【新高考数学专用】专题24利用导数解决双变量问题(原卷版+解析版)-2022年难点解题方法突破.pdf

专题 24 利用导数解决双变量问题 一、单选题 1设函数 311433fxxx，函数 221g xxbx，若对于 11,2x，20,1x，使 12f xg x成立，则实数b的取值范围是（）A7,2 B5,8 C7,2 D5,8 2已知函数1()lnf xxaxx，且()f x有两个极值点12,x x，其中11,2x，则 12f xf x的最小值为（）A3 5ln2 B34ln2 C5 3ln2 D5 5ln2 3已知函数()e,()lnxf xxg xxx，若 12f xg xt，其中0t，则12lntx x的最大值为（）A1e B2e C21e D24e 4设函数 12ln133f xxxx，函数 25212g xxbx，若对于 11,2x，20,1x，使 12f xg x成立，则实数b的取值范围是（）A1,2 B5,8 C1,2 D5,8 5已知函数 224xxf xx，111323xxxxg x，实数a，b满足0ab若1,xa b，21,1x，使得 12f xg x成立，则ba的最大值为（）A3 B4 C5 D2 5 二、解答题 6已知函数 2xf xxe（）求函数 f x的图象在点 0,0f处的切线方程；（）若存在两个不相等的数1x，2x，满足 12f xf x，求证：122ln 2xx 7已知函数 3lnf xxkx kR，fx为 f x的导函数.（1）当6k 时，（i）求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；（ii）求函数 9g xfxfxx的单调区间和极值；（2）当3k 时，求证：对任意的12,1,x x 且12xx，有 1212122fxfxf xf xxx.8已知函数21()ln2f xxax.其中a为常数.（1）若函数()f x在定义域内有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；（2）已知1x，2x是函数()f x的两个不同的零点，求证：122xxe.9已知函数ln()xf xx，()g xaxb，设()()()F xf xg x（1）若1a，求()F x的最大值；（2）若()F x有两个不同的零点1x，2x，求证：12122xxg xx.10已知函数1()lnf xaxxx，其中0a.（1）若 f x在(2,)上存在极值点，求 a的取值范围；（2）设10,1x，2(1,)x，若 21f xf x存在最大值，记为 M a，则当1aee时，M a是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由 11已知函数()ln(1)axf xex，2()lng xxax，其中aR.（1）若函数()yf x的图象与直线yx在第一象限有交点，求a的取值范围.（2）当2a 时，若()yg x有两个零点1x，2x，求证：12432xxe.12已知函数 2211ln24f xxaxxxax.（1）若 fx在0,单调递增，求 a的值；（2）当1344ae时，设函数 fxg xx的最小值为 h a，求函数 h a的值域.13已知函数2()22ln()f xxaxx aR.（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若()f x存在两个极值点1221,x xxx，求证：2121(2)f xf xaxx.14已知函数2()(2)()xf xxea xx aR（1）当1a 时，求函数()f x的单调区间；（2）当1ae时，函数()f x有三个不同的零点1x，2x，3x，求证：1232xxxlna 15已知函数 223xxef xe，其中e为自然对数的底数.（1）证明：f x在,0上单调递减，0,上单调递增；（2）设0a，函数 212coscos3g xxaxa，如果总存在1,xa a，对任意2xR，12f xg x都成立，求实数a的取值范围.16已知函数 21ln 212h xxbx，21ln2f xxax其中a，b为常数（1）若函数 h x在定义域内有且只有一个极值点，求实数b的取值范围；（2）已知1x，2x是函数 f x的两个不同的零点，求证：122xxe 17已知函数 1xxf xaeeax aR，f x既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a的取值范围；（2）当01a时，1x，2x分别为 f x的极大值点和极小值点.且 120f xkf x，求实数k的取值范围.18已知函数 22lnxg xxt tRe有两个零点1x，2x.（1）求实数t的取值范围；（2）求证：212114xxe.19已知函数 1lnf xxx，g xaxb（1）若函数 h xf xg x在0,上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当0b时，若 fx与 g x的图象有两个交点11,A x y，22,B x y，试比较12x x与22e的大小（取 e为 2.8，取ln2为 0.7，取2为 1.4）20已知函数2()(2)ln()f xaxaxx aR（）当0a 时，求证：2()22xf xx（）设232()3g xxx，若1(0,1x，20,1x，使得 12f xg x成立，求实数 a 的取值范围 21设函数22()ln()f xaxxax aR （1）当1a 时，试讨论函数()f x的单调性；（2）设2()2()lnxxaax，记()()()h xf xx，当0a 时，若函数()yh x与函数ym有两个不同交点1(C x，)m，2(D x，)m，设线段的中点为(,)E s m，试问s是否为()0h s的根？说明理由 22已知函数 2ln1f xxax（1）若函数 yf x在区间1,内是单调递增函数，求实数 a的取值范围；（2）若函数 yf x有两个极值点1x，2x，且12xx，求证：2120lnf xxe（注：e为自然对数的底数）23已知函数()lnxf xex（1）当1 时，求函数 f x的单调区间；（2）若0e，函数 f x的最小值为()h，求()h的值域.24已知函数21()ln()2f xxaxx aR.（1）若()f x在定义域单调递增，求 a 的取值范围；（2）设1eea，m，n分别是()f x的极大值和极小值，且Smn，求 S 的取值范围.25已知函数21()(1)ln2f xxaxax.（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）任取3,5a，函数()f x对任意1212,1,3()x xxx，恒有1212|()()|f xf xxx成立，求实数的取值范围.专题 24 利用导数解决双变量问题 一、单选题 1设函数 311433fxxx，函数 221g xxbx，若对于 11,2x，20,1x，使 12f xg x成立，则实数b的取值范围是（）A7,2 B5,8 C7,2 D5,8【答案】A【分析】由题意只需 minminf xg x，对函数 f x求导，判断单调性求出最小值，对函数 g x讨论对称轴和区间 0,1的关系，得到函数最小值，利用 minminf xg x即可得到实数b的取值范围.【详解】若对于 11,2x，20,1x，使 12f xg x成立，只需 minminf xg x，因为 311433fxxx，所以 24fxx，当 1,2x时，0fx，所以 f x在1,2上是减函数，所以函数 f x取得最小值 25f 因为 222211g xxbxxbb ，当0b时，g x在 0,1上单调递增，函数取得最小值 01g，需51，不成立；当1b时，g x在 0,1上单调递减，函数取得最小值 122gb，需522b，解得72b，此时72b；当01b时，g x在0,b上单调递减，在,1b上单调递增，函数取得最小值 21g bb，需251 b ，解得6b 或6b，此时无解；综上，实数b的取值范围是7,2，故选:A 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查二次函数在区间的最值的求法，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题.2已知函数1()lnf xxaxx，且()f x有两个极值点12,x x，其中11,2x，则 12f xf x的最小值为（）A3 5ln2 B34ln2 C5 3ln2 D5 5ln2【答案】A【分析】()f x的两个极值点12,x x是 0fx的两个根，根据韦达定理，确定12,x x的关系，用1x表示出2x，12f xf x用1x表示出，求该函数的最小值即可.【详解】解：()f x的定义域0,，22211()1axaxfxxxx，令()0fx，则210 xax 必有两根12,x x，2121240010axxax x ，所以2111112,axaxxx ，11211111111111lnlnfxfxfxfxaxxaxxxx，1111111111122 ln22lnxaxxxxxxx 11()22ln,1,2h xxxx xxx，22211112(1)(1)ln()2 121lnxxxh xxxxxxxx，当1,2x时，()0h x，()h x递减，所以 min235ln 2h xh 12f xf x的最小值为3 5ln2 故选：A.【点睛】求二元函数的最小值通过二元之间的关系，转化为求一元函数的最小值，同时考查运算求解能力和转化化归的思想方法，中档题.3已知函数()e,()lnxf xxg xxx，若 12f xg xt，其中0t，则12lntx x的最大值为（）A1e B2e C21e D24e【答案】A【分析】由题意转化条件2ln2lnxext，通过导数判断函数 f x的单调性，以及画出函数的图象，数形结合可知12lnxx，进而可得12lnlnttx xt，最后通过设函数 ln0th ttt，利用导数求函数的最大值.【详解】由题意，11exxt，22lnxxt，则2ln2elnxxt，1xxxfxexex e，当,1x 时，0fx，f x单调递减，当1,x 时，0fx，f x单调递增，又,0 x 时，0f x，0,x时，0f x，作函数 exf xx的图象如下：由图可知，当0t 时，()f xt有唯一解，故12lnxx，且10 x，1222lnlnlnlntttxxxxt，设ln()th tt，0t，则21 ln()th tt，令()0h t，解得et，易得当0,et时，()0h t，函数()h t单调递增，当e,t时，()0h t，函数()h t单调递减，故 1eeh th，即12lntxx的最大值为1e.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，重点考查转化与化归的思想，变形计算能力，数形结合思想，属于中档题，本题可得关键是判断12lnxx.4设函数 12ln133f xxxx，函数 25212g xxbx，若对于 11,2x，20,1x，使 12f xg x成立，则实数b的取值范围是（）A1,2 B5,8 C1,2 D5,8【答案】A【分析】根据对于 11,2x，20,1x，使 12f xg x成立，用导数法求得 f x的最小值，用二次函数的性质求得 g x的最小值，再解不等式即可.【详解】因为 12ln133f xxxx，所以 211233fxxx，211233xx，22323 xxx，2123 xxx，当12x时，0fx，所以 f x在1,2上是增函数，所以函数 f x取得最小值 213f.因为 2225521212g xxbxxbb，当0b时，g x取得最小值 0251 g，因为对于 11,2x，20,1x，使 12f xg x成立，所以 10fg，不成立；当1b时，g x取得最小值 71212gb，因为对于 11,2x，20,1x，使 12f xg x成立，所以722123 b，解得58b，此时1b；当01b时，g x取得最小值 2512 g bb，因为对于 11,2x，20,1x，使 12f xg x成立，所以221352 b，解得12b，此时112b；综上：实数b的取值范围是1,2.故选：A【点睛】本题主要考查双变量问题以及导数与函数的最值，二次函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.5已知函数 224xxf xx，111323xxxxg x，实数a，b满足0ab若1,xa b，21,1x，使得 12f xg x成立，则ba的最大值为（）A3 B4 C5 D2 5【答案】A【分析】首先化简函数 42,0fxxxx ，和 11233xxg x，1,1x，并判断函数的单调性，由条件转化为子集关系，从而确定,a b值.【详解】42fxxx ，0 x 241fxx ，0 x，当 0fx时，解得：20 x，当 0fx时，解得：2x ，所以 f x在,0的单调递增区间是2,0，单调递减区间是,2，当2x 时取得最小值，22f 11233xxg x，函数在1,1单调递增，3116g ，13g，所以，3136g x，令 3f x，解得：1x 或4x，由条件可知,0f xxa b ab的值域是,1,1g xx 值域的子集，所以b的最大值是1，a的最小值是4，故ba的最大值是3.故选：A【点睛】本题考查函数的性质的综合应用，以及双变量问题转化为子集问题求参数的取值范围，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.二、解答题 6已知函数 2xf xxe （）求函数 f x的图象在点 0,0f处的切线方程；（）若存在两个不相等的数1x，2x，满足 12f xf x，求证：122ln 2xx【答案】（）1yx；（）证明见解析.【分析】（）首先求函数的导数，利用导数的几何意义，求函数的图象在点 0,0f处的切线方程；（）首先确定函数零点的区间，构造函数 ln2ln2F xfxfx，利用导数判断函数 F x的单调性，并得到ln2ln2fxfx在0,上恒成立，并利用单调性，变形得到122ln 2xx.【详解】（）2exfx，所以 f x的图象在点 0,0f处的切线方程为1yx（）令 2e0 xfx，解得ln2x，当ln2x 时 0fx，f x在,ln2 上单调递增；当ln2x 时，0fx，f x在ln2,上单调递减 所以ln2x 为 f x的极大值点，不妨设12xx，由题可知12ln2xx 令 ln2ln242e2exxF xfxfxx，42e2exxFx，因为ee2xx，所以 0Fx，所以 F x单调递减 又 00F，所以 0F x 在0,上恒成立，即ln2ln2fxfx在0,上恒成立 所以 12222ln2ln2ln2ln22ln2f xf xfxfxfx，因为1ln2x，22ln2ln2x，又 f x在,ln2上单调递增，所以122ln2xx，所以122ln 2xx 【点睛】思路点睛：本题是典型的极值点偏移问题，需先分析出原函数的极值点，找到两个根的大致取值范围，再将其中一个根进行对称的转化变形，使得x与ln2x在同一个单调区间内，进而利用函数的单调性分析.7已知函数 3lnf xxkx kR，fx为 f x的导函数.（1）当6k 时，（i）求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；（ii）求函数 9g xfxfxx的单调区间和极值；（2）当3k 时，求证：对任意的12,1,x x 且12xx，有 1212122fxfxf xf xxx.【答案】（1）（i）98yx；（ii）递减区间为0,1，递增区间为1,；极小值为 11g，无极大值；（2）证明见解析.【分析】（1）（i）确定函数 f x，求出 fx，然后利用导数的几何意义求出切线方程即可；（ii）确定函数 g x，求出 g x，利用导数研究函数 g x的单调性与极值即可；（2）求出 fx，对要证得不等式进行等价转换后，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，结合等价转换后的结果即可证明结论成立.【详解】（1）（i）当6k 时，36lnf xxx，故 263fxxx.可得 11f，19f，所以曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为191yx，即98yx.（ii）依题意，323()36lng xxxxx，0,x，从而求导可得2263()36g xxxxx，整理可得323(1)(1)()xxg xx.令 0g x，解得1x.当x变化时，g x，g x的变化情况如下表：x 0,1 1 1,g x 0+g x 极小值 所以，函数 g x的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,；g x的极小值为 11g，无极大值.（2）证明：由 3lnf xxkx，得 23kfxxx.对任意的12,1,x x，且12xx，令12(1)xt tx，则 1212122xxfxfxf xf x 22331121212122332lnxkkxxxxxxkxxx 3322121121212212332 lnxxxxxx xx xkkxxx 332213312lnxtttk ttt.令1()2lnh xxxx，1,x.当1x 时，22121()110h xxxx，由此可得 h x在1,单调递增，所以当1t 时，1h th，即12ln0ttt，因为21x，323331(1)0tttt，3k，所以332322113312ln33132lnxtttk ttttttttt 32336ln1tttt.由（1）（ii）可知，当1t 时，1g tg，即32336ln1tttt，故32336ln10tttt.由可得 12121220 xxfxfxf xf x.所以，当3k 时，对任意的12,1,x x，且12xx，有 1212122fxfxf xf xxx.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数,yf xxa b，,yg xxc d（1）若1,xa b，2,xc d，总有 12f xg x成立，故 2maxminf xg x；（2）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x成立，故 2maxmaxf xg x；（3）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x成立，故 2minminf xg x；（4）若1,xa b，2,xc d，有 12f xg x，则 f x的值域是 g x值域的子集.8已知函数21()ln2f xxax.其中a为常数.（1）若函数()f x在定义域内有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；（2）已知1x，2x是函数()f x的两个不同的零点，求证：122xxe.【答案】（1）0a；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数()fx，分类讨论确定()fx的正负，得()f x的单调性，从而得极值点个数，由此可得结论；（2）结合（1）求得函数有两个零点时a的范围，设12xx，则10,xa，2,xa，引入函数 0g xfaxfaxxa，由导数确定它是减函数，得()()faxfax，然后利用 211112f xf xfaaxfaaxfax，再结合()f x的单调性得出证明【详解】（1）2(0)axaxxxxfx，当0a 时，0fx，f x在0,上单调递增，不符合题意，当0a 时，令 0fx，得xa，当0,xa时，0fx，f x单调递减，当,xa时，0fx，f x单调递增，所以此时()f x只有一个极值点 0a （2）由（1）知 当0a 时，()0fx，()f x在(0,)上单调递增，函数()f x至多有一个零点，不符合题意，当0a 时，令()0fx，得xa，当(0,)xa时，()0fx，()f x单调递减，当,xa时，0fx，f x单调递增，故当xa时，函数 f x取得最小值 1 ln2afaa，当0ae时，1 ln0a，0fa，函数 f x无零点，不合题意，当ae时，1 ln0a，0fa，函数 f x仅有一个零点，不合题意，当ae时，1 ln0a，0fa，又 1102f，所以 f x在0,xa上只有一个零点，令 ln1p xxx，则 11p xx，故当01x时，0p x，p x单调递增，当1x 时，0p x，p x单调递减，所以 10p xp，即ln1xx，所以ln221aa，所以22(2)2ln22(21)0faaaaaaaa，又2aa，所以 f x在,xa上只有一个零点.所以ae满足题意.不妨设12xx，则10,xa，2,xa，令 0g xfaxfaxxa，则 2lnlng xaxaaxaax，2222aaaxaxaaxxagx，当0 xa时，0gx，所以 g x在0,a上单调递减，所以当0,xa时，00g xg，即faxfax，因为10,xa，所以10,axa，所以 211112f xf xfaaxfaaxfax，又2,xa，12,axa，且 f x在,a 上单调递增，所以212xax，故1222xxae得证.【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的极值点、零点，证明不等式难点是不等式的证明，首先由零点个数得出参数范围，在不妨设12xx，则10,xa，2,xa后关键是引入函数 0g xfaxfaxxa，同样用导数得出它的单调性，目的是证得faxfax，然后利用这个不等关系变形()f x的单调性得结论 9已知函数ln()xf xx，()g xaxb，设()()()F xf xg x（1）若1a，求()F x的最大值；（2）若()F x有两个不同的零点1x，2x，求证：12122xxg xx.【答案】（1）最大值为1 b；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求出函数的导函数，再判断()F x的符号，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（2）由题知，121212lnlnxxaxbaxbxx，即2111ln xaxbx，2222ln xaxbx，要证 12122xxg xx，即可212112lnln2xxxxxx，令21xtx，则只需证2(1)ln(1)1tttt构造函数2(1)()ln(1)1ttttt，利用导数说明其单调性即可得证；【详解】解：ln()()()xF xf xg xaxbx（1）解：当1a 时，ln()xF xxbx 所以21ln()1xF xx 注意(1)0F，且当01x时，()0F x，()F x单调递增；当1x 时，()0F x，()F x单调递增减 所以()F x的最大值为(1)1Fb （2）证明：由题知，121212lnlnxxaxbaxbxx，即2111ln xaxbx，2222ln xaxbx，可得212121lnln()()xxxxa xxb 121212122()()2()xx g xxa xxbxx212112lnln2xxxxxx 不妨120 xx，则上式进一步等价于2211212()lnxxxxxx 令21xtx，则只需证2(1)ln(1)1tttt 设2(1)()ln(1)1ttttt，22(1)()0(1)ttt t，所以()t在(1+)，上单调递增，从而()(1)0t，即2(1)ln(1)1tttt，故原不等式得证【点睛】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想 对数学思维的要求比较高，有一定的探索性综合性强，属于难题 10已知函数1()lnf xaxxx，其中0a.（1）若 f x在(2,)上存在极值点，求 a的取值范围；（2）设10,1x，2(1,)x，若 21f xf x存在最大值，记为 M a，则当1aee时，M a是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1）5(2a，)；（2）M（a）存在最大值，且最大值为4e【分析】（1）求出函数()f x的导数，将题意转换为1axx在(2,)x上有解，由1yxx在(2,)x上递增，得15(2xx，)，求出a的范围即可；（2）求出函数()f x的导数，得到21()()()()maxf xf xf nf m，求出M（a）11()()()()nf nf malnmnmnm，根据函数的单调性求出M（a）的最大值即可【详解】解：（1）2221(1)()1axaxfxxxx，(0,)x，由题意得，210 xax 在(2,)x上有根（不为重根），即1axx在(2,)x上有解，由1yxx在(2,)x上递增，得15(2xx，)，检验，52a 时，()f x在(2,)x上存在极值点，5(2a，)；（2）210 xax 中2=a4，若02a，即2=a4022(1)()xaxfxx 在(0,)上满足()0fx，()f x在(0,)上递减，12xx 12f xf x 21()()0f xf x，21()()f xf x不存在最大值，则2a；方程210 xax 有 2个不相等的正实数根，令其为m，n，且不妨设01mn，则01mnamn，()f x在(0,)m递减，在(,)m n递增，在(,)n 递减，对任意1(0,1)x，有1()()f xf m，对任意2(1,)x，有2()()f xf n，21()()()()maxf xf xf nf m，M（a）11()()()()nf nf malnmnmnm，将1amnnn，1mn代入上式，消去a，m得：M（a）112()()n lnnnnn，12a ee，11n ene，1n，由1yxx在(1,)x递增，得(1n，e，设11()2()2()h xx lnxxxx，(1x，e，21()2(1)h xlnxx，(1x，e，()0h x，即()h x在(1，e递增，()maxh xh（e）4e，M（a）存在最大值为4e【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题 11已知函数()ln(1)axf xex，2()lng xxax，其中aR.（1）若函数()yf x的图象与直线yx在第一象限有交点，求a的取值范围.（2）当2a 时，若()yg x有两个零点1x，2x，求证：12432xxe.【答案】（1）1(0,)2；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意设()()(1)lnaxg xf xxexx，问题转化为方程()0g x，在(0,)有解，求导，分类讨论若0a，若102a，若12a时，分析单调性，进而得出结论.（2）运用分析法和构造函数法，结合函数的单调性，不等式的性质，即可得证.【详解】解：（1）设()()(1)lnaxg xf xxexx，则由题设知，方程()0g x，在(0,)有解，而1()()1 ln(1)1()11axaxg xfxeaxe F xx .设()()1axh xe F x，则22221()()()(1)(n1)laxaxaxah xeaF xF xeaxx.若0a，由0 x 可知01axe，且11()ln(1)111F xaxxx，从而()()10axg xe F x，即()g x在(0,)上单调递减，从而()(0)0g xg恒成立，因而方程()0g x 在(0,)上无解.若102a，则221(0)0(1)ahx，又x时，()h x，因此()0h x，在(0,)上必存在实根，设最小的正实根为0 x，由函数的连续性可知，0(0,)xx上恒有()0h x，即()h x在0(0,)x上单调递减，也即()0g x，在0(0,)x上单调递减，从而在0(0,)x上恒有()(0)0g xg，因而()g x在0(0,)x上单调递减，故在0(0,)x上恒有()(0)0g xg，即0()0g x，注意到axeax，因此()(1)ln(1)ln ln(1)1axg xexxaxxxx ax，令1axe时，则有()0g x，由零点的存在性定理可知函数()yg x在0(x，1)ae上有零点，符合题意.若12a时，则由0 x 可知，()0h x恒成立，从而()h x在(0,)上单调递增，也即()g x在(0,)上单调递增，从而()(0)0g xg恒成立，故方程()0g x 在(0,)上无解.综上可知，a的取值范围是1(0,)2.（2）因为()f x有两个零点，所以f（2）0，即2 1012lnaaln ，设1202xx，则要证121244xxxx，因为1244x，22x，又因为()f x在(2,)上单调递增，所以只要证明121(4)()()0fxf xf x，设()()(4)g xf xfx(02)x，则222222428(2)()()(4)0(4)(4)xxxg xfxfxxxxx，所以()g x在(0,2)上单调递减，()g xg（2）0，所以124xx，因为()f x有两个零点，1x，2x，所以12()()0f xf x，方程()0f x 即2ln0axxx 构造函数()2lnh xaxxx，则12()()0h xh x，()1lnh xax，1()0ah xxe，记12(1ln2)apea，则()h x在(0,)p上单调递增，在(,)p 上单调递减，所以()0h p，且12xpx，设2()()lnlnxpR xxpxp，22214()()0()()pxpR xxxpx xp，所以()R x递增，当xp时，()()0R xR p，当0 xp时，()()0R xR p，所以11111112(2ln)x xpaxx lnxxpxp，即22111111(2)()22llnnaxxpxpxxpx pp，211(2ln)(22ln)20pa xapppp xp，1(ape，1)lnpa，所以21111(23)20aaxexe，同理21122(23)20aaxexe，所以2112111111(23)2(23)2aaaaxexexexe，所以12121()(23)0axxxxe，所以12123axxe ，由2a 得：1122332axxee ，综上：12432xxe.【点睛】本题考查导数的综合应用，不等式的证明，关键是运用分类讨论，构造函数的思想去解决问题，属于难题.12已知函数 2211ln24f xxaxxxax.（1）若 fx在0,单调递增，求 a的值；（2）当1344ae时，设函数 fxg xx的最小值为 h a，求函数 h a的值域.【答案】（1）1；（2）0,4e.【分析】（1）由 fx在0,单调递增，利用导数知0fx在0,上恒成立即可求参数 a 的值；（2）由 fxg xx有 11ln24g xxaxxa，利用二阶导数可知 g x在0,上单调递增，进而可知01,xe，使得 00gx，则有 g x的单调性得最小值 000011ln24g xxaxxah a，结合1344ae并构造函数可求0 x取值范围，进而利用导数研究 000031lnln42h axxxx的单调性即可求范围；【详解】（1）lnfxxax，又 fx在0,单调递增，0fx，即ln0 xax在0,上恒成立，（i）当1x 时，ln0 x，则需0 xa，故minax，即1a；（ii）当1x 时，ln0 x，则aR；（iii）当01x时，ln0 x，则需0 xa，故maxax，即1a；综上所述：1a；（2）11ln24fxg xxaxxax，11ln24agxxx，212agxxx，1344ae，有 0gx，g x在0,上单调递增，又 1104ga ，304ag ee，01,xe，使得 00gx，当00,xx时，0gx，函数 g x单调递减，当0,xx时，0gx，函数 g x单调递增，故 g x的最小值为 000011ln24g xxaxxah a，由 00gx得00011ln24axxx，因此 000031lnln42h axxxx，令 11ln24t xxxx，1,xe，则 13ln024txx，t x在1,e上单调递增，又1344ae，114t，34t ee，0 x取值范围为1,e，令 31lnln42xxxxx（1xe），则 21131lnln2ln3ln102444xxxxx ，函数 x在1,e上单调递增，又 10，4ee，04ex，即函数 h a的值域为0,4e.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数，由原函数得到最值，构造中间函数并根据其导数讨论单调性，求最值的取值范围；中间函数需要根据步骤中的研究对象及目的确定；13已知函数2()22ln()f xxaxx aR.（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若()f x存在两个极值点1221,x xxx，求证：2121(2)f xf xaxx.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求出导函数，根据二次函数的与0的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；（2）由1212,x xxx是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将 21f xf x转变为关于12xx，函数，再运用12xx，的关系将不等式转化为证22212ln0 xxx，构造函数1()2ln(1)g xxx xx，分析函数()g x的单调性，得出最值，不等式可得证.【详解】（1）解：函数 f x的定义域为(0,)，2212()22xaxfxxaxx，则24a.当0a 时，对(0,),()0 xfx，所以函数()f x在(0,)上单调递增；当02a时，0，所以对(0,),()0 xfx，所以函数()f x在(0,)上单调递增；当2a 时，令()0fx，得2402aax或242aax，所以函数()f x在240,2aa，24,2aa上单调递增；令()0fx，得224422aaaax，所以()f x在2244,22aaaa上单调递减.（2）证明：由（1）知2a 且1212,1,xxax x，所以1201xx.又由 222122211122ln22lnfxfxxaxxxaxx 22222222221212121212111122ln22ln2lnxxxxxa xxxxxxxxxxxxx.又因为 222121212121212121(2)222axxxxa xxxxxxxxxxxx.所以要证 2121(2)f xf xaxx，只需证22112ln2xxxx.因为121x x，所以只需证22221ln xxx，即证22212ln0 xxx.令1()2ln(1)g xxx xx，则22121()110g xxxx，所以函数()g x在(1,)上单调递增，所以对1,()(1)0 xg xg.所以22212ln0 xxx.所以若()f x存在两个极值点1221,x xxx，则 2121(2)f xf xaxx.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，属于较难题.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子，然后通过构造新函数，分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的.14已知函数2()(2)()xf xxea xx aR（1）当1a 时，求函数()f x的单调区间；（2）当1ae时，函数()f x有三个不同的零点1x，2x，3x，求证：1232xxxlna【答案】（1）增区间为(,1)，(2,)ln；减区间为(1,2)ln；（2）证明见解析.【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数零点，由导函数零点对定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号得到原函数的单调区间；（2）由(0)0f，可得0 x 是函数的一个零点，不妨设30 x，把问题转化为证122xxlna，即证122xxae由()0f x，得(2)0 xea x，结合1x，2x是方程(2)0 xea x的两个实根，得到1212xxeeaxx，代入122xxae，只需证1212212xxxxeeexx，不妨设12xx转化为证1212212()10 xxxxexx e 设122xxt，则等价于2210(0)ttetet 设2()21(0)ttg tetet，利用导数证明()0g t 即 可【详解】（1）解：()(22)(1)(2)xxxfxexexxe，令()0fx，得11x ，22xln 当1x 或n2xl时，()0fx；当12xln 时，()0fx()f x增区间为(,1)，(2,)ln；减区间为(1,2)ln；（2）证明：(0)0f，0 x是函数的一个零点，不妨设30 x，则要证122xxlna，只需证122xxae 由()0f x，得(2)0 xea x，1x，2x是方程(2)0 xea x的两个实根，11(2)xea x，22(2)xea x，得：1212xxeeaxx，代入122xxae，只需证1212212xxxxeeexx，不妨设12xx 120 xx，只需证1212212()xxxxeexx e 20 xe，只需证1212212()10 xxxxexx e 设122xxt，则等价于2210(0)ttetet 设2()21(0)ttg tetet，只需证()0g t，又