高一数学：函数性质的综合问题(导学案含答案).pdf

第四节 函数性质的综合问题 考点一 函数的单调性与奇偶性 典例 (1)函数 f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是()A B C D(2)函数 yf(x)在上单调递增，且函数 f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是()Af(1)f52f72 Bf72f(1)f52 Cf72f52f(1)Df52f(1)f72 解析 (1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得 f(1)f(x2)f(1)又 f(x)在(，)上单调递减，1x21，1x3.(2)函数 yf(x)在上单调递增，且函数 f(x2)是偶函数，函数 yf(x)在上单调递减，且在上函数 yf(x)满足 f(2x)f(2x)，f(1)f(3)，f72f(3)f52，即 f72f(1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响 题组训练 1已知函数 f(x)满足以下两个条件：任意 x1，x2(0，)且 x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0；对定义域内任意 x 有 f(x)f(x)0，则符合条件的函数是()Af(x)2x Bf(x)1|x|Cf(x)x3 Df(x)ln(x23)解析：选 C 由条件可知，f(x)在(0，)上单调递减，则可排除 A、D 选项，由条件可知，f(x)为奇函数，则可排除 B 选项，故选 C.2设 f(x)是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 f(x1)f(3)的解集为()A B C D 解析：选 B 因为 f(x)是定义在 上的偶函数，所以有2b3b0，解得 b3，由函数 f(x)在 上为增函数，得 f(x)在(0,6上为减函数，故 f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4.考点二 函数的周期性与奇偶性 典例 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4)f(x2)若当 x 时，f(x)6x，则 f(919)_.解析 f(x4)f(x2)，f(x6)f(x)，f(x)的周期为 6，91915361，f(919)f(1)又 f(x)为偶函数，f(919)f(1)f(1)6.答案 6 解题技法 已知 f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解 题组训练 1 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)fx32，且 f(1)2，则 f(2 018)_.解析：因为 f(x)fx32，所以 f(x3)fx3232fx32f(x)所以 f(x)是以 3 为周期的周期函数 则 f(2 018)f(67232)f(2)f(1)f(1)2.答案：2 2已知 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)2a3，则实数 a 的取值范围为_ 解析：f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)2a31，即 a0 B减函数且 f(x)0 D增函数且 f(x)0 答案 (1)C(2)D 解题技法 (1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一 特别注意“奇函数若在 x0 处有定义，则一定有 f(0)0；偶函数一定有 f(|x|)f(x)”在解题中的应用(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解 题组训练 1定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且在0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A0f(1)f(3)Bf(3)0f(1)Cf(1)0f(3)Df(3)f(1)0 解析：选 C 2已知函数 yf(x)的定义域为 R，且满足下列三个条件：对任意的 x1，x2，当 x10 恒成立；f(x4)f(x)；yf(x4)是偶函数 若 af(6)，bf(11)，cf(17)，则 a，b，c 的大小关系正确的是()Aabc Bbac Cacb Dcba 解析：选 B 由知函数 f(x)在区间上单调递增由知 f(x8)f(x4)f(x)，所以函数 f(x)的周期为 8，所以 bf(11)f(3)，cf(17)f(281)f(1)由可知 f(x)的图象关于直线 x4 对称，所以 bf(11)f(3)f(5)，cf(1)f(7)因为函数 f(x)在区间上单调递增，所以 f(5)f(6)f(7)，即 bac.课时跟踪检测 A 级 1下列函数中，既是奇函数又在(0，)上单调递增的是()Ayexex Byln(|x|1)Cysin x|x|Dyx1x 解析：选 D 选项 A，B 显然是偶函数，排除；选项 C 是奇函数，但在(0，)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，yx1x是奇函数，且yx和y1x在(0，)上均为增函数，故 yx1x在(0，)上为增函数，所以选项 D 正确 2下列函数中，与函数 y12x2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是()Aycos x Byx13 Cy1x Dy x2，x0，x2，x0 解析：选 D 函数 y12x2x为奇函数，且在 R 上单调递减函数 ycos x是偶函数，且在 R 上不单调函数 yx13是奇函数，但在 R 上单调递增函数 y1x的定义域是x|x0，不是 R.画出函数 y x2，x0，x2，x0的大致图象如图所示，可知该函数是奇函数，且在 R 上单调递减故选 D.3已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有 fx52f(x)0，当54x0 时，f(x)2xa，则f(16)的值为()A.12 B12 C.32 D32 解析：选 A 4已知函数 f(x)是奇函数，在(0，)上是减函数，且在区间，(ab2的解集为()A(2，)B.0，12(2，)C.0，22(2，)D(2，)解析：选 B 因为 f(x)是 R 上的偶函数，且在(，0上是减函数，所以 f(x)在0，)上是增函数，所以 f(log2x)2f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1 或 log2x2 或 0 x12.6定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且在上是减函数，则有()Af32f14f14 Bf14f14f32 Cf32f14f14 Df14f32f14 解析：选 C 因为 f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(x)，所以函数的周期为 4，作出 f(x)的草图，如图，由图可知 f32f140 的解集为_ 解析：由奇函数 yf(x)在(0，)内单调递增，且 f120，可知函数 yf(x)在(，0)内单调递增，且 f120.由 f(x)0，可得 x12或12x0.答案：x 12x12 10已知函数 f(x)为偶函数，且函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 yx 对称，若 g(3)2，则 f(2)_.解析：因为函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 yx 对称，且 g(3)2，所以 f(2)3.因为函数 f(x)为偶函数，所以 f(2)f(2)3.答案：3 11 设 f(x)是定义域为 R 的周期函数，最小正周期为 2，且 f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)试求出函数 f(x)在区间 上的表达式 解：(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又 f(x2)f(x)，f(x)f(x)又 f(x)的定义域为 R，f(x)是偶函数(2)当 x时，x，则 f(x)f(x)x；从而当 1x2 时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故 f(x)x，x1，0，x，x0，1，x2，x1，2.12设函数 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x.(1)求 f()的值；(2)当4x4 时，求函数 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积 解：(1)由 f(x2)f(x)得，f(x4)f f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由 f(x)是奇函数且 f(x2)f(x)，得 f f(x1)f ，即 f(1x)f(1x)故函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称 又当 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示 当4x4 时，设 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4SOAB41221 4.B 级 1已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x)在(0，)上单调递增，则()Af(0)f(log32)f(log23)Bf(log32)f(0)f(log23)Cf(log23)f(log32)f(0)Df(log23)f(0)f(log32)解析：选 C log23log221log33log320，且函数 f(x)在(0，)上单调递增，f(log23)f(log32)f(0)，又函数 f(x)为偶函数，f(log23)f(log23)，f(log23)f(log32)f(0)2定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2)0，且 f(4x)f(x)现有以下三种叙述：8 是函数 f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线 x2 对称；f(x)是偶函数 其中正确的序号是_ 解析：由 f(x)f(x2)0，得 f(x2)f(x)，则 f(x4)f(x2)f(x)，即 4 是 f(x)的一个周期，8 也是 f(x)的一个周期，故正确；由 f(4x)f(x)，得 f(x)的图象关于直线 x2 对称，故正确；由 f(4x)f(x)与 f(x4)f(x)，得 f(4x)f(x)，f(x)f(x)，即函数 f(x)为偶函数，故正确 答案：3 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x1 对称，对任意 x1，x20，12，都有 f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)设 f(1)2，求 f12，f14；(2)证明：f(x)是周期函数 解：(1)由 f(x1x2)f(x1)f(x2)，x1，x20，12，知 f(x)fx2fx20，x f(1)f1212f12f12f122，f(1)2，f12212.f12f1414f14f14f142，f12212，f14214.(2)证明：依题设，yf(x)关于直线 x1 对称，f(x)f(2x)又f(x)f(x)，f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，f(x)是定义在 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期