初三数学圆的综合复习.pdf
圆复习课教学设计 一、本章知识框架 与圆有关的位置关系 二、本章重点 1圆的定义：（1）线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆(2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合 2与圆有关的角（1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数(2）圆周角：顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角 圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角(3)弦切角:顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半 【经典例题精讲】例 1 下列命题正确的是（）A相等的圆周角对的弧相等 B等弧所对的弦相等 C三点确定一个圆 D平分弦的直径垂直于弦 练习 1。已知:如图,AB是O的直径，CD是O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，E=18，求C及AOC的度数 2已知:如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C,D两点（1)求证:AOC=BOD;(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系,并证明你的结论 3已知：如图,ABC内接于O，AM平分BAC交O于点M，ADBC于D 求证：MAO=MAD 4已知：如图，AB是O的直径,CD为弦，且ABCD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交O于M 求证：AMD=FMC 3圆的性质:(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦,两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等（2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴 4 垂径定理及推论:(1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧(2)平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧(4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦（5)平行弦夹的弧相等 【经典例题精讲】1 已知：如图，AB是O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，AEC=30，求CD的长 2已知：如图,A，B是半圆O上的两点，CD是O的直径，AOD=80,B是的中点（1)在CD上求作一点P,使得APPB最短；(2)若CD=4cm，求APPB的最小值 3。如图，有一圆弧形的拱桥,桥下水面宽度为 7。2m，拱顶高出水面 2。4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长 10m，宽 3m，高 2m（竹排与水面持平)问:该货箱能否顺利通过该桥？5三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部，它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示（2）三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 O 表示（3）三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2 倍，通常用 G 表示(4)垂心：是三角形三边高线的交点 6圆内接四边形和外切四边形（1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（2）各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等 【经典例题精讲】1。四边形 ABCD 内接于O，ABC123,求D 7判定一个点 P 是否在O 上 设O 的半径为 R，OPd，则有 dr点 P 在O 外;dr点 P 在O 上；dr点 P 在O 内 8直线和圆的位置关系：设O 半径为 R，点 O 到直线 l 的距离为 d（1）直线和圆没有公共点直线和圆相离dR(2)直线和O 有唯一公共点直线 l 和O 相切dR(3)直线 l 和O 有两个公共点直线 l 和O 相交dR 9切线的判定、性质：(1）切线的判定:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 到圆心的距离 d 等于圆的半径的直线是圆的切线(2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径 经过圆心作圆的切线的垂线经过切点 经过切点作切线的垂线经过圆心(3）切线长:从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长（4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 【经典例题精讲】1。(2011 北京中考 20 题）如图，在ABC中，ABAC,以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上，且12CBFCAB。求证：直线BF是O的切线；若5AB，5sin5CBF，求BC和BF的长.2(2011 西城一模 21 题)如图，D是O的直径CA延长线上一点，点 B在O上,且ABADAO（1)求证：BD是O的切线;(2）若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，BEF的面积为 8,且 cosBFA32，求ACF的面积 3已知：如图，RtABC中,ACB=90，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是OEBFCDABC的中点 求证：直线EF是半圆O的切线 4 已知：如图，ABC中，AC=BC，以BC为直径的O交AB于E点，直线EFAC于F 求证:EF与O相切 5 已知：如图，以ABC的一边BC为直径作半圆，交AB于E，过E点作半圆O的切线恰与AC垂直，试确定边BC与AC的大小关系，并证明你的结论 6已知：如图，PA切O于A点，POAC，BC是O的直径请问：直线PB是否与O相切？说明你的理由 7已知：如图，PA，PB，DC分别切O于A，B，E点(1)若P=40,求COD;（2）若PA=10cm，求PCD的周长 8.已知：如图，O内切于ABC,BOC=105，ACB=90，AB=20cm求BC、AC的长 (2011 东城二模 20 题）.如图，四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的O经过点D，E是O上一点，且AED=45 （1)试判断CD与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若O的半径为 3，sinADE=65，求AE的值 （2011丰台一模20题）在RtAFD中,F=90，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，联结AC，将AFC 沿AC翻折得AEC,且点E恰好落在A B C D E O ABCDEFOABCDEFOHEOABCD直径AB上.（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_；并证明你的结论.（2）若OB=BD=2,求CE的长 （2011 丰台二模 20 题)。已知:如图，在Rt ABC中，C=90，点E在斜边AB上，以AE为直径的O与BC边相切于点D,联结AD.（1）求证：AD是BAC的平分线；（2)若AC=3，tan B=34,求O的半径。（2011 石景山一模 20 题）已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的O与AD，BD分别交于点E、点F，且ABE=DBC（1）判断直线BE与O的位置关系,并证明你的结论；(2）若33sinABE,2CD，求O的半径 （2011 石景山二模 20 题）已知：如图，ABCAF为的角平分线，以BC为直径的圆与边AB交于点,DE点为弧BD的中点，联结CE交AB于H，ACAH (1)求证：AC与O相切；（2）若6AC，10AB，求EC的长 OFEDCBA (2011 大兴二模 20 题）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的半圆O交BC于点 D，DEAC，垂足为E（1）判断DE与O的位置关系，并证明你的结论;（2)如果O的直径为 9，cosB错误!，求DE的长 10圆和圆的位置关系：图 形 名 称 性质和判定 交点个数 外离 dR+r 0 外切 dR+r（Rr）1 相交 RrdR+r 2 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为 l 的圆柱的体积为，侧面积为 2Rl，全面积为 圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为 R，母线长为 l,高为 h 的圆锥的侧面积为Rl,全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 【经典例题精讲】1若圆锥的底面半径为 2cm，母线长为 3cm，则它的侧面积为()A2cm2 B3cm2 C6cm2 D12cm2 2若圆锥的底面积为 16cm2，母线长为 12cm,则它的侧面展开图的圆心角为()A240 B120 C180 D90 3底面直径为 6cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角为 216，则这个圆锥的高为（）A5cm B3cm C8cm D4cm 4若一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角为()A120 B1 80 C240 D.300 5。已知：如图，在边长为a的正ABC中，分别以A，B,C点为圆心，a21长为半径作，,，求阴影部分的面积 6已知：如图，RtABC中，C=90，B=30，,34BC以A点为圆心，AC长为半径作,求B与围成的阴影部分的面积 三、相关定理:1.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线,各弦被这点所分成的两段的积相等)说明:几何语言:若弦 AB、CD 交于点 P,则 PAPB=PCPD（相交弦定理）例 1 已知 P 为O 内一点，O 半径为，过 P 任作一弦 AB，设，则 关于 的函数关系式为 。例 2 已知 PT 切O 于 T，PBA 为割线，交OC于D，CT 为直径，若 OC=BD=4cm，AD=3cm,求 PB 长。四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线 1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等 2）作弦心距,利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明 3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算 4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角 5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角 6)遇到切线,作过切点的弦,构造弦切角 7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角 8)欲证直线为圆的切线时,分两种情况：（1）若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；（2）不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径 9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点 10）遇到三角形的内心，常作：（1）内心到三边的垂线;(2）连结内心和三角形的顶点 11)遇相交两圆，常作：（1)公共弦;（2)连心线 12）遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线 13)求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边 2、圆中较特殊的辅助线 1)过圆外一点或圆上一点作圆的切线 2）将割线、相交弦补充完整 3)作辅助圆【中考热点】近年来，在中考中圆的应用方面考查较多，与一元二次方程、函数、三角函数、实际问题、作图等是中考中的热点,也是难点
