【新高考数学专用】专题18利用函数的极值求参数值(原卷版+解析版)-2022年难点解题方法突破.pdf

专题 18 利用函数的极值求参数值 一、单选题 1若函数 xf xeax的极值为1，则实数a的值为（）Ae B2 C2 D1 2 已知aR，0b，若xb是函数 2f xxbxaxb的极小值点，则实数b的取值范围为（）A1b且0b B1b C2b且0b D2b 3若0m，0n，且函数32()823f xxmxnx在1x 处有极值，则mn的最大值等于（）.A16 B25 C36 D49 4若函数32()()f xxaxx xR不存在极值点，则a的取值范围是（）A3a 或3a B3a 或3a C33a D33a 5函数cos()xxaf xe在2x处取得极值，则（）A1a，且2为极大值点 B1a，且2为极小值点 C1a，且2为极大值点 D1a，且2为极小值点 6已知321()(4)(0,0)3f xxaxbx ab在1x 处取得极值，则11ab的最小值是（）A3 22 B2 C3 32 D2 213 7若函数 2122ln2axf xa xx在区间1,12内有极小值，则a的取值范围是（）A1,e B,1 C2,1 D,2 8已知函数 32f xxax的极大值为 4，若函数 g xf xmx在3,1a上的极小值不大于1m，则实数m的取值范围是（）A159,4 B159,4 C154，D9，9已知函数2()()f xx xc在2x 处取极大值，则c（）A2或6 B2 或 6 C6 D2 10已知 a 为常数，函数 212e1+2xf xaxaxa有两个极值点 x1，x2(x1x2)，则下列结论正确的是（）A0a B01a C 15f x D 23f x 二、解答题 11已知函数 2xf xxeax（e为自然对数的底数）.（1）当0a 时，求证：函数 f x在0,上恰有一个零点；（2）若函数 f x有两个极值点，求实数a的取值范围.12已知函数 3212f xxxbxc，且 f x在1x 处取得极值（）求 b的值；（）若当1,2x 时，2f xc恒成立，求 c的取值范围；（）对任意的12,1,2x x ，1272f xf x是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由 13设函数()()xf xeaxa aR，其图像与x轴交于1,0A x，2,0B x两点，且12xx（I）求a的取值范围；（）证明：1202xxf 14已知函数321()1()32xaf xxaxaR.（1）若2x 是函数 f x的一个极值点，求a的值；（2）当2a 时，12,0,2x x，1223f xf x恒成立，求a的取值范围.15已知函数()xxef xaebx，,a bR且0a （1）若函数()f x在12x 处取得极值4 e，求函数()f x的解析式；（2）在（1）的条件下，令1()()2lng xf xxx，求()g x的单调区间；16设函数 2lnf xxxax（1）若函数 f x有两个极值点，求a实数的取值范围；（2）设 2f xg xax xx，若当0a 时，函数 g x的两个极值点1x，2x满足12xx，求证：294g x.17已知函数3()31f xxax在1x 处取得极值（1）求实数 a 的值（2）当 2,0 x 时，求函数()f x的最小值 18设函数 23132 exf xaxaxa（1）若曲线 yf x在点 22f,处的切线与x轴平行，求a；（2）若 f x在1x 处取得极小值，求a的取值范围 19已知函数 2ln21f xxaxax.（1）当1a 时，求证：f x恰有 1个零点；（2）若 f x存在极大值，且极大值小于 0，求 a的取值范围.20已知函数()sinln()f xxaxb，()g x是()f x的导函数.（1）若0a，当1b时，函数()g x在(,4)内有唯一的极小值，求a的取值范围；（2）若1a，1e2b，试研究()f x的零点个数.21设函数 1xefxa xx，其中Ra.（）若0a，求曲线 yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（）若函数 f x在2,1上有极大值，求a的取值范围.22已知函数2()xf xee.（1）求函数2()f xe在2x 处的切线方程；（2）若不等式2()()f xyf xyme x对任意的0,),0,)xy都成立，求实数 m的取值范围.23已知函数()=e(ln1)()xf xaxaR.()求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；()若函数()yf x在1(,1)2上有极值，求a的取值范围 24已知函数()lnxemf xmxxx.（）当1m 时，求函数 f x的单调区间；（）若函数 f x在1x 处取得极大值，求实数 m的取值范围.25已知函数 2ln2f xxaxax.（1）若 f x在1x 处取得极值，求a的值；（2）求函数 yf x在2,aa上的最大值.26已知函数 2111 2ln2f xaxaxax（0a）.（1）若2x 是函数的极值点，求 a的值及函数 fx的极值；（2）讨论函数的单调性.27已知函数 2xf xaxxa eaR（1）若0a，函数 f x的极大值为3e，求 a 的值；（2）若对任意的0a，ln1f xbx在0,x上恒成立，求实数b的取值范围.28已知函数2()axf xxb在1x 处取得极值为 2，（1）求函数()f x的解析式；（2）若函数()f x在区间,21mm上为增函数，求实数m的取值范围；（3）若00,P x y为函数2()axf xxb图像上的任意一点，直线l与2()axf xxb的图象相切于点P，求直线l的斜率k的取值范围.29已知函数 3223f xxaxbxa在1x 时有极值 0，求常数a，b的值.30已知函数 lnafxxx（1）若 f x在3x 处取得极值，求实数a的值；（2）若 53f xx恒成立，求实数a的取值范围 专题 18 利用函数的极值求参数值 一、单选题 1若函数 xf xeax的极值为1，则实数a的值为（）Ae B2 C2 D1【答案】D【分析】对a分0a 和0a 两种情况讨论，分析函数 f x的单调性，结合函数 xf xeax的极值为1，可求得实数a的值.【详解】由已知可得 xfxea.当0a 时，对任意的xR，0fx，此时函数 f x在R上单调递增，函数 f x无极值；当0a 时，令 0fx，可得lnxa，此时函数 f x单调递减；令 0fx，可得lnxa，此时函数 f x单调递增.所以，函数 xf xeax的极小值为lnlnlnln1afaeaaaaa，令 lng aaaa，则0a 且 11g，lng aa.当01a时，0g a，函数 g a单调递增；当1a 时，0g a，函数 g a单调递减.所以，10g ag，由于 ln1g aaaa，1a.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的极值存在的条件求参数的值，考查计算能力，属于中等题.2 已知aR，0b，若xb是函数 2f xxbxaxb的极小值点，则实数b的取值范围为（）A1b且0b B1b C2b且0b D2b 【答案】B 【分析】由xb既是()f x的极小值点，又是零点，且()f x的最高次项系数为 1，因此可设2()()()f xxbxm，这样可求得1m ，然后求出()fx，求得()fx的两个零点，一个零点是b，另一个零点2x必是极大值点，由2bx可得b的范围【详解】因为()0f b，xb是函数()f x的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f xxbxm，又2()()()f xxb xaxb，令0 x 得22b mb，1m ，即2()(1)()f xxxb，22()3(42)2fxxbxbb()(32)xbxb，由()0fx得1xb，223bx，xb是极小值点，则23b是极大值点，23bb，所以1b 故选：B【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围 3若0m，0n，且函数32()823f xxmxnx在1x 处有极值，则mn的最大值等于（）.A16 B25 C36 D49【答案】C【分析】先对函数求导，根据题中条件，得到(1)24220fmn，再结合基本不等式，即可得出结果.【详解】因为32()823f xxmxnx，所以2()2422fxxmxn，又函数32()823f xxmxnx在1x 处有极值，所以(1)24220fmn，即12mn，因为0m，0n，所以2362mnmn，当且仅当6mn时，等号成立.故选：C.4若函数32()()f xxaxx xR不存在极值点，则a的取值范围是（）A3a 或3a B3a 或3a C33a D33a【答案】D【分析】由已知条件得2()3210fxxax 只有一个实数根或没有实数根，从而 24120,a 由此能求出a的取值范围.【详解】32()f xxaxx，2()321fxxax 32()2f xxaxx 在定义域内不存在极值，2()3210fxxax 只有一个实数根或没有实数根，24120a，33a 故选：D.【点睛】本題主要考查极值的概念，利用导数研究函数的极值，考查发推理论证能力，转化能力，属于中档题.5函数cos()xxaf xe在2x处取得极值，则（）A1a，且2为极大值点 B1a，且2为极小值点 C1a，且2为极大值点 D1a，且2为极小值点【答案】B【分析】先求导，再根据题意得()02f，由此求得1a，再根据导数研究函数的极值【详解】解：cos()xxaf xe，sincos()xxxafxe2sin4xxae，又()f x在2x处取得极值，21()02afe，得1a，2sin14()xxfxe，由()0fx得，2sin104x，即2sin42x，322,444kxkkZ，即22,2kxkkZ，同理，由()0fx得，22,2kxkkZ，()fx在2x处附近的左侧为负，右侧为正，函数()f x在2x处取得极小值，故选：B【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题 6已知321()(4)(0,0)3f xxaxbx ab在1x 处取得极值，则11ab的最小值是（）A3 22 B2 C3 32 D2 213【答案】D【分析】求导 224fxxaxb，根据极值点得到23ab，111 1123ababab，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】32143fxxaxbx，故 224fxxaxb，根据题意 11 240fab ，即23ab，经检验()f x在1x 处取得极值.111 111212 2232 2313333baabababab，当且仅当22baab，即63 2,3 232ab时，等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.7若函数 2122ln2axf xa xx在区间1,12内有极小值，则a的取值范围是（）A1,e B,1 C2,1 D,2 【答案】C【分析】求出 fx，根据 f x在1,12内有极小值可得 fx的图象性质，从而可求a的取值范围.【详解】2122212axa xfxaxaxx，由题意 fx在区间1,12上有零点，且在该零点的左侧附近，有 0fx，右侧附近有 0fx.则 21 22axaxxh在区间1,12上有零点，且在该零点的左侧附近，有 0fx，右侧附近有 0fx.当0a 时，h x为开口向上的抛物线且 02h，故 102100hha，无解.当0a，则 20h xx，舍.当0a，h x为开口向下的抛物线，其对称轴为1211122axaa ，故 102100hha，解得21a.故选：C.【点睛】本题考查函数的极值，注意根据极值的类型判断导数的函数图象性质，本题属于中档题.8已知函数 32f xxax的极大值为 4，若函数 g xf xmx在3,1a上的极小值不大于1m，则实数m的取值范围是（）A159,4 B159,4 C154，D9，【答案】A【分析】对函数求导，令导函数为 0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解即可.【详解】2()3fxxa，当0a 时，()0fx，()f x无极值；当0a 时，()0,(,)(,)33aafxx ,()0,(,),()33aafxxf x 的递增区间是(,),(,)33aa,递减区间是(,)33aa，()f x在3ax 处取得极大值，则有2224333333aaaaafaa，解得3a，于是3()32g xxmx，2()3(3)g xxm.当30m 时，()0g x，()g x在(3,2)上不存在极小值.当30m 时，()g x在)33,33(mm单调递减，在)3,3(m单调递增，所以()g x在33mx处取得极小值，33332(3)3(3)22333333mmmmmmgm 依题意有332,32(3)321,33mmmm，即304,333,32mm解得1594m .故选：A.【点睛】本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法.9已知函数2()()f xx xc在2x 处取极大值，则c（）A2或6 B2 或 6 C6 D2【答案】C【分析】由题意可知(2)0f，从而可求得c的值，然后再验证在 x2处是否取得极大值即可【详解】解：由2322()()2f xx xcxcxc x，得22()34fxxcxc，因为函数2()()f xx xc在2x 处取极大值，所以(2)0f，即28120cc，解得2c 或6c，当2c 时，2()384(2)(32)fxxxxx，令()0fx，得23x 或2x，令()0fx，得223x，所以()f x在23x 处取得极大值，在2x 处取得极小值，所以2c 不合题意，当6c 时，2()324363(2)(6)fxxxxx，令()0fx，得2x 或6x，令()0fx，得26x，所以()f x在2x 处取得极大值，在6x 处取得极小值，所以6c，故选：C【点睛】此题考查由函数的极值点求参数，考查导数的应用，属于基础题 10已知 a 为常数，函数 212e1+2xf xaxaxa有两个极值点 x1，x2(x1x2)，则下列结论正确的是（）A0a B01a C 15f x D 23f x【答案】C【分析】求导得 2exfxaxa，令 2exg x，1h xa x，转化条件为要使函数 g x、h x的图象有两个不同交点，由导数的几何意义、函数的图象可得2a；数形结合可得当12,xx x时，函数 f x单调递减，且120 xx，即可得 15f x、23f xa，即可得解.【详解】因为 2exfxaxa，所以若要使函数 f x有两个极值点，则 fx有两个零点，令 2exg x，1h xa x，则要使函数 g x、h x的图象有两个不同交点，易知直线 1h xa x恒过点1,0，2exg x，在同一直角坐标系中作出函数 g x、h x的图象，如图，当直线 1h xa x与函数 2exg x 的图象相切时，设切点为00,2exx，则0002e2e1xxax，所以00 x，2a，所以当且仅当2a 时，函数 g x、h x的图象有两个不同交点，所以若要使函数 f x有两个极值点，则2a，故 A、B错误；当2a 时，由图象可得当12,xx x时，0fx，函数 f x单调递减，且120 xx，所以 1035f xfa，203f xfa，故 C 正确，D错误.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的切线、极值及函数与方程的综合应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题.二、解答题 11已知函数 2xf xxeax（e为自然对数的底数）.（1）当0a 时，求证：函数 f x在0,上恰有一个零点；（2）若函数 f x有两个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1,0.【分析】（1）法一：利用导数的性质进行求证即可；法二：利用函数的性质直接判断即可求证；（2）对()f x求导，得 1xfxxea，构造函数 1xg xxe，利用导数的性质求出参数a的范围即可【详解】（1）法一：易得：2xf xxe，21fxxe，令 0fx，1x，令 0fx，1x，f x在0,1上单调递减，且 0f x；在1,上单调递增且有 10fe ，330fe，故命题获证.法二：易得：2xf xxe，0 xe 恒成立，2xf xxe有唯一零点2x.（2）易得 1xfxxea，令 1xg xxe得 xg xxe，x,0 0 0,g x 0 g x 1 g x在,0上单调递减且 10g x；在0,上单调递增且有 220ge，函数 f x有两个极值点，1,0a.【点睛】关键点睛：解题的关键在于求导得到 1xfxxea后，构造函数 1xg xxe，并通过对()g x通过求导得到奇函数的极值点，进而求出a的范围，难度属于中档题 12已知函数 3212f xxxbxc，且 f x在1x 处取得极值（）求 b的值；（）若当1,2x 时，2f xc恒成立，求 c的取值范围；（）对任意的12,1,2x x ，1272f xf x是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由【答案】（）2b ；（）c的取值范围是,12,（）成立，证明见解析.【分析】（）由题意得 f（x）在 x1处取得极值所以 f（1）31+b0所以 b2（）利用导数求函数的最大值即 g（x）的最大值，则有 c22+c，解得：c2或 c1（）对任意的 x1，x21，2，|f（x1）f（x2）|72恒成立，等价于|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min72【详解】（）f（x）x312x2+bx+c，f（x）3x2x+b f（x）在 x1 处取得极值，f（1）31+b0 b2 经检验，符合题意 （）f（x）x312x22x+c f（x）3x2x2（3x+2）（x1），当 x（1，23）时，f（x）0 当 x（23，1）时，f（x）0 当 x（1，2）时，f（x）0 当 x23 时，f（x）有极大值2227c 又 f（2）2+c2227c，f（1）12c2227c x1，2时，f（x）最大值为 f（2）2+c c22+cc1 或 c2（）对任意的 x1，x21，2，|f（x1）f（x2）|72恒成立 由（）可知，当 x1 时，f（x）有极小值32c 又 f（1）12c32c x1，2时，f（x）最小值为32c|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min72，故结论成立【点睛】本题考查函数的极值及最值的应用，易错点是知极值点导数为 0要检验，结论点睛：|f（x1）f（x2）|a 恒成立等价为 f（x）maxf（x）mina 13设函数()()xf xeaxa aR，其图像与x轴交于1,0A x，2,0B x两点，且12xx（I）求a的取值范围；（）证明：1202xxf【答案】（I）2ae；（）证明见解析.【分析】（I）先求出 fx，易得当0a 不符合题意；当0a 时，当lnxa时，f x取得极小值，所以ln0fa，得到a的范围，再由 10f，3ln0fa，结合零点存在定理，得到答案.（）由题意，12120,0,xxeaxaeaxa，两式相减，得到2121xxeeaxx，记2102xxs s，将122xxf转化为 g s，再由导数求出其单调性，从而得到1202xxf.【详解】（I）解：因为,xf xeaxa aR，所以 xfxea.若0a，则 0fx，则函数 f x是单调增函数，f x的图像与x轴至多有一个交点，这与题设矛盾.所以0a，令 0fx，则lnxa.当lnxa时，0fx，f x是单调减函数；lnxa时，0fx，f x是单调增函数；于是当lnxa时，f x取得极小值.因为函数 xf xeaxa aR的图像与x轴交于两点1,0A x，212,0B xxx，所以ln2ln0faaa，即2ae.此时，存在1lna，10fe；存在3lnlnaa，又lnaa 33ln3 lnfaaaaa232353024aaaaa，又 f x在R上连续，故2ae.（）证明：因为121200 xxeaxaeaxa，两式相减得2121xxeeaxx.记2102xxs s，则12122121212122222121212xxxxxxxxxxxxeeefexxeexxxx12222xxssesees，设 2ssg ssee，因为0s，所以1,0ssee，22sssseeee，当且仅当ssee时，即1,0ssees，而0s，所以2ssee，则 20ssgsee，所以 g s是单调减函数，则有 00g sg，而12202xxes，所以1202xxf.【点睛】思路点睛：已知函数的零点情况求参数的取值范围，通常通过研究函数的单调性，进一步研究函数的值域，再解不等式求得参数的范围；证明函数值恒小于零，通过换元法构造新函数，再研究新函数的单调性和值域即可证明，不过这类题涉及知识点多，难度大.14已知函数321()1()32xaf xxaxaR.（1）若2x 是函数 f x的一个极值点，求a的值；（2）当2a 时，12,0,2x x，1223f xf x恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）2；（2）1 5,3 3.【分析】（1）由解析式得到导函数fx，结合2x 是函数 fx的一个极值点，20f 即可求a的值；（2）由题设分析知，在0,2x内有 maxmin23f xf x，结合已知2a，讨论0a、01a、1a、12a分别求a的范围，然后求并集即可.【详解】解：（1）由函数解析式知：21fxxaxa，由题意，得 24210faa，故2a.经检验，2a 满足题意.（2）由已知，当2a 时，只需0,2x，maxmin23f xf x.211fxxaxaxxa.当0a 时，fx在0,1单减，在1,2单增.所以 min5162af xf，而 01f，523f，故 max53fx.所以 maxmin5523623faxfx，解得13a（舍去）.当01a时，fx在0,a单增，在,1a单减，在1,2单增.由于 2203ff，所以只需 210f afff，即2144013aaaa，所以113a.当1a 时，210fxx，fx在0,2单增，所以 maxmin2203fxfxff，满足题意.当12a时，fx在0,1单增，在1,a单减，在,2a单增.由于 2203ff，所以只需 120fff af，即533aa，所以513a.综上，知：1 5,3 3a.【点睛】思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般应用极值点处的导数为 0列方程；函数在闭区间内任意两个函数值的差小于定值转化为最值间的距离小于该定值，（1）当0 xx有极值则0()0fx，即可得有关参数的方程；（2）12,x xa b，1223f xf x恒成立转化为,xa b，maxmin23f xf x；15已知函数()xxef xaebx，,a bR且0a （1）若函数()f x在12x 处取得极值4 e，求函数()f x的解析式；（2）在（1）的条件下，令1()()2lng xf xxx，求()g x的单调区间；【答案】（1）()2xxef xex；（2）()g x的单调递减区间为1(0,)2，单调递增区间为1(,)2.【分析】（1）求出导函数()fx，由102f，142fe可解得,a b，得函数解析式；（2）求出()g x，然后求出()0g x的解，确定()g x的正负，得单调区间【详解】（1）函数()f x的定义域为(,0)(0,)2(1)()xxexfxaebx由已知可得：1()2021()242fa eb efa eb ee2024abab 解得2,1ab，经检验：2,1ab符合题意()2xxef xex（2）1()22lnxxeg xexxx的定义域为(0,)222(1)21(21)()2(1)1)xxxexxg xexexxxx 由于(1)1xyxe满足(2)0(0)xyxex 故：(1)1xyxe在(0,)上单增，故：当0 x 时，(1)10 xyxe 恒成立 故1()02g xxx 1(0,)2 12 1(,)2()g x 0 ()g x 单调递减 单调递增 故：()g x的单调递减区间为1(0,)2，单调递增区间为1(,)2【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，求单调区间，解题基础是掌握导数的运算法则，求出导函数再根据导 数与极值、单调性的关系求解 16设函数 2lnf xxxax（1）若函数 f x有两个极值点，求a实数的取值范围；（2）设 2f xg xax xx，若当0a 时，函数 g x的两个极值点1x，2x满足12xx，求证：294g x.【答案】（1）10,2；（2）证明见解析.【分析】（1）先由题中条件，得出函数定义域，由题意，得到 ln1 2fxxax 在0,上有两个零点，即ln12xax在0,上有两个不等实根，设 ln1xh xx，0 x，得到函数 ln1xh xx与直线2ya在0,上有两个不同交点，对函数 ln1xh xx求导，判定其单调性，得出最值，进而可得出结果；（2）对函数 g x求导，根据题中条件，由韦达定理，得到1212xx，求出21142x得到 22211ln242xxg x，21142x，设 1ln42T xxx，1142x对其求导，用导数的方法求出最值，即可得出结果.【详解】（1）由已知，可知函数 f x的定义域为0,，ln1 2fxxax 在0,上有两个零点，即方程ln12xax在0,上有两个不等实根，设 ln1xh xx，0 x，因此函数 ln1xh xx与直线2ya在0,上有两个不同交点，又 221ln1lnxxh xxx，由 0h x得01x；由 0h x得1x；则函数 ln1xh xx在0,1上单调递增，在1,上单调递减；则 max11h xh；又当1xe时，0h x，当10 xe时，0h x；为使函数 ln1xh xx与直线2ya在0,上有两个不同交点，只需021a，解得102a，即实数a的取值范围是10,2.（2）证明：因为 22ln0f xg xax xaxaxx xx，21212axaxgxaxaxx，由 0g x的两根为1x，2x，故可得1212xx，因为12xx，所以214x，又 22222210axaxgxx，所以222102axx，解得2102x，21142x，222222222221lnln2xxg xaxaxxxxx22222111lnln21242xxxxx，21142x，设 1ln42T xxx，1142x，则 222214111451212121xxxxTxxxxxxx ，当1142x，0Tx，T x是增函数；所以 11ln424T xT；因此 22211159ln2242224g xxx.【点睛】本题主要考查由函数极值点个数求参数，考查由导数的方法证明不等式，属于常考题型.17已知函数3()31f xxax在1x 处取得极值（1）求实数 a 的值（2）当 2,0 x 时，求函数()f x的最小值【答案】（1）1；（2）3.【分析】（1）()f x在1x 处取得极值，则(1)0f 可求出a的值；（2）求出函数在2,0上的单调区间，从而得出函数的最小值；【详解】解：（1）由32()31()33f xxaxfxxa，函数3()31f xxax在1x 处取得极值，(1)330fa，解得1a，当1a 时，2()33fxx，令()0fx，得1x 或1x，令()0fx，得11x，函数()f x在(,1)，(1,)上单调递增，在(1,1)上单调递减，()f x极大值(1)1f，()f x极小值(1)3f 1a 符合题意（2）由（1）得()f x在2,1 上单调递增，在1,0上单调递减；()f x极大值(1)1f，()f x极小值3，且(2)3f ，当 2,1x 时，求函数()f x的最小值为：(2)(1)3ff 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值与最值，属于中档题.18设函数 23132 exf xaxaxa（1）若曲线 yf x在点 22f,处的切线与x轴平行，求a；（2）若 f x在1x 处取得极小值，求a的取值范围【答案】（1）12a；（2）1,.【分析】（1）利用导数的几何意义可得 20f，即可得答案；（2）利用极值的定义对a分0a、0a、0a 三种情况进行讨论；【详解】解：（1）23132 exf xaxaxa，211 exfxaxax，2221 e0fa，12a （2）11 exfxaxx 当0a 时，令 0fx，得1x，fx、f x随x变化如下表：x,1 1 1,fx 0 f x 极大值 f x在1x 处取得极大值（舍去）当0a 时，令 0fx得11xa，21x （）当12xx，即1a 时，21e0 xfxx在R上单调增，f x无极值（舍）（）当12xx，即01a时，fx，f x随x变化如下表：x,1 1 11,a 1a 1,a fx 0 0 f x 极大值 极小值 f x在1x 处取极大值（舍）（）当12xx，即1a 时，fx，f x随x变化如下表：x 1,a 1a 1,1a 1 1,fx 0 0 f x 极大值 极小值 f x在1x 处取极小值即1a 成立 当0a 时，令 0fx得11xa，21x x 1,a 1a 1,1a 1 1,fx 0 0 f x 极小值 极大值 f x在1x 处取极大值（舍）综上所述：a的取值范围为1,【点睛】本题考查导数的几何意义、极值的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19已知函数 2ln21f xxaxax.（1）当1a 时，求证：f x恰有 1个零点；（2）若 f x存在极大值，且极大值小于 0，求 a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）151,22.【分析】（1）先求导，根据导数和函数最值得关系求出最值，即可判断；（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数极值的关系即可求出 a 的取值范围.【详解】（1）当1a 时，函数 2lnf xxxx的定义域为(0,),可得 421112121xxxxfxxxxx ，当01x时，0fx，函数 f x单调递增；当1x 时，0fx，函数 f x单调递减，所以当1x 时，函数取得最大值，最大值 max10f xf，所以函数 f x恰有 1 个零点.（2）由函数 3ln21f xxaxax，其中(0,)x，可得 2212(21)1(21)(1)321axaxaxxfxaxaxxx，当0a 时，令 0fx，解的1x，当01x时，0fx，函数 f x单调递增；当1x 时，0fx，函数 f x单调递减，所以当1x 时，函数取得极大值，极大值为 110fa ，解得1a ，所以10a.当0a 时，令 0fx，解的1x 或12xa，若112a时，即102a时，当01x时，0fx，函数 f x单调递增；当112xa时，0fx，函数 f x单调递减，当12xa时，0fx，函数 f x单调递增；即函数 f x在区间1(0,1),(,)2a上单调递增，在1(1,)2a单调递减，当1x 时，函数取得极大值，极大值为 110fa ，解得1a ，所以102a；若112a时，即12a 时，可得 0fx，函数 f x在(0,)单调递增，函数无极值；若112a时，即12a 时，当102xa时，0fx，函数 f x单调递增；当112xa时，0fx，函数 f x单调递减，当1x 时，0fx，函数 f x单调递增；即函数 f x在区间1(0,),(1,)2a上单调递增，在1(,1)2a单调递减，当12xa时，函数取得极大值，极大值为 11111ln12ln21022424fxfaaaaaaa 极大值恒成立，所以12a.综上所述，函数 f x存在极大值，且极大值小于 0，则 a 的取值范围为111,22.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的综合应用，其中解答中熟记导数与函数间的关系，着重考查导数的应用，以及分类讨论思想，属于中档试题.20已知函数()sinln()f xxaxb，()g x是()f x的导函数.（1）若0a，当1b时，函数()g x在(,4)内有唯一的极小值，求a的取值范围；（2）若1a，1e2b，试研究()f x的零点个数.【答案】（1）(0,25sin 4)a；（2）()f x有 3个零点.【分析】（1）先求导得2sin)(1)(agxxx，求出2()0(1)ag 4sin425ag，再由sin4025a和sin4025a两种情况讨论求得a的取值范围；（2）分析可知，只需研究(,)b时零点的个数情况，再分(,),(,)22xbx 两种情形讨论即可.【详解】解：（1）当1b时，si()(l)n1nfxaxx，cos1()()xxagfxx，2sin)(1)(agxxx 0a 在,4是增函数，2()0(1)ag，(4)sin425ag，当(4)sin4025ag 时，()g x在(,4)是减函数，无极值；当(4)sin4025ag 时，0(,4)x，使得00()g x，从而()g x在0(,)x单调递减，在0(,4)x单调递增，0 x为()g x唯一的极小值点，所以0,25sin4a（2）当1a 时，()sinln()f xxxb，(1,)2be，可知，（i）,x时，()0f x，无零点；所以只需研究(,)b，1()cosfxxxb，（ii）(,)2x时，1()cos0fxxxb，可知()f x单调递减，()1 ln()1 ln()02222fbe ，()0f ，存在唯一的(,)2s，()0f s；（iii）当(,)2xb，21()sin()fxxxb 是减函数，且21(0)00fb，21()102()2fb 则1(0,)2x，1()0fx，fx在1(,)b x是增函数，1()2x，是减函数，并且 lim()0 xbfx，1010fb，1()022fb，所以2(,0)xb，2()0fx；3(0,)2x，3()0fx，且知 f x f x在2,b x减，在23,x x增，在3(,)2x减，又因为()lim0 xbxf，00ln0fb，()02f，(,0)mb，()0f m，(0,)2n，()0f n，综上所述，由（i）（ii）（iii）可知，()f x有 3个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21设函数 1xefxa xx，其中Ra.（）若0a，求曲线 yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（）若函数 f x在2,1上有极大值，求a的取值范围.【答案】（）ye；（）223,4ee.【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）求导得 21xexfxax，令 21xexg xax，则 2322xexxgxx，则可证明 0gx在2,1x 上恒成立，则 g x在2,1递减，即 f x在2,1上单调递减，若函数 f x在2,1上有极大值，则只需 2010ff即可.【详解】（）由题意 xefxx，求导得 21xexfxx.所以lfe，l0f.所以曲线 yf x在点 1,lf处的切线方程为ye.（）21xexfxax，令 21xexg xax，则 2322xexxgxx.因为对于2,1x ，23110 xexgxx恒成立，所以 g x在2,1上单调递减，即 f x在2,1上单调递减，因为 f x在2,1上有极大值，所以 f x在2,1上存在“左正右负”变号零点.由零点存在性定理：只需 20,10,ff，即230,4210.aee 所以2234aee.所以函数 f x在2,1上有极大值时，a的取值范围为223,4ee.【点睛】本题考查曲线的切线方程求解，考查根据函数的极值点求参数的取值范围问题，难度较大.解答时分析清楚函数的单调性是核心.22已知函数2()xf xee.（1）求函数2()f xe在2x 处的切线方程；（2）若不等式2()()f xyf xyme x对任意的0,),0,)xy都成立，求实数 m的取值范围.【答案】（1）0 xy；（2）(,2.【分析】(1)先利用导数求切线的斜率,再求切线方程;(2)根据题意可得222x yx yeeeme x对任意的0,)x，0,)y都成立，当0 x 时,显然成立;当0 x 时,设2()2x yx yg x