2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷)数学试题(文科)(解析版).pdf

2011 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新）数学（文）试题解析 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷 1 至 2 页。第卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷 注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3第卷共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合0,1,2,3,4,1,3,5,MNPMN则P的子集共有()（A）2 个 （B）4 个 （C）6 个 （D）8 个 解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。显然 P=3,1，子集数为 22=4 故选 B （2）复数51 2ii()（A）2i （B）12i （C）2i （D）12i 解析：本题考查复数的运算，属容易题。解法一：直接法51 2iiiiiii22121215，故选 C 解法二：验证法 验证每个选项与 1-2i 的积，正好等于 5i 的便是答案。（3）下列函数中，即是偶数又在0,单调递增的函数是()A.3yx B.1yx C.21yx D.2xy 解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题 可以直接判断：A 是奇函数，B 是偶函数，又是0,的增函数，故选 B。(4).椭圆221168xy的离心率为()A.13 B.12 C.33 D.22 解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求 e=22422ac,故选 D。也可以用公式22.2116811222eabe故选D。（5）执行右面得程序框图，如果输入的N是 6，那么输出的p是()（A）120 （B）720（C）1440 （D）5040 解析：本题考查程序框图，属于容易题。可设11P,21K 则322,2KP，463,3KP，5244,4KP，61205,5KP，677206,6KP，输出 720.故选 B （6）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()（A）13 (B)12 (C)23 (D)34 解析：本题考查古典概型，属于容易题。设三个兴趣小组分别为 A,B,C.他们参加情况共一下 9 种情况，其中参加同一小组情况共 3 中，故概率为.3193故选 A。（7）已知角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则cos2=()（A）45 （B）35 (C)35 (D)45 解析：本题考查三角公式，属于容易题。易知 tan=2，cos=51.由 cos2=2cos2-1=35 故选 B （8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为()解析：本题考查三视图的知识，同时考察空间想象能力。属于难题。由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，由此可选 D （9）已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直。l 与 C 交于 A,B 两点，AB=12，P 为C 的准线上一点，则ABP 的面积为()（A）18 （B）24 （C）36 （D）48 解析：本题考查抛物线的方程，属于中等题。易知 2P=12，即 AB=12，三角形的高是 P=6，所以面积为 36，故选 C。（10）在下列区间中，函数()43xf xex的零点所在的区间为 A1(,0)4 B1(0,)4 C1 1(,)4 2 D1 3(,)2 4 解析：本题考查零点存在定理，属于中等题。只需验证端点值，凡端点值异号就是答案。故选 C。（11）设函数()sin(2)cos(2)44f xxx，则 A()yf x在(0,)2单调递增，其图象关于直线4x对称 B()yf x在(0,)2单调递增，其图象关于直线2x对称 C()yf x在(0,)2单调递减，其图象关于直线4x对称 D()yf x在(0,)2单调递减，其图象关于直线2x对称 解析：本题考查三角函数的性质。属于中等题。解法一：f(x)=2sin(2x+2)=2cos2x.所以 f(x)在（0，2）单调递减，其图像关于直线 x=2对称。故选 D。解法二：直接验证 由选项知（0，2）不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端点值，知递减，显然 x=4 不会是对称轴 故选 D。(12)已知函数y=f(x)的周期为2，当x11，时 f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图像与函数y=xlg的图像的交点共有（A）10 个 （B）9 个 （C）8 个 （D）1 个 解析：本题考查函数的图象和性质，属于难题。本题可用图像法解。易知共 10 个交点 1 9 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须回答。第 22题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直，则 k=解析：本题考查向量的基本运算和性质，属于容易题。解法一：直接法 (a+b)(ka-b)=0 展开易得 k=1.解法二：凭经验 k=1 时 a+b,a-b 数量积为 0，易知 k=1.（14）若变量 x，y 满足约束条件32969xyxy则 z=x+2y 的最小值为 。解析：本题考查线性规划的基本知识，属于容易题。只需画出线性区域即可。易得 z=x+2y 的最小值为-6。（15）ABC 中 B=120，AC=7，AB=5，则 ABC 的面积为 。解析：本题考查余弦定理和面积公式，属于容易题。有余弦定理得1200222cos2BCACBCACAB 所以 BC=3，有面积公式得 S=4315 （16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 。解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目。由圆锥底面面积是这个球面面积的163 得163422Rr 所以23Rr，则小圆锥的高为,2R大圆锥的高为23R，所以比值为31 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）已知等比数列 中，公比13q。（I）nS为 的前n项和，证明：12nnaS（II）设31323logloglognnbaaa，求数列nb的通项公式。解析：本题考查等比数列基本知识和等差数列的基本知识。（I）31131nna31n211311113133nnnS 12nnaS （II）31323logloglognnbaaa=-（1+2+3+n）=-2)1(nn 数列nb的通项公式为bn=-2)1(nn （18）（本小题满分 12 分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形。60,2,DABABAD PD 底面ABCD。（I）证明：PABD（II）设1PDAD，求棱锥DPBC的高。解：（）因为60,2DABABAD,由余弦定理得3BDAD 从而 BD2+AD2=AB2，故 BDAD 又 PD底面 ABCD，可得 BDPD 所以 BD平面 PAD.故 PABD（）过 D 作 DEPB 于 E，由（I）知 BCBD,又 PD底面ABCD，所以 BC平面 PBD，而 DE平面 PBD，故 DEBC,所以 DE平面 PBC 由题设知 PD=1，则 BD=3,PB=2，由 DEPB=PDBD 得 DE=23,即棱锥DPBC的高为23 （19）（本小题 12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为 A 分配方和 B 分配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表 指标值分组 90，94）94，98）98，102）102，106）106，110 频数 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表 指标值分组 90，94）94，98）98，102）102，106）106，110 频数 4 12 42 32 10（）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（）已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y（单位：元）与其质量指标值 t 的关系式为 2,942,941024,102tytt 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润。解：本题考查概率的基本知识，属于容易题。（）由实验结果知，用 A 配方生产的产品中优质品的频率为100822=0.3 所以用 A 配方生产的产品中优质品率的估计值为 0.3。由实验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为1001032=0.42，所以用 B 配方生产的产品中优质品率的估计值为 0.42.（）由条件知，用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率当且仅当 t94,由试验结果知，t94 的频率为 0.96，所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96.用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润为 4422542-41001=2.68（元）（20）（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆 C 上（）求圆 C 的方程；（）若圆 C 与直线0 xya交与 A，B 两点，且OAOB，求 a 的值。解析：本题考查圆的方程和直线和圆的关系。（）曲线261yxx与坐标轴的交点为（0,1）（3）0,22 故可设圆的圆心坐标为（3，t）则有 221-t3222+t2 解得 t=1,则圆的半径为 31322t 所以圆的方程为 91322yx（）设 A(),11yx B(),22yx其坐标满足方程组 0 xya2 91322yx 消去 y 得到方程012)82(222axaax 由已知可得判别式=56-16a-4a20 由韦达定理可得axx421，212221aaxx 由OAOB可得.02121yyxx又axy11axy22。所以 20)(22121axxxxa 由可得 a=-1,满足 0，故 a=-1。（21）（本小题满分 12 分）已知函数ln()1axbf xxx，曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy。（）求a、b的值；（）证明：当0 x，且1x 时，ln()1xf xx。解析：本题考查导数的基本概念和几何意义，（）221(ln)()(1)xxbxfxxx 由于直线230 xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1(1),2ff 即 1,1,22bab 解得1a，1b。（）由（）知 f(x)=,11lnxxx所以 xxxxxfxx1ln2111ln)(22 考虑函数 则 h(x)=xxxxxx222221122 所以 x1 时 h(x)0 而 h(1)=0 故 x 1,0时 h(x)0 可得ln()1xf xx x，1 h(x)0 可得ln()1xf xx 从而当0 x，且1x 时，ln()1xf xx。请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为 m，AC的长为 n，AD,AB的长是关于x的方程2140 xxmn的两个根。（）证明：C，B，D，E四点共圆；（）若90A，且4,6mn，求C，B，D，E所在圆的半径。解析：（）连结 DE,根据题意在 ADE 和 ACB 中，ADAB=mn=AEAC 即ABAEACAD,又DAE=CAB,从而 ADE ACB 因此ADE=ACB,所以 C,B,D,E 四点共圆。（）m=4,n=6,方程2140 xxmn的两根为 2,12.即 AD=2，AB=12 取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线，两垂线交于点 H，连结 D,H,因为 C,B,D,E 四点共圆，所以圆心为 H,半径为 DH.由于A=900 故 GHAB,HFAC.从而 HF=AG=5，DF=5，故半径为 52.(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 2cos22sinxy（为参数）M 是 C1上的动点，P 点满足2OPOM,P 点的轨迹为曲线 C2()求 C2的方程()在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与 C1的异于极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求AB.解：（I）设 P(x，y)，则由条件知 M(2,2YX).由于 M 点在 C1上，所以 sin222,cos22yx 即 sin44cos4yx 从而2C的参数方程为 4cos44sinxy（为参数）（）曲线1C的极坐标方程为4sin，曲线2C的极坐标方程为8sin。射线3与1C的交点A的极径为14sin3，射线3与2C的交点B的极径为28sin3。所以21|2 3AB.(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 设函数()3f xxax,其中0a。（）当1a 时，求不等式()32f xx的解集（）若不等式()0f x 的解集为|1x x ，求 a 的值 解：（）当1a 时，()32f xx可化为|1|2x。由此可得 3x 或1x 。故不等式()32f xx的解集为|3x x 或1x 。()由()0f x 得 30 xax 此不等式化为不等式组 30 xaxax 或30 xaaxx 即 4xaax 或2xaaa 因为0a，所以不等式组的解集为|2ax x 由题设可得2a=1，故2a