(同步精品课堂)2022-2022学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元检测新人教A版选修2-.pdf
同步精品课堂2022-2022 学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元检测新人教A版选修 2-1 2 第三章 空间向量与立体几何 单元测试 【总分值：150 分 时间：120 分钟】第一卷选择题 一、选择题(本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1 2022 年和平区期中与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是()A13，1，1 B(1，3,2)C12，32，1 D2，3，2 2 【答 案】C a(1，3,2)212，32，1.2 2022 年 东 莞 市 模 拟 在 正 方 体 3 ABCDA1B1C1D1中，A1F12A1C1，AFxAA1y(ABAD)，那么()Ax1，y12 Bx1，y13 Cx12，y1 Dx1，y14【答案】A AFAA1A1FAA112A1C1 AA112ACAA112(ABAD)，x1，y12.应选 A 3 2022 年绍兴模拟A(2，4，1)，B(1,5,1)，C(3，4,1)，D(0,0,0)，令aCA，bCB，那么ab为()A(5，9,2)B(5,9，2)C(5,9，2)D(5，9，2)【答案】B aCA(1,0，2)，bCB 4(4,9,0)，ab(5,9，2)4 2022 年潍坊模拟点A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，假设AP2PB，那么|PD|的值是()A13 B23 C773 D63【答案】C 设P(x，y，z)，那么AP(x1，y2，z1)，PB(1x,3y,4z)，由AP2PB知x13，y83，z3，即P13，83，3.由两点间距离公式可得|PD|773.5 2022 年海南期中在棱长为 1 的正方 5 体ABCDA1B1C1D1中，以下结论不正确的选项是()AABC1D1 BABBC0 CAA1B1D10 DAC1A1C0 【答案】D 如图，ABC1D1，ABBC，AA1B1D1，故 A，B，C 选项均正确 6 2022 年宣城模拟设ABCD的对角线AC和BD交于E，P为空间任意一点，如图 1 所示，假设PAPBPCPDxPE，那么x()图 1 A2 B3 6 C4 D5【答案】C E为AC，BD的中点，由中点公式得PE12(PAPC)，PE12(PBPD)PAPBPCPD4PE.从而x4.7 2022 年芮城县期末a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，假设a，b，c三向量共面，那么实数等于()A627 B637 C647 D657【答案】D a，b，c三向量共面，那么存在不全为零的实数x，y，使cxayb，即(7,5，)x(2，1,3)y(1,4，2)(2xy，x4y,3x2y)，7 所以 2xy7，x4y5，3x2y.解得 x337，y177.3x2y657.8 2022 年兴庆区期末假设向量a(x,4,5)，b(1，2,2)，且a与b的夹角的余弦值为26，那么x()A3 B3 C11 D3 或11【答案】A 因为ab(x,4,5)(1，2,2)x810 x2，且a与b的夹角的余弦值为26，所以26x2x24252 144，解 8 得x3 或11(舍去)，应选 A 9 2022 年珠海期中假设直线l的方向向量为(2,1，m)，平面的法向量为1，12，2，且l，那么m()A2 B3 C4 D5【答案】C l，直线l的方向向量平行于平面的法向量 21112m2.m4.102022 年海南期中 直三棱柱ABCA1B1C1中，假设BAC90，ABACAA1，那么异面直线BA1与AC1所成角为()A30 B45 C60 D90 9【答案】C 建立如下图的空间直角坐标系，设AB1，那么A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，BA1(1,0,1)，AC1(0,1,1)，cosBA1，AC1BA1AC1|BA1|AC1|12 212.BA1，AC160，即异面直线BA1与AC1所成角为 60.11 2022 年分宜县月考正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，那么CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A23 B33 C23 D13 10【答案】A 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，那么D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，那么DC(0,1,0)，DB(1,1,0)，DC1(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，那么nDB，nDC1，所以有 xy0，y2z0，令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，那么 sin|cosn，DC|nDC|n|DC|23.12 2022 年宁波模拟在矩形ABCD中，11 AB3，AD4，PA平面ABCD，PA4 35，那么二面角ABDP的大小为()A30 B45 C60 D75【答案】A 如下图，建立空间直角坐标系，那么PB3，0，453，BD(3,4,0)设n(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，那么 nPB0，nBD0，得(x，y，z)3，0，453 0，(x，y，z)(3，4，0)0.12 即 3x453z0，3x4y0.令x1，那么n1，34，543.又n10，0，453 为平面ABCD的一个法向量，cosn1，nn1n|n1|n|32，所求二面角为 30.第二卷非选择题 二、填空题(本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)13 2022 年 和 平 区 期 中 正 方 体ABCDABCD，那么以下三个式子中：13 ABCBAC；AACC；ABBBBCCCAC.其中正确的有_【答案】ABCBABBCAC，正确；显然正确；ABBBBCCC(ABBC)(BBCC)AC0AC，错误 14 2022 年三明模拟假设向量m(1,2,0)，n(3,0，2)都与一个二面角的棱垂直，那么m，n分别与两个半平面平行，那么该二面角的余弦值为_【答案】3 6565或3 6565 cosm，nmn|m|n|13200(2)5 133 6565.14 二面角的余弦值为3 6565或3 6565.15 2022 年海定县月考如图 2 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，O是平面A1B1C1D1的中心，那么BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为_.图 2【答案】36 建立坐标系如图，那么B(1,1,0)，O12，12，1，DA1(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量 15 又OB12，12，1，BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为|cosOB，DA1|OBDA1|OB|DA1|1262 236.16 2022 年浙江模拟设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记D1PD1B，当APC为钝角时，的取值范围是_【答案】13，1 建立如下图的空间直角坐标系Dxyz，那么A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，16 设P(x，y，z)，那么D1P(x，y，z1)，D1B(1,1，1)，由D1PD1B，得(x，y，z1)(1,1，1)，xyz1即P(，1)，PA(1，1)，PC(，1，1)，由PAPC0 得2(1)(1)20，解得131.由题意知PA与PC所成的角不可能为，故130)，由DH，DA60，由DADH|DA|DH|cosDH，DA，可得2m 2m21.解得m22，所以DH22，22，1.因为 cosDH，CC 220220112122，所以DH，CC45，即DP与CC所成的角为 45.(2)平面AADD的一个法向量是DC(0,1,0)，因为 cosDH，DC 22 220221101 212，所以 DH，DC60，可得DP与平面AADD所成的角为30.20 2022 年湖南期末(本小题总分值 12分)如图 6，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点 图 6 23(1)求证：平面PBC平面PAC；(2)假设AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值【答案】(1)证明：由AB是圆的直径，得ACBC，由PA平面ABC，BC 平面ABC，得PABC 又PAACA，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BC平面PAC 因为BC 平面PBC 所以平面PBC平面PAC(2)过C作CMAP，那么CM平面ABC 如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 在 RtABC中，因为AB2，AC1，所以BC 3.24 又因为PA1，所以A(0,1,0)，B(3，0,0)，P(0,1,1)故CB(3，0,0)，CP(0,1,1)设平面BCP的法向量为n1(x1，y1，z1)，那么 CBn10，CPn10，所以 3x10，y1z10，不妨令y11，那么n1(0,1，1)因为AP(0,0,1)，AB(3，1,0)，设平面ABP的法向量为n2(x2，y2，z2)，那么 APn20，ABn20，所以 z20，3x2y20，不妨令x21，那么n2(1,3，0)于是 cosn1，n232 264.25 由图知二面角CPBA为锐角，故二面角CPBA的余弦值为64.21 2022 年思明区月考(本小题总分值12 分)如图 7，在棱长为 2 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02)图 7(1)当1 时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由.【答案】以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐 26 标系由得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，)，BC1(2，0,2)，FP(1,0，)，FE(1,1,0)(1)证明：当1 时，FP(1,0,1)，因为BC1(2,0,2)所以BC12FP，可知BC1FP，而FP 平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，由 FEn0，FPn0，得 xy0，xz0，于是可取n(，1)，同理可得平面PQMN的一个法向量为m(27 2,2，1)，假设存在，使得平面EFPQ与平面PQMN所在的二面角为直二面角，那么mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得122，故存在122，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角 22 2022 年大兴区期末(本小题总分值12 分)如图 8，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为 4 的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.28 图 8(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求BDBC1的值【答案】(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC 因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC(2)由(1)知AA1AC，AA1AB 由题意知AB3，BC5，AC4，所以ABAC 如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，那么B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，29 C1(4,0,4)所以A1B(0,3，4)，A1C1(4,0,0)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，那么 nA1B0，nA1C10，即 3y4z0，4x0.令z3，那么x0，y4，所以平面A1BC1的一个法向量为n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m(3,4,0)所以 cosn，mnm|n|m|1625.由题意知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为1625.(3)证明：假设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一 30 点，且BDBC1(0,1)，所以(x1，y13，z1)(4，3,4)解得x14，y133，z14，所以AD(4，33，4)由ADA1B0，得 9250，解得925.因为9250,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B 此时BDBC1925.31
