《整式及其加减》全章复习与巩固知识讲解.pdf

整式及其加减 全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示 2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的 联系.3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数 式的值推断代数式反映的规律 4理解并掌握单项式与多项式的相关概念；5理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整 式的加减运算、求值；6深刻体会本章体现的主要的数学思想 -整体思想 【知识网络】【要点梳理】要点一、代数式 n2 诸如：16n，2a+3b，34，（a b）2等式子，它们都是用运算符号（、乘方、开方）把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个 数或一个字母也是代数式 要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的 形式；（5）如果字母前面的数字是 1，通常省略不写 要点二、整式的相关概念 1单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单 项式 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和 2多项式：几个单项式的和叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数（3）多项式的次数是 n 次，有 m个单项式，我们就把这个多项式称为 n 次 m项式 3.多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个 字母降幂排列 另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把 这个多项式按这个字母升幂排列 要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列 4整式：单项式和多项式统称为整式 要点三、整式的加减 1同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项所有的常数项都 是同类项 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：所含字母相同；相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：与系数无关；与字母的排列顺序无关 2合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不 变 3去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都 不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改 变 4添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括 号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变 5整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减 号连接，然后去括号，合并同类项 要点四、探索与表达规律 寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.【典型例题】类型一、代数式 1某商场文具部的某种毛笔每支售价 25 元，书法练习本每本售价 5 元.该商场为促销 制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额 打九折付款.八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔 10 支，书法练习本 x（x10）本.（1）用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.（2）若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本 30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方 式才更省钱.【思路点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的，把两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小【答案与解析】解:设买练习本 x,则得两种购买方法的代数式为:（1）代数式分别为:25 10+5（x-10）,（25 10+5x）90%(2)把 x=30 分别代入两个代数式:2510+5(x-10)2510+5(30-10)350(元)(25 10+5x)90%(25 10+5 30)90%=360(元)所以选择第一种优惠方式【总结升华】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型 类型二、整式的相关概念 2(2016 春?新泰市期中)下列说法正确的是()A1xy 是单项式 B ab 没有系数 22 C 5 是一次一项式 D a2b+ababc2是四次三项式【思路点拨】根据多项式是几个单项式的和，数字因数是单项式的系数，字母指数和是单项 式的次数，多项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项，可得答案【答案】D【解析】解：A、1xy 是多项式，故 A 错误；B、ab的系数是 1，故 B错误；C、5 是单项式，故 C错误；22 D、a2b+ab abc2是四次三项式，故 D正确；故选：D【总结升华】本题考查了多项式，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，每个单项 式是多项式的项 举一反三：22【变式 1】(2014?佛山)多项式 2a2b ab2 ab 的项数及次数分别是()A3，3 B 3，2 C 2，3 D 2，2【答案】A 2a2b ab2 ab 是三次三项式，故次数是 3，项数是 3 3 n 1【变式 2】若多项式(m 4)x3 xn1 5x(n m 2)是关于 x的二次三项式，则 m ，n ，这个二次三项式为.【答案】4,3,x2 5x 9 类型三、整式的加减运算 n 1 5 2n 1 x5y2n 1是同类项，求出 m,n的值，并把这两个单项式相加 5 n 1 5 2n 1 x5y2n 1 是同类项，5 m 2,解得 n 1.5 2n 1 4 5 2 5 4 2 5 14 5 x y)x y x y()x y x y.3 5 3 5 3 5 15 总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母 的指数也要相同.其中，2m 3m 1 3若 x y与 3【答案与解析】解：因为 2m x3m 1y与 3 3m 1 5,所以 2n 1 1.当 m 2 且 n 1 时，2m x3m 1y(n 1 常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并 举一反三：【变式】合并同类项 2 2 2 2(1)3x 4xy 4y 5x 2xy 2y；(2)9 3 2 9 1 3 2 11 3(2)5xy x y xy x y xy x y 5 2 4 2 4 答案】22(1)原式(3 5)x2(4 2)xy(4 2)y2 22 2x2 2xy 2y2(2)原式 5 9 11 xy 9 x3y2 1 x3y2 x3y 5 4 4 2 2 4.(2015 春?无锡校级期中)已知 x=2015，求代数式(2x+3)(3x+2)6x(x+3)+5x+16 的值”时，马小虎把“2015”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的，这是为什么？请你说明原因【答案与解析】22 解：原式=6x+4x+9x+6 6x 18x+16=22，结果不含 x，故原式化简后与 x 的取值无关，则马小虎把“2015”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的【总结升华】原式利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得 到最简结果，根据结果不含 x，即可得证此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运 算法则是解本题的关键 举一反三：【变式 1】已知 Ax22y2z2，B 4x23y2 2z2，且 ABC0，则多项式 C为()2 2 2 2 2 2 A5x y z B3x 5y z C3x2y23z2 D3x25y2 z2【答案】B【变式 2】先化简代数式 2a 1a2(3a2 5a 1)1a 5，然后选取一个使原式有 3 3 3 意义的 a 的值代入求值【答案】2a 1a(3a 5a 1)1a 5 2 a 1a(3a 5a 1 1 a 5)3 3 3 3 3 3 2 1 2 2 16 2 1 2 2 16 a a2(3a2 a 4)a(a2 3a2 a 4)3 3 3 3 3 3 x3y 5 2 8 2 16 2 8 2 16 8 2 14 a（a a 4）a a a 4 a a 4 3 3 3 3 3 3 3 3 当 a 0 时，原式 0-0-4 -4 22【变式 3】（1）（xy）2 10 x10y25（xy）210（_）25;（2）（abc d）（abcd）（ad）（_）（ad）（_）【答案】（1）x y；（2）bc，bc 类型四、化简求值 15a2 4a2 5 a8a2（2 a2a）9a2 3a的值 2 已知（2ab 3）2 b 1 0，求 3a32 b8（3 a2b 1）a 1 的值 3）整体代入（鄂州）已知 m2 m 1 0，求 m3 2m2 2009 的值 思路点拨】对于化简求值问题，要先看清属于哪个类型，然后再选择恰当的方法进行 求解.答案与解析】2 2 2 2 2 解：（1）原式=15a2 4a2（5a8a22a2+a9a2）3a=15a24a2（6aa2）3a 222=15a2（4a2 6a a2 3a）22=15a2（5a2 3a）2 2 2=15a2+5a23a=20a23a 当 时，原式=2（2）由（2a b3）2 b1 0 可知：2ab3=0，b1=0，解得 a=-2，b=1.3a32 b8（3 a2b 1）a 1=3a3（2 b83a2b 1a）1=3a3（2 a9）1=3a6a+271=283a 由 a=-2 则 原式=28 3a=28+6=34 m2 2m2 m2 2009 m3 m2 m2 2009（m3 m2）m2 2009 m（m2 m）m2 2009 m m2 2009 1 2009 2010 所以 m3 2m2 2009 的值为 2010【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，间的联3）2，m2 m 1 0，m2 m 1 然后找到化简结果与已知条件之 1）直接化简代入 时，求代数式 2）条件求值 系 举一反三：【变式】已知 2a b 6，求代数式 2（2a b）3（a b）的值 a b a b 2a b【答案】2a b a b 1 3 设 p，则，原式 2p a b 2a b p p 31 又因为 p 6，所以原式 2 6 12 62 类型五、探索与表达规律 6.如图，在 2005 年 3 月的日历上：（1）任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为 x，则其余两个数分别为；（2）用一个矩形框出四个数，请用一个等式表示 a、b、c、d 之间的关系:；（3）用一个十字框任意框出 5 个数，设中间一个数为 a，则框出的 5 个数的和为 【思路点拨】日历上一竖列相邻的两个数相隔 7，一横行相邻的两个数相差 1，据此很容易 求出本题答案【答案】（1）x7，x7；（2）a b1c7 d8；（3）5a【解析】（1）（3）较简单；（2）b 比 a 大 1，所以 ba 1；c 比 a大 7，所以 ca7；d 比 c 大 1，所以 dc1 由 b a1 得 ab1，由 ca7 得 ac7，由 dc 1 得 c d1，将代 入得 ac7（d1）7d8 由得：ab1c7 d8【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系 举一反三：【变式】如图，是由边长为 1 的正方形按照某种规律排列而成的：(1)观察图形，填写下表：(2)推测第 n 个图形中，正方形的个数为 _，周长为 _ (用含 n的代数式表示)【答案】(1)(2)5n+3，10n+8 类型六、综合应用 7.对于任意有理数 x，比较多项式 4x2 5x 2与 3x2 5x 2的值的大小【答案与解析】解：(4x2 5x 2)(3x2 5x 2)4x2 5x 2 3x2 5x 2 x2 4 2 x2 4 0 无论 x 为何值，4x2 5x 2 3x2 5x 2【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并 同类项的法则，这是各地中考的常考点 举一反三：22 变式】如果关于 x，y 的多项式(mx2 2xy x)与(3x2 2nxy 3y)的差不含二次项，求 nm 的值【答案】22 解：原式(mx2 2xy x)(3x2 2nxy 3y)2 (m 3)x2(2 2n)xy x 3 y 由题意知，则 m 3 0,2 2n 0，m 3,n 1 nm(1)3 1