【最高考】2021届高考数学二轮专题突破高效精练第24讲高考题中的解答题解法.pdf

第 24 讲 高考题中的解答题解法 1.已知集合 Ax|x2(3a3)x2(3a1)0，xR，集合 Bxxax（a21）0，xR.(1)当 4B 时，求实数 a 的取值范围；(2)求使 BA 的实数 a 的取值范围 解：(1)若 4B，则4a3a20a 3或 3a4.所以当 4B 时，实数 a 的取值范围为 3，34，)(2)Ax|(x2)(x3a1)0，Bx|axa21 当 a13时，A(3a1，2)要使 BA，必需a3a1，a212，此时1a12；当 a13时，A，使 BA 的 a 不存在；当 a13时，A(2，3a1)要使 BA，必需a2，a213a1，此时 2a3.综上，使 BA 的实数 a 的取值范围是2，31，12 2.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，ABC60，PAACa，PBPD 2a，点E、F 分别在 PD、BC 上，且 PEEDBFFC.(1)求证：PA平面 ABCD;(2)求证：EF平面 PAB.证明：(1)底面 ABCD 是菱形，ABC60，ABADACa.在PAB 中，PA2AB22a2PB2，PAAB，同理 PAAD.又 ABADA，PA平面 ABCD.(2)作 EGPA 交 AD 于 G，连结 GF，则AGGDPEEDBFFC，GFAB.又 AB平面 PAB，GF平面 PAB，GF平面 PAB.同理 EG平面 PAB.又 GFEGG，平面 EFG平面 PAB.又 EF平面 EFG，EF平面 PAB.3.如图，现要在边长为 100 m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为 x m(x 不小于 9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x2 m 的圆形草地为了保证道路畅通，岛口宽不小于 60 m，绕岛行驶的路宽均不小于 10 m.(1)求 x 的取值范围；(运算中 2取 1.4)(2)若中间草地的造价为 a 元/m2，四个角花坛的造价为433ax 元/m2，其余区域的造价为12a11元/m2，则当 x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解：(1)由题意得，x9，1002x60，100 22x215x2210，解得x9，x20，20 x15，即 9x15.(2)记“环岛”的整体造价为 y 元，则由题意得 ya15x22433axx212a1110415x22x2 a11125x443x312x212104，令 f(x)125x443x312x2，则 f(x)425x34x224x4x125x2x6，由 f(x)0，解得 x10 或 x15，列表如下：x 9(9，10)10(10，15)15 f(x)0 0 f(x)微小值 所以当 x10，y 取最小值 答：当 x10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低 4.在直角坐标系 xOy 中，动点 P 到定点 F(1，0)的距离与到定直线 m：x4 的距离之比为12，记动点 P的轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)记曲线 E 与 y 轴的正半轴交点为 D，过点 D 作直线 l 与曲线 E 交于另一点 M，与 x 轴交于点 A(不同于原点 O)，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，直线 DN 交 x 轴于点 B.摸索究 OAOB 是否为定值？若是定值，恳求出该定值，否则请说明理由 解：(1)设点 P(x，y)，曲线 E 是椭圆，其方程为x24y231.(2)设直线 l 方程为 ykx 3.令 y0，得 A3k，0.由方程组ykx 3，3x24y212可得 3x24(kx 3)212，即(34k2)x28 3kx0.所以 M8 3k34k2，8 3k234k2 3，N8 3k34k2，8 3k234k2 3，所以 kDN2 38 3k234k28 3k34k234k.直线 DN 的方程为 y34kx 3.令 y0，得 B4 3k3，0.所以 OAOB|4 3k3|3k|4，故 OAOB 为定值 4.5.已知函数 f(x)lnxmx(mR)(1)若曲线 yf(x)过点 P(1，1)，求曲线 yf(x)在点 P 处的切线方程；(2)求函数 f(x)在区间1，e上的最大值；(3)若函数 f(x)有两个不同的零点 x1、x2，求证：x1x2e2.(1)解：由于点 P(1，1)在曲线 yf(x)上，所以m1，解得 m1.由于 f(x)1x1，所以切线的斜率为 0，所以切线方程为 y1.(2)解：由于 f(x)1xm1mxx.当 m0 时，x(1，e)，f(x)0，所以函数 f(x)在(1，e)上单调递增，则 f(x)maxf(e)1me.当1me，即 0m1e时，x(1，e)，f(x)0，所以函数 f(x)在(1，e)上单调递增，则 f(x)maxf(e)1me.当 11me，即1em1 时，函数 f(x)在1，1m上单调递增，在1m，e 上单调递减，则 f(x)maxf1mlnm1.当1m1，即 m1 时，x(1，e)，f(x)0，函数 f(x)在(1，e)上单调递减，则 f(x)maxf(1)m.综上，当 m1e时，f(x)max1me；当1em1 时，f(x)maxlnm1；当 m1 时，f(x)maxm.(3)证明：不妨设 x1x20.由于 f(x1)f(x2)0，所以 lnx1mx10，lnx2mx20，可得 lnx1lnx2m(x1x2)，lnx1lnx2m(x1x2)要证明 x1x2e2，即证明 lnx1lnx22，也就是 m(x1x2)2.由于 mlnx1lnx2x1x2，所以即证明lnx1lnx2x1x22x1x2，即 lnx1x22（x1x2）x1x2.令x1x2t，则 t1，于是 lnt2（t1）t1.令(t)lnt2（t1）t1(t1)，则(t)1t4（t1）2（t1）2t（t1）20.故函数(t)在(1，)上是增函数，所以(t)(1)0，即 lnt2（t1）t1成立所以原不等式成立 6.已知数列an的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(nN*)在函数 yx2的图象上，数列bn满足 bn6bn12n1(n2，nN*)，且 b1a13.(1)求数列an的通项公式；(2)证明列数bn2n1 是等比数列，并求数列bn的通项公式；(3)设数列cn满足对任意的 nN*，均有 an1c1b12c2b222c3b323cnbn2n成立，求 c1c2c3c2 014的值(1)解：点(n，Sn)在函数 yx2的图象上，Snn2(nN*)，当 n1 时，a1S1121；当 n2 时，anSnSn1n2(n1)22n1，又 a11 也适合，an的通项公式为 an2n1(nN*)(2)证明：bn6bn12n1(n2)，bn2n16bn12n12n13bn12n133bn12n11(n2)b1a134，b12113，bn2n1 是首项为 3，公比为 3 的等比数列 bn2n133n13n，bn6n2n(nN*)(3)解：由(2)得 bn2n6n，由题意得 nN*均有 an1c1b12c2b222c3b323cnbn2n，anc1b12c2b222c3b323cn1bn12n1(n2)，an1ancnbn2n2(n2)，cn26n(n2)又 a2c1b123，c13(b12)3618，cn18（n1），26n（n2，nN*）.c1c2c3c2 014182(62636462 014)62(6626362 014)25(62 0159)滚动练习(八)1.已知集合 Pxx21，xR，Ma若 PMP，则实数 a 的取值范围是_ 答案：1，1 2.某市老师基本功大赛七位评委为某选手打出分数的茎叶图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后的 5 个数据的标准差为_(茎表示十位数字，叶表示个位数字)7 9 8 3 4 5 6 7 9 3 答案：2 3.在等比数列an中，a112，a44，则|a1|a2|a3|an|_ 答案：2n112 解析：数列an的公比为2，数列|an|是首项为12，公比为 2 的等比数列 4.计算：sin10cos20sin30cos40_ 答案：116 解析：sin10cos20sin30cos402cos10sin10cos20sin30cos402cos10 2sin20cos20cos408cos10116.5.已知 D 是ABC 边 BC 的中点，AB2，AC3，则ADBC_ 答案：52 解析：ADBC12(ABAC)(ACAB)12(AC2AB2)12(3222)52.6.在圆 x2y22x6y0 内，过点 E(0，1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为_ 答案：10 2 解析：AC2 10，BD2 5，S四边形 ABCD122 102 510 2.7.已知 f(x)x2x（x0），x2x（x0），则不等式 f(x2x1)12 的解集是_ 答案：(1，2)8.若函数 f(x)x3ax2bx 为奇函数，其图象的一条切线方程为 y3x4 2，则 b 的值为_ 答案：3 解析：由于 f(x)是奇函数，所以 a0，f(x)x3bx.设 f(x)在点(x0，y0)处的切线为 y3x4 2，得y0 x30bx0，33x20b，y03x04 2，解得 b3.9.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2y24x0.若直线 yk(x1)上存在一点 P，使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值范围是_ 答案：2 2，2 2 10.设函数 yf(x)满足对任意的 xR，f(x)0 且 f2(x1)f2(x)9.已知当 x0，1)时，有 f(x)2|4x2|，则 f2 0136_ 答案：5 解析：f2(x1)f2(x)9，f2(x2)f2(x1)9，故 f2(x2)f2(x)又 f(x)0，f(x2)f(x)f2 0136f33432f32.由 f2(x1)f2(x)9，得 f232f2129，f122，f2325，f32 5.11.设数列an满足：a38，(an1an2)(2an1an)0(nN*)，则 a1的值大于 20 的概率为_ 答案：14 解析：(an1an2)(2an1an)0，得 an1an20，又 a38，故 an2n2；2an1an0，则an112an，若an为等比数列，则由 a38 得 an 3212n1；若an不为等比数列，则 a10；an1an20，2an1an0a2a120，2a2a10a14.综上，a14，4，0，32，则 a1的值大于 20 的概率为14.12.设二次函数 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数)的导函数为 f(x)对任意 xR，不等式 f(x)f(x)恒成立，则b2a2c2的最大值为_ 答案：2 22 解析：f(x)ax2bxc，f(x)2axb.对任意 xR，不等式 f(x)f(x)恒成立，ax2bxc2axb 恒成立，即 ax2(b2a)x(cb)0 恒成立，故(b2a)24a(cb)b24a24ac0，且 a0，即 b24ac4a2，故b2a2c24ac4a2a2c24ca41ca2 4ca1ca122ca1 24ca1 2ca12 42 222 22.13.在ABC 中，内角A、B、C 所对边长分别为 a、b、c，ABAC8，BAC，a4.(1)求 bc 的最大值及 的取值范围；(2)求函数 f()2 3sin24 2cos2 3的最值 解：(1)bccos8，b2c22bccos42，即 b2c232.又 b2c22bc，所以 bc16，即 bc 的最大值为 16.即8cos16，所以 cos12.又 0，所以 03.(2)f()31cos221cos2 3 3sin2cos212sin261.由于 03，所以62656，故12sin261.当 2656，即 3时，f()min21212；当 262，即 6时，f()max2113.14.某生产旅游纪念品的工厂，拟在 2022 年度进行系列促销活动经市场调查和测算，该纪念品的年销售量 x 万件与年促销费用 t 万元之间满足 3x 与 t1 成反比例若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有 1万件已知工厂 2022 年生产纪念品的固定投资为 3 万元，每生产 1 万件纪念品另外需要投资 32 万元当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的 150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等(利润收入生产成本促销费用)(1)求出 x 与 t 所满足的关系式；(2)请把该工厂 2022 年的年利润 y 万元表示成促销费用 t 万元的函数；(3)试问当 2022 年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？解：(1)设比例系数为 k(k0)，由题知 3xkt1.又 t0 时，x1，所以 31k01，所以 k2.所以 x 与 t 的关系是 x32t1(t0)(2)依据题意可知工厂生产 x 万件纪念品的生产成本为(332x)万元，促销费用为 t 万元，则每件纪念品的定价为(332xx150%t2x)元/件 于是，yx332xx150%t2x(332x)t，进一步化简，得 y99232t1t2(t0)因此，工厂 2022 年的年利润 y99232t1t2(t0)(3)由(2)知，y99232t1t2(t0)5032t1t1250232t1t1242，当且仅当t1232t1，即 t7 时，取等号 所以，当 2022 年的促销费用投入 7 万元时，工厂的年利润最大，最大利润为 42 万元 15.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为 A、B，离心率为12，右准线为 l：x4.M 为椭圆上不同于 A、B 的一点，直线 AM 与直线 l 交于点 P.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若AMMP，推断点 B 是否在以 PM 为直径的圆上，并说明理由；(3)连结 PB 并延长交椭圆 C 于点 N.若直线 MN 垂直于 x 轴，求点 M 的坐标 解：(1)由ca12，a2c4，解得a2，c1.所以 b23.所以椭圆方程为x24y231.(2)由于AMMP，所以 xM1，代入椭圆得 yM32，即 M1，32.所以直线 AM 的方程为 y12(x2)，解得 P(4，3)所以BM1，32，BP(2，3)由于BMBP520，所以点 B 不在以 PM 为直径的圆上(3)由于 MN 垂直于 x 轴，由椭圆对称性可设 M(x1，y1)，N(x1，y1)直线 AM 的方程为 yy1x12(x2)，所以 yP6y1x12，直线 BN 的方程为 yy1x12(x2)，所以 yP2y1x12，所以6y1x122y1x12.由于 y10，所以6x122x12，解得 x11.所以点 M 的坐标为1，32或1，32.16.已知函数 f(x)axbxex，a、bR，且 a0.(1)若 a2，b1，求函数 f(x)的极值；(2)设 g(x)a(x1)exf(x)当 a1 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)1 成立，求 b 的最大值；设 g(x)为 g(x)的导函数若存在 x1，使 g(x)g(x)0 成立，求ba的取值范围 解：(1)当 a2，b1 时，f(x)21xex，定义域为(，0)(0，)所以 f(x)（x1）（2x1）x2ex.令 f(x)0，得 x11，x212，列表如下：x(，1)1(1，0)0，12 12(12，)f(x)0 0 f(x)极大值 微小值 由表知 f(x)的极大值是 f(1)e1，f(x)的微小值是 f124 e.(2)(解法 1)由于 g(x)(axa)exf(x)(axbx2a)ex，当 a1 时，g(x)xbx2 ex.由于 g(x)1 在 x(0，)上恒成立，所以 bx22xxex在 x(0，)上恒成立 记 h(x)x22xxex(x0)，则 h(x)（x1）（2ex1）ex.当 0 x1 时，h(x)0，h(x)在(0，1)上是减函数；当 x1 时，h(x)0，h(x)在(1，)上是增函数 所以 h(x)minh(1)1e1.所以 b 的最大值为1e1.(解法 2)由于 g(x)(axa)exf(x)(axbx2a)ex，当 a1 时，g(x)xbx2 ex.由于 g(x)1 在 x(0，)上恒成立，所以 g(2)b2e20，因此 b0.g(x)1bx2exxbx2 ex（x1）（x2b）exx2.由于 b0，所以当 0 x1 时，g(x)0，g(x)在(0，1)上是减函数；当 x1 时，g(x)0，g(x)在(1，)上是增函数 所以 g(x)ming(1)(1b)e1，由于 g(x)1 在 x(0，)上恒成立，所以(1b)e11，解得 b1e1，因此 b 的最大值为1e1.(解法 1)由于 g(x)axbx2a ex，所以 g(x)bx2axbxa ex.由 g(x)g(x)0，得 axbx2a exbx2axbxa ex0，整理得 2ax33ax22bxb0.存在 x1，使 g(x)g(x)0 成立，等价于存在 x1，使 2ax33ax22bxb0 成立 由于 a0，所以ba2x33x22x1.设 u(x)2x33x22x1(x1)，则 u(x)8xx342316（2x1）2.由于 x1，u(x)0 恒成立，所以 u(x)在(1，)是增函数，所以 u(x)u(1)1，所以ba1，即ba的取值范围为(1，)(解法 2)由于 g(x)axbx2a ex，所以 g(x)bx2axbxa ex.由 g(x)g(x)0，得 axbx2a exbx2axbxa ex0，整理得 2ax33ax22bxb0.存在 x1，使 g(x)g(x)0 成立，等价于存在 x1，使 2ax33ax22bxb0 成立 设 u(x)2ax33ax22bxb(x1)，u(x)6ax26ax2b6ax(x1)2b2b，当 b0 时，u(x)0，此时 u(x)在1，)上单调递增，因此 u(x)u(1)ab.由于存在 x1，2ax33ax22bxb0 成立，所以只要ab0 即可，此时1ba0，当 b0 时，令 x03a9a216ab4a3a 9a24a321，得 u(x0)b0，又 u(1)ab0，于是 u(x)0 在(1，x0)上必有零点，即存在 x1，2ax33ax22bxb0 成立，此时ba0，综上，ba的取值范围为(1，)