2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学试题及详解精编精校版.pdf

2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷 注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么()()()P ABP AP B.如果事件 A，B 相互独立，那么()()()P ABP A P B.棱柱的体积公式VSh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为 R，集合 02Axx，1Bx x，则()RAB（）(A)01xx (B)01xx (C)12xx (D)02xx 1【答案】B【解析】由题意可得1Bx xR，结合交集的定义可得01ABxR，故选 B (2)设变量 x，y 满足约束条件5,24,1,0,xyxyxyy 则目标函数35zxy的最大值为（）(A)6 (B)19 (C)21 (D)45 2【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：51xyxy，可得点A的坐标为2,3A，据此可知目标函数的最大值为max35325321zxy，故选 C (3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3【答案】B【解析】结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：20N，2i，0T，20102Ni，结果为整数，执行1 1TT，13ii，此时不满足5i；203Ni，结果不为整数，执行14ii，此时不满足5i；2054Ni，结果为整数，执行12TT，15ii，此时满足5i；跳出循环，输出2T，故选 B (4)设xR，则“11|22x”是“31x”的 （）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4【答案】A【解析】绝对值不等式111110122222xxx，由311xx，据此可知1122x 是31x 的充分而不必要条件故选 A (5)已知2log ea，ln 2b，121log3c，则 a，b，c 的大小关系为（）(A)abc (B)bac (C)cba (D)cab 5【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e1a，21ln20,1log eb，12221loglog 3o3el gc，据此可得cab，故选 D (6)将函数sin(2)5yx的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数 (A)在区间35,44上单调递增 (B)在区间3,4上单调递减(C)在区间53,42上单调递增 (D)在区间3,2 2上单调递减 6【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25yx的图象向右平移10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin2105yxx，则函数的单调递增区间满足：2 2222kxkkZ，即44kxkkZ，令1k 可得一个单调递增区间为35,44，函数的单调递减区间满足：32 22 22kxkkZ，即344kxkkZ，令1k 可得一个单调递减区间为57,44，故选 A (7)已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126dd，则双曲线的方程为（）(A)221412xy (B)221124xy (C)22139xy (D)22193xy 7【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为,00F cc，则ABxxc，由22221cyab可得2bya，不妨设2,bA ca，2,bB ca，双曲线的一条渐近线方程为0bxay，据此可得22122bcbbcbdcab，22222bcbbcbdcab，则12226bcddbc，则3b，29b，双曲线的离心率为2229112cbeaaa，据此可得23a，则双曲线的方程为22139xy，故选 C (8)如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD.若点 E 为边 CD 上的动点，则AE BE的最小值为 （）(A)2116 (B)32 (C)2516 (D)3 8【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则10,2A，3,02B，30,2C，3,02D，点E在CD上，则01DEDC，设,E x y，则：33 3,222xy，即332232xy，据此可得33 3,222E，且33 31,2222AE，333,22BE，由数量积的坐标运算法则可得：3333313222222AE BE，整理可得：23422014AE BE，结合二次函数的性质可知，当14时，AE BE取得最小值2116，故选 A 第卷 注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共 12 小题，共 110 分。二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。(9)i 是虚数单位，复数67i1 2i .9【答案】4i【解析】由复数的运算法则得：67i12i67i205i4i12i12i12i5 (10)在51()2xx的展开式中，2x的系数为 .10【答案】52【解析】结合二项式定理的通项公式有：355215511C22CrrrrrrrTxxx，令3522r可得2r，则2x的系数为2251151024C2 (11)已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为 .11【答案】112【解析】由题意可得，底面四边形EFGH为边长为22的正方形，其面积22122EFGHS，顶点M到底面四边形EFGH的距离为12d，由四棱锥的体积公式可得111132212MEFGHV (12)已知圆2220 xyx的圆心为 C，直线21,2232 xtyt(t为参数)与该圆相交于 A，B两点，则ABC的面积为 .12【答案】12【解析】由题意可得圆的标准方程为2211xy，直线的直角坐标方程为31yx，即20 xy，则圆心到直线的距离为102222d，由弦长公式可得222122AB，则1212222ABCS (13)已知,a bR，且360ab，则128ab的最小值为 .13【答案】14【解析】由360ab可知36ab，且312228aabb，因为对于任意x，20 x恒成立，结合均值不等式的结论可得336122222224abab，当且仅当32236abab，即31ab 时等号成立综上可得128ab的最小值为14 (14)已知0a，函数222,0,()22,0.xaxaxf xxaxa x若关于x的方程()f xax恰有 2 个互异的实数解，则a的取值范围是 .14【答案】4,8【解析】分类讨论：当0 x 时，方程 f xax即22xaxaax，整理可得21xa x，很明显1x 不是方程的实数解，则21xax，当0 x 时，方程 f xax即222xaxaax，整理可得22xa x，很明显2x 不是方程的实数解，则22xax，令 22,01,02xxxg xxxx，其中211211xxxx ，242422xxxx 原问题等价于函数 g x与函数ya有两个不同的交点，求a的取值范围 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 g x的图象，同时绘制函数ya的图象如图所示，考查临界条件，结合0a 观察可得，实数a的取值范围是4,8 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13 分）在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知sincos()6bAaB.（I）求角 B 的大小；（II）设 a=2，c=3，求 b 和sin(2)AB的值.15【答案】（1）3；（2）7b，3 3sin 214AB【解析】（1）在ABC中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又由sincos6bAaB，得sincos6aBaB，即sincos6BB，可得tan3B 又因为0,B，可得3B （2）在ABC中，由余弦定理及2a，3c，3B，有2222cos7bacacB，故7b 由sincos6bAaB，可得3sin7A 因为ac，故2cos7A 因此4 3sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA，所以，4 31133 3sin 2sin2coscos2sin727214ABABAB (16)(本小题满分 13 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率.16【答案】（1）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人（2）答案见解析；67【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人（2）（1）随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，3 34337CC0,1,2,3CkkP Xkk 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 135 1235 1835 435 随机变量X的数学期望 112184120123353535357E X （2）设事件B为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件C为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则ABC，且B与C互斥，由（1）知，2P BP X，1P CP X，故 627()1P AP BCP XP X 所以，事件A发生的概率为67 (17)(本小题满分 13 分)如图，ADBC且 AD=2BC，ADCD,EGAD且 EG=AD，CDFG且 CD=2FG，DGABCD平面，DA=DC=DG=2.（I）若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MNCDE平面；（II）求二面角EBCF的正弦值；（III）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP的长.17【答案】（1）证明见解析；（2）1010；（3）33【解析】依题意，可以建立以D为原点，分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得0,0,0D，2,0,0A，1,2,0B，0,2,0C，2,0,2E，0,1,2F，0,0,2G，30,12M，1,0,2N （1）依题意0,2,0DC，2,0,2DE 设0,x y zn为平面CDE的法向量，则0000DCDEnn即20220yxz，不妨令1z，可得01,0,1n 又31,12MN-，可得00MN n，又因为直线MN 平面CDE，所以MN平面CDE（2）依题意，可得1,0,0BC，1,2,2BE，0,1,2CF 设,x y zn为平面BCE的法向量，则00BCBEnn即0220 xxyz，不妨令1z，可得0,1,1n 设,x y zm为平面BCF的法向量，则00BCBFmm即020 xyz ，不妨令1z，可得0,2,1m 因此有3 10cos,10m nm nm n，于是10sin,10m n 所以，二面角EBCF的正弦值为1010（3）设线段 DP 的长为0,2h h，则点P的坐标为0,0,h，可得1,2,BPh 易知，0,2,0DC 为平面ADGE的一个法向量，故22cos5BP DCBP DCBP DCh，由题意，可得223sin6025h，解得30,23h 所以线段DP的长为33 (18)(本小题满分 13 分)设 na是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为()nSnN，nb是等差数列.已知11a，322aa，435abb，5462abb.（I）求 na和 nb的通项公式；（II）设数列nS的前 n 项和为()nT nN，（i）求nT；（ii）证明221()22()(1)(2)2nnkkkkTbbnkknN.18【答案】（1）12nna，nbn；（2）122nnTn；证明见解析【解析】（1）设等比数列 na的公比为q由11a，322aa，可得220qq因为0q，可得2q，故12nna，设等差数列 nb的公差为d，由435abb，可得134bd，由5462abb，可得131316bd，从而11b，1d，故nbn，所以数列 na的通项公式为12nna，数列 nb的通项公式为nbn（2）由（1），有122112nnnS，故1112122122212nnnkknnkkTnnn，因为1121222222212121221kkkkkkkkkkTbbkkkkkkkkk，所以32432122122222222123243212nnnnkkkkTbbkknnn (19)(本小题满分 14 分)设椭圆22221xxab(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为53，点 A的坐标为(,0)b，且6 2FBAB.（I）求椭圆的方程；（II）设直线 l：(0)ykx k与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点Q.若5 2sin4AQAOQPQ(O 为原点)，求 k 的值.19【答案】（1）22194xy；（2）12或1128【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知有2259ca，又由222abc，可得23ab由已知可得，FBa，2ABb，由6 2FBAB，可得6ab，从而3a，2b 所以，椭圆的方程为22194xy（2）设点P的坐标为11,x y，点Q的坐标为22,xy 由已知有120yy，故12sinPQAOQyy 又因为2sinyAQOAB，而4OAB，故22AQy 由5 2sin4AQAOQPQ，可得1259yy 由方程组22194ykxxy消去x，可得12694kyk 易知直线AB的方程为 20 xy，由方程组20ykxxy消去x，可得221kyk 由1259yy，可得2513 94kk，两边平方，整理得25650110kk，解得12k，或1128k 所以，k的值为12或1128 (20)(本小题满分 14 分)已知函数()xf xa，()logag xx，其中 a1.（I）求函数()()lnh xf xxa的单调区间；（II）若曲线()yf x在点11(,()xf x处的切线与曲线()yg x在点22(,()x g x 处的切线平行，证明122lnln()lnaxg xa；（III）证明当1eea 时，存在直线 l，使 l 是曲线()yf x的切线，也是曲线()yg x的切线.20【答案】（1）单调递减区间,0，单调递增区间为0,；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）由已知，lnxh xaxa，有 lnlnxh xaaa，令 0h x，解得0 x 由1a，可知当x变化时，h x，h x的变化情况如下表：x,0 0 0,h x 0 h x 极小值 所以函数 h x的单调递减区间,0，单调递增区间为0,（2）由 lnxfxaa，可得曲线 yf x在点 11,xf x处的切线斜率为1lnxaa，由 1lngxxa，可得曲线 yg x在点 22,xg x处的切线斜率为21lnxa，因为这两条切线平行，故有121lnlnxaaxa，即122ln1xx aa，两边取以a为底的对数，得212log2log ln0axxa，所以 122lnlnlnaxg xa，（3）曲线 yf x在点11,xx a处的切线1111:lnxxlyaaaxx，曲线 yg x在点22,logaxx处的切线22221log:lnalyxxxxa，要证明当1eea 时，存在直线l，使l是曲线 yf x的切线，也是曲线 yg x的切线，只需证明当1eea 时，存在1,x ，20,x，使得1l和2l重合 即只需证明当1eea 时，方程组1112121lnln1lnloglnxxxaaaxaax aaxa有解，由得1221lnxxaa，代入，得111112lnlnln0lnlnxxaax aaxaa，因此，只需证明当1eea 时，关于1x的方程存在实数解 设函数 12lnlnlnlnlnxxau xaxaaxaa，即要证明当1eea 时，函数 yu x存在零点 21lnxu xaxa，可知,0 x 时，0ux；0,x时，ux单调递减，又 010u，21ln2110lnauaa ，故存在唯一的0 x，且00 x，使得 00ux，即0201ln0 xax a，由此可得 u x在0,x上单调递增，在0,x 上单调递减 u x在0 xx处取得极大值 0u x，因为1eea，故lnln1a ，所以 0000012lnlnlnlnlnxxau xax aaxaa02012lnln22lnln0lnlnlnaaxaaxa，下面证明存在实数t，使得 0u t，由（1）可得1lnxaxa，当1lnxa时，有 12lnln1ln1lnlnlnau xxaxaxaa2212lnlnln1lnlnaaxxaa ，所以存在实数t，使得 0u t，因此，当1eea 时，存在1,x ，使得 10u x，所以，当1eea 时，存在直线l，使l是曲线 yf x的切线，也是曲线 yg x的切线 参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 40 分（1）B （2）C （3）B （4）A（5）D （6）A （7）C （8）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 30 分（9）4i （10）52 （11）112 （12）12 （13）14 （14）(4 8)，三、解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力满分 13 分（）解：在ABC 中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又由sincos()6bAaB，得sincos()6aBaB，即sincos()6BB，可得tan3B 又因为(0)B，可得 B=3（）解：在ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B=3，有2222cos7bacacB，故 b=7 由sincos()6bAaB，可得3sin7A 因为 ac，故2cos7A 因此4 3sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA 所以，sin(2)sin2 coscos2sinABABAB4 31133 3727214 （16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分 13 分 （）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人（）（i）解：随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3 P（X=k）=34337CCCkk（k=0，1，2，3）所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 135 1235 1835 435 随机变量 X 的数学期望11218412()0123353535357E X （ii）解：设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2人”；事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 A=BC，且 B 与 C 互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故 P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=67 所以，事件 A 发生的概率为67（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分 13 分 依题意，可以建立以 D 为原点，分别以DA，DC，DG的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得 D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，32，1），N（1，0，2）（）证明：依题意DC=（0，2，0），DE=（2，0，2）设 n0=(x，y，z)为平面 CDE的法向量，则0000DCDE，nn 即20220yxz，不妨令 z=1，可得 n0=（1，0，1）又MN=（1，32，1），可得00MN n，又因为直线 MN平面 CDE，所以 MN平面 CDE（）解：依题意，可得BC=（1，0，0），(12 2)BE，CF=（0，1，2）设 n=（x，y，z）为平面 BCE 的法向量，则00BCBE，nn 即0220 xxyz，不妨令 z=1，可得 n=（0，1，1）设 m=（x，y，z）为平面 BCF 的法向量，则00BCBF，mm 即020 xyz ，不妨令 z=1，可得 m=（0，2，1）因此有 cos=3 10|10m nmn，于是 sin=1010 所以，二面角 EBCF 的正弦值为1010（）解：设线段 DP 的长为 h（h0，2），则点 P 的坐标为（0，0，h），可得(12)BPh，易知，DC=（0，2，0）为平面 ADGE 的一个法向量，故 22cos5BP DCBP DCBP DCh，由题意，可得225h=sin60=32，解得 h=330，2 所以线段DP的长为33.（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前 n 项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分.（I）解：设等比数列 na的公比为 q.由1321,2,aaa可得220qq.因为0q，可得2q，故12nna.设等差数列 nb的公差为 d，由435abb，可得134.bd由5462abb，可得131316,bd 从而11,1,bd 故.nbn 所以数列 na的通项公式为12nna，数列 nb的通项公式为.nbn（II）（i）由（I），有122112nnnS，故 1112(1 2)(21)2221 2nnnkknnkkTnnn.（ii）证明：因为 11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21kkkkkk+kT+bbkkkkkkkkkkkk，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212nnnnkkkkTbbkknnn.（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分 14分（）解：设椭圆的焦距为 2c，由已知知2259ca，又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可得，FBa，2ABb，由6 2FBAB，可得 ab=6，从而 a=3，b=2 所以，椭圆的方程为22194xy（）解：设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2）由已知有 y1y20，故12sinPQAOQyy又因为2sinyAQOAB，而OAB=4，故22AQy由5 2sin4AQAOQPQ，可得 5y1=9y2 由方程组22194ykxxy，消去 x，可得12694kyk易知直线 AB 的方程为 x+y2=0，由方程组20ykxxy，消去 x，可得221kyk由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=23 94k，两边平方，整理得25650110kk，解得12k，或1128k 所以，k 的值为111228或 （20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（I）解：由已知，()lnxh xaxa，有()lnlnxh xaaa.令()0h x，解得 x=0.由 a1，可知当 x 变化时，()h x，()h x的变化情况如下表：x(,0)0(0,)()h x 0+()h x 极小值 所以函数()h x的单调递减区间(,0)，单调递增区间为(0,).（II）证明：由()lnxfxaa，可得曲线()yf x在点11(,()xf x处的切线斜率为1lnxaa.由1()lng xxa，可得曲线()yg x在点22(,()x g x处的切线斜率为21lnxa.因为这两条切线平行，故有121lnlnxaaxa，即122(ln)1xx aa.两边取以 a 为底的对数，得212log2log ln0axxa，所以122lnln()lnaxg xa.（III）证明：曲线()yf x在点11(,)xx a处的切线 l1：111ln()xxyaaaxx.曲线()yg x在点22(,log)axx处的切线 l2：2221log()lnayxxxxa.要证明当1eea 时，存在直线 l，使 l 是曲线()yf x的切线，也是曲线()yg x的切线，只需证明当1eea 时，存在1(,)x ，2(0,)x，使得 l1和 l2重合.即只需证明当1eea 时，方程组1112121lnln1lnloglnxxxaaaxaax aaxa有解，由得1221(ln)xxaa，代入，得111112lnlnln0lnlnxxaax aaxaa.因此，只需证明当1eea 时，关于 x1的方程有实数解.设函数12lnln()lnlnlnxxau xaxaaxaa，即要证明当1eea 时，函数()yu x存在零点.2()1(ln)xu xaxa，可知(,0)x 时，()0u x；(0,)x时，()u x单调递减，又(0)10u，21(ln)2110(ln)auaa，故存在唯一的x0，且x00，使得0()0u x，即 0201(ln)0 xax a.由此可得()u x在0(,)x上单调递增，在0(,)x 上单调递减.()u x在0 xx处取得极大值0()u x.因为1eea，故ln(ln)1a ，所以0000002012lnln12lnln22lnln()ln0lnln(ln)lnlnxxaaau xax aaxxaaxaaa.下面证明存在实数 t，使得()0u t.由（I）可得1lnxaxa，当1lnxa时，有2212lnln12lnln()(1ln)(1ln)(ln)1lnlnlnlnaau xxaxaxaxxaaaa ，所以存在实数 t，使得()0u t 因此，当1eea 时，存在1(,)x ，使得1()0u x.所以，当1eea 时，存在直线 l，使 l 是曲线()yf x的切线，也是曲线()yg x的切线.#