高中数学：抛物线导学案.pdf
第 12 讲 抛物线 玩前必备 1抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(点 F 不在直线 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线.当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线.2抛物线的标准方程和几何性质 焦点在 x 轴上时，方程的右端为2px，左端为 y2；焦点在 y 轴上时，方程的右端为2py，左端为 x2.标准 y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离)焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为p2.图形 顶点 O(0,0)对称轴 x 轴 y 轴 焦点 Fp2，0 Fp2，0 F0，p2 F0，p2 离心率 e1 准线方程 xp2 xp2 yp2 yp2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0p2|PF|x0p2|PF|y0p2|PF|y0p2 常用结论 与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，为弦 AB 的倾斜角则(1)x1x2p24，y1y2p2.(2)|AF|p1cos，|BF|p1cos.(3)弦长|AB|x1x2p2psin2.(4)1|AF|1|BF|2p.(5)以弦 AB 为直径的圆与准线相切 玩转典例 题型一 抛物线的定义 例 1(1)若抛物线 y24x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则OFP 的面积为()A.12 B1 C.32 D2(2)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_ 例 2（天津河西.高二期末）已知抛物线2:8C xy的焦点为F，O为原点，点P是抛物线C的准线上的一动点，点A在抛物线C上，且4AF，则PAPO的最小值为（）A4 2 B2 13 C3 13 D4 6 玩转跟踪 1（全国高二课时练习）若抛物线216xy上一点00,x y到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则0y（）A12 B2 C1 D2 2（全国高二课时练习）已知点M是抛物线24xy上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：22(1)(4)1xy上一动点，则|MAMF的最小值为（）A3 B4 C5 D6 3.（全国高二课时练习）已知抛物线24,yx上一点 P 到准线的距离为1d，到直线l:43110 xy为2d，则12dd的最小值为（）A3 B4 C5 D7 题型二 抛物线方程和性质 例 3(1)(全国卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x23py2p1 的一个焦点，则 p()A2 B3 C4 D8(2)(武汉调研)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A，B，交其准线于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|6，则此抛物线方程为()Ay29x By26x Cy23x Dy2 3x 玩转跟踪 1已知抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，若FPM 为边长是 4 的等边三角形，则此抛物线的方程为_ 2（全国高二课时练习）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F,点M在C上,5MF,若以MF为直径的圆过点,则C的方程为（）A24yx或28yx B22yx或28yx C24yx或216yx D22yx或216yx 题型三 直线和抛物线位置关系 例 4(全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P.(1)若|AF|BF|4，求 l 的方程；(2)若 AP 3 PB，求|AB|.玩转跟踪 1（安徽高二期末）已知直线(2)(0)yk xk与抛物线2:8Cyx相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若2FAFB,则 k=()A13 B23 C23 D2 23 2.已知直线1ykx与抛物线28xy相切，则双曲线2221xk y的离心率为（）A5 B3 C2 D32 3.（四川南充.高二期末）已知过点 M（1，0）的直线 AB 与抛物线 y2=2x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 OA，OB 的斜率之和为 1，则直线 AB 方程为_ 题型四 抛物线二级结论 例 5 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A4 B.92 C5 D6 例 6 设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为()A.3 34 B.9 38 C.6332 D.94 例 7 如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若 F 是 AC的中点，且|AF|4，则线段 AB 的长为()A5 B6 C.163 D.203 玩转跟踪 1（四川双流.棠湖中学）已知直线280 xmy经过抛物线24xy的焦点，与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（）A17 B172 C4 D1 2（江西赣州.高二月考（理）抛物线2:(0)C yaxa的焦点F是双曲线22221yx的一个焦点，过F且倾斜角为60的直线l交C于,A B，则|AB（）A4 323 B4 32 C163 D16 3（陕西汉台。高二期末（理）已知点A，B是抛物线C：24yx上的两点，且线段AB过抛物线C的焦点F，若AB的中点到y轴的距离为 2，则AB（）A2 B4 C6 D8 题型五 抛物线大题 例 8（临泽县第一中学高二期末（文）已知抛物线C：22(0)ypx p，过其焦点F作斜率为 1 的直线交抛物线C于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为 4.（1）求抛物线C的标准方程；（2）若不过原点O且斜率存在的直线l与抛物线C相交于D、E两点，且ODOE.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.玩转跟踪 1.（广西崇左.高二期末（理）如图，已知点 F 为抛物线 C：22ypx（0p）的焦点，过点 F 的动直线l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，且当直线 l 的倾斜角为 45时，16MN.（1）求抛物线 C 的方程.（2）试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.2（陕西新城.西安中学高二月考（文）已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F 和椭圆22143xy的右焦点重合,直线 过点 F 交抛物线于 A、B 两点.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 交 y 轴于点 M,且,MAmAF MBnBF,m、n 是实数,对于直线,m+n 是否为定值?若是,求出 m+n 的值；否则,说明理由.玩转练习 1若抛物线 y28x 上一点 P 到其焦点的距离为 10，则点 P 的坐标为()A(8,8)B(8，8)C(8，8)D(8，8)2 已知 F 为抛物线 C：y26x 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AF|3|BF|，则|AB|()A6 B8 C10 D12 3 已知抛物线 C：y22x，过原点作两条互相垂直的直线分别交 C 于 A，B 两点(A，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离的最大值为()A2 B3 C.32 D4 4已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l 过焦点 F 与抛物线 C 分别交于 A，B 两点，且直线 l 不与 x 轴垂直，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 T(5,0)，则 SAOB()A2 2 B.3 C.6 D3 6 5(多选)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5.若以 MF 为直径的圆过点 A(0,2)，则 C 的方程为()Ay24x By28x Cy22x Dy216x 6(多选)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线的斜率为 3且经过点 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点 D，若|AF|4，则以下结论正确的是()Ap2 BF 为 AD 中点 C|BD|2|BF|D|BF|2 7(多选)如图，已知椭圆 C1：x24y21，过抛物线 C2：x24y 焦点 F 的直线交抛物线于 M，N 两点，连接 NO，MO 并延长分别交 C1于 A，B 两点，连接 AB，OMN与OAB 的面积分别记为 SOMN，SOAB，则在下列命题中，正确的为()A若记直线 NO，MO 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2的大小是定值为14 BOAB 的面积 SOAB是定值 1 C线段 OA，OB 长度的平方和|OA|2|OB|2是定值 5 D设 SOMNSOAB，则 2 8(2019江西九江二模)已知抛物线 C：x24y 的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，连接 AF 并延长交抛物线 C 于点 D，若 AB 中点的纵坐标为|AB|1，则当AFB 最大时，|AD|_.9(河北衡水三模)设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若 A，B，C 三点坐标分别为(1,2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且|FA|FB|FC|10，则 x1x2_.10 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，且倾斜角为 60的直线交抛物线于 A，B 两点，若|AF|BF|，且|AF|2，则 p_.11(江西萍乡一模)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线 l：x1，点 M 在抛物线 C 上，点 M在直线 l：x1 上的射影为 A，且直线 AF 的斜率为 3，则MAF 的面积为_ 12(一题两空)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，M 为抛物线上一点，O 为坐标原点OMF 的外接圆 N 与抛物线的准线相切，外接圆 N 的周长为 9.(1)抛物线的方程为_；(2)已知不与 y 轴垂直的动直线 l 与抛物线有且只有一个公共点，且分别交抛物线的准线和直线 x3 于 A，B两点，则|AF|BF|_.13已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OCOAOB，求 的值 14设抛物线 C：y22x，点 A(2,0)，B(2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明：ABMABN.15已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1，l2，设 l1与轨迹 C 相交于点 A，B，l2与轨迹 C 相交于点 D，E，求AD EB 的最小值
