx（实数mZ）的图像关于y轴对称，且 23ff.（1）求m的值及函数 f x的解析式；（2）若212f afa，求实数a的取值范围.【答案】（1）2m，4f xx；（2）1 11(,)(,3)3 22.【解析】（1）由 23ff，得到240mm，从而得到04m，又由mZ，得出m的值和幂函数的解析式；（2）由已知得到1 22aa且120,20aa，由此即可求解实数a的取值范围.【详解】（1）由题意，函数 24mmfxx（实数mZ）的图像关于y轴对称，且 23ff，所以在区间(0,)为单调递减函数，所以240mm，解得04m，又由mZ，且函数 24mmfxx（实数mZ）的图像关于y轴对称，所以24mm为偶数，所以2m，所以 4f xx.努力的你，未来可期!精品（2）因为函数 4f xx图象关于y轴对称，且在区间(0,)为单调递减函数，所以不等式212f afa，等价于1 22aa且120,20aa，解得1132a或132a，所以实数a的取值范围是1 11(,)(,3)3 22.【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求解，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，熟练应用幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18已知函数 21 0211xccxxcf xcx满足 298f c.（1）求常数c的值；（2）解不等式 218fx.【答案】（1）12c；（2）2548xx.【解析】（1）根据题意，得到01c，所以2cc，再由函数解析式，根据 298f c，得到3918c ，求解，即可得出结果；（2）先由（1）得到4111 022()12112xxxf xx，分102x，112x两种情况，解对应的不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为01c，所以2cc；由 21 0211xccxxcf xcx，298f c，可得3918c ，解得：12c；努力的你，未来可期!精品（2）由（1）得4111 022()12112xxxf xx，由 218fx 得，当102x时，121128x，解得24x，则2142x；当112x时，422118x，解得58x，则1528x；所以 218fx 的解集为2548xx.【点睛】本题主要考查由分段函数值求参数，考查根据分段函数解不等式，属于基础题型.19已知函数 21log1axfxx（a为常数）是奇函数.（1）求a的值与函数 f x的定义域.（2）若当1,x时，2log1f xxm恒成立.求实数m的取值范围.【答案】（1）1a，定义域为1x x 或1x；（2）,1.【解析】（1）根据函数是奇函数，得到 fxf x，求出1a，再解不等式101xx，即可求出定义域；（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出 2log1f xx的最小值，即可得出结果.【详解】（1）因为函数 21log1axfxx是奇函数，所以 fxf x，所以2211loglog11axaxxx ，即2211loglog11axxxax，所以1a，令101xx，解得1x 或1x，所以函数的定义域为1x x 或1x；努力的你，未来可期!精品（2）22log1log1f xxx，当1x 时，所以12x ，所以22log1log 21x.因为1,x，2log1f xxm恒成立，所以1m，所以m的取值范围是,1.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.20已知函数22()(22)(1)xf xxaxeax.（1）求曲线 yf x在0,2处的切线方程；（2）若23a，证明：2f x.【答案】（1）2y；（2）证明见解析.【解析】（1）对函数求导，求出 00f，再由导数的几何意义，即可求出切线方程；（2）若23a，则 222122e33xf xxxx，由（1）得到 2(1)e13xfxxx，设函数(1)e1xg xx，对 g x求导，研究 g x单调性，求出 00g xg，判定 f x单调性，求出最小值，即可得出结果.【详解】（1）由22()(22)(1)xf xxaxeax得 2222e(22)2 121e2 1xxxfxaxxaxea xaxaxa x ，所以 00f，由导数的几何意义可知：曲线 yf x在0,2处的切线斜率0k，曲线 yf x在0,2处的切线方程200yx，即2y.（2）若23a，则 222122e33xf xxxx，由（1）可知，22222e(1)e13333xxfxxxxxx，设函数(1)e1xg xx，则 exgxx，当,0 x 时，0gx，则 g x在,0单调递减；努力的你，未来可期!精品 当0,x时，0gx，则 g x在0,单调递增，故 00g xg，又 23fxx g x，故当,0 x 时，0fx，则 f x在,0单调递减；当0,x时，0fx，则 f x在0,单调递增，故 02f xf.【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法证明不等式，熟记导数的几何意义，根据导数的方法判定单调性，求函数最值即可，属于常考题型.21已知函数 2212ln2fxaxxax aR.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）当0a 时，求函数 f x在区间 1,e的最小值.【答案】（1）答案详见解析；（2）答案详见解析.【解析】（1）先对函数求导，根据结果分0a、0a、0a 三种情况，令导函数等于 0，分别求出每种情况的单调区间即可；（2）结合第一问的单调性，分2ea 、122ea 和102a两种情况，分别讨论每一段的最小值即可.【详解】函数 f x的定义域为0,，（）.2222xaxaxaxafxxx，（1）当0a 时，0fxx，所以 f x在定义域为0,上单调递增；（2）当0a 时，令 0fx，得12xa（舍去），2xa，当x变化时，fx，f x的变化情况如下：x 0,a a,a fx 0 努力的你，未来可期!精品 f x 单调递减 单调递增 此时，f x在区间0,a单调递减，在区间,a 上单调递增；（3）当0a 时，令 0fx，得12xa，2xa（舍去），当x变化时，fx，f x的变化情况如下：x 0,2a 2a 2,a fx 0 f x 单调递减 单调递增 此时，f x在区间0,2a单调递减，在区间2,a上单调递增.（）.由知当0a 时，f x在区间0,2a单调递减，在区间2,a上单调递增.（1）当2ae，即2ea 时，f x在区间 1,e单调递减，所以 f x的最小值为 22122f eaeae；（2）当12ae，即122ea 时，f x在区间1,2a单调递减，在区间2,a e单调递增，所以 f x的最小值为222ln2faaa，（3）当21a，即102a时，f x在区间 1,e单调递增，所以 f x的最小值为 112fa.【点睛】本题主要考查函数的单调性、最值问题 22 心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox中，方程(1sin)a（0a）表示的曲线1C就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中.已知曲线2C的参数方程为努力的你，未来可期!精品 1333xtyt（t为参数）.（1）求曲线2C的极坐标方程；（2）若曲线1C与2C相交于A、O、B三点，求线段AB的长.【答案】（1）6（R）；（2）2a.【解析】（1）化简得到直线方程为33yx，再利用极坐标公式计算得到答案.（2）联立方程计算得到,2 6aA，37,26aB，计算得到答案.【详解】（1）由1333xtyt 消t得，30 xy即33yx，2C是过原点且倾斜角为6的直线，2C的极坐标方程为6（R）.（2）由6(1 sin)a得，26a,2 6aA，由76(1 sin)a得3276a37,26aB，3|222aaABa.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.23已知函数()|31|33|f xxx.（1）求不等式()10f x 的解集；（2）正数,a b满足2ab，证明：()f xab.努力的你，未来可期!精品【答案】(1)4(,2,)3 (2)证明见解析【解析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；（2）要证不等式两边平方，等价转化证明()2f xabab，即证min()2f xabab，根据绝对值的不等式求出min()f x，运用基本不等式即可证明结论.【详解】（1）当1x 时，()1 3336210f xxxx ，解得2x，所以2x；当113x 时，()1 333410f xxx，x；当13x 时，()31 336210f xxxx，解得43x，所以43x.综上，不等式()10f x 的解集为4(,2,)3.（2）证明：因为,a b为正数，则()f xab 等价于()2f xabab对任意的xR恒成立.又因为()|31|33|4f xxx，且2ab，所以只需证1ab，因为12abab，当且仅当1ab时等号成立.所以()f xab成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，证明不等式恒成立，转化为函数的最值与不等式关系，考查用基本不等式证明不等式，属于中档题.