北大数学系《高等代数》考研配套2021考研真题库.pdf

北京大学数学系高等代数考研配套 2021 考研真题库 第一部分 北大考研真题各题型 第 1 章 多项式 一、判断题 1设 Q 是有理数域，则 Pi|，Q也是数域，其中（）南京大学研【答案】对查看答案【解析】首先 0，1P，故 P 非空；其次令 a11i，b22i 其中1，2，1，2为有理数，故 ab（11i）（22i）（12）（12）iP ab（11i）（22i）（1212）（1221）iP 又令 c33i，d44i，其中3，4，3，4为有理数且 d0，即40，40，有 综上所述得 P 为数域 2设 f（x）是数域 P 上的多项式，aP，如果 a 是 f（x）的三阶导数 f（x）的 k重根（k1）并且 f（a）0，则 a 是 f（x）的 k3 重根（）南京大学研【答案】错查看答案 【解析】反例是 f（x）（xa）k3（xa）2，这里 f（a）0，并且f（x）（k3）（k2）（k1）（xa）k满足 a 是 f（x）的三阶导数 f（x）的 k 重根（k1）3设 f（x）x44x3，则 f（x）在有理数域上不可约（）南京大学研【答案】对查看答案【解析】令 xy1，则 f（y）y44y36y28y2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约 二、计算题 1f（x）x36x23px8，试确定 p 的值，使 f（x）有重根，并求其根清华大学研 解：f（x）3（x24xp）且（f（x），f（x）1，则 （1）当 p4 时，有（f（x），f（x）x24x4 所以 x2 是 f（x）的三重因式，即 f（x）（x2）3，这时 f（x）的三个根为2，2，2（2）若 p4，则继续辗转相除，即 当 p5 时，有（f（x），f（x）x1 即 x1 是 f（x）的二重因式，再用（x1）2除 f（x）得商式 x8故 f（x）x3bx215x8（x1）2（x8）这时 f（x）的三个根为 1，1，8 2假设 f1（x）与 f2（x）为次数不超过 3 的首项系数为 1 的互异多项式，且 x4x21 整除 f1（x3）x4f2（x3），试求 f1（x）与 f2（x）的最大公因式上海交通大学研 解：设 6 次单位根分别为 由于 x61（x2）31（x21）（x4x21），所以1，2，4，5是 x4x21 的 4 个根.由于13531，且 x4x21f1（x3）x4f2（x3），所以，分别将1，5代入f1（x3）x4f2（x3）可得 从而 f1（1）f2（1）0 即 x1 是 f1（x）与 f2（x）的一个公因式 同理，将2，4代入 f1（x3）x4f2（x3）可得 f1（1）f2（1）0，即 x1 是 f1（x）与 f2（x）的一个公因式 所以（x1）（x1）是 f1（x）与 f2（x）的一个公因式 又因为 f1（x），f2（x）为次数不超过 3 的首项系数为 1 的互异多项式，所以（f（x），g（x）x21 三、证明题 1设不可约的有理分数 p/q 是整系数多项式 f（x）a0 xna1xn1an1xan的根，证明：qa0，pan华中科技大学研 证明：因为 p/q 是 f（x）的根，所以（xp/q）f（x），从而（qxp）f（x）又因为 p，q 互素，所以 qxp 是本原多项式即多项式的系数没有异于l 的公因子，且 f（x）（qxp）（bn1xn1b0，biz 比较两边系数，得 a0qbn1，anpb0qa0，pan 2设 f（x）和 g（x）是数域 P 上两个一元多项式，k 为给定的正整数求证：f（x）g（x）的充要条件是 fk（x）gk（x）浙江大学研 证明：（1）先证必要性设 f（x）g（x），则 g（x）f（x）h（x），其中 h（x）P（x），两边 k 次方得 gk（x）fk（x）hk（x），所以 fk（x）gk（x）（2）再证充分性设 fk（x）gk（x）（i）若 f（x）g（x）0，则 f（x）g（x）（ii）若 f（x），g（x）不全为 0，则令 d（x）（f（x），g（x），那么 f（x）d（x）f1（x），g（x）d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x）1 所以 fk（x）dk（x）f1k（x），gk（x）dk（x）g1k（x）因为 fk（x）gk（x），所以存在 h（x）Px（x），使得 gk（x）fk（x）h（x）所以 dk（x）g1k（x）dk（x）f1k（x）h（x），两边消去 dk（x），得 g1k（x）f1k（x）h（x）由得 f1（x）g1k（x），但（f1（x），g1（x）1，所以 f1（x）g1k1（x）这样继续下去，有 f1（x）g1（x），但（f1（x），g1（x）1 故 fl（x）c，其中 c 为非零常数 所以 f（x）d（x）f1（x）cd（x）f（x）g（x）3设 f（x），g（x）都是 Px中的非零多项式，且 g（x）sm（x）g1（x），这里 m1又若（s（x），g1（x）1，s（x）f（x）证明：不存在 f1（x），r（x）Px，且 r（x）0，（r（x）（s（x）使 浙江大学研 证明：用反证法，若存在 f1（x），r（x）使式成立，则用 g（x）乘式两端，得 f（x）r（x）g1（x）f1（x）s（x）因为 s（x）f（x），s（x）f1（x）s（x），由式有 s（x）r（x）g1（x）但（s（x），g1（x）1，所以 s（x）r（x）这与（r（x）（s（x）矛盾 4设 f（x）是有理数域上 n 次n2多项式，并且它在有理数域上不可约，但知 f（x）的一根的倒数也是 f（x）的根证明：f（x）每一根的倒数也是 f（x）的根南开大学研 证明：设 b 是 f（x）的一根，1/b 也是 f（x）的根再设 c 是 f（x）的任一根下证 1/c 也是 f（x）的根 令 g（x）f（x）/d，其中 d 为 f（x）的首项系数，不难证明：g（x）与 f（x）有相同的根，其中 g（x）是首项系数为 l 的有理系数不可约多项式 设 g（x）xnan1xn1a1xa0，（a00）由于 bnan1bn1a1ba00（1/b）nan1（1/b）n1a1（1/b）a00 a0bna1bn1a n1b10 bn（a1/a0）bn1（a n1/a0）b1/a00 由 g（x）不可约及，两式可得 1/a0a0，ai/a0ani（i1，2，n1）故 a01，aiani（i1，2，n1）由式可知，当 f（c）0 时，有 f（c）0，且 g（1/c）0，从而 f（1/c）0 5设 f（x）是复系数一元多项式，对任意整数 n 有 f（n）都是整数证明：f（x）的系数都是有理数举例说明存在不是整系数的多项式，满足对任意整数 n，有 f（n）是整数浙江大学研 证明：设 f（x）g（x）ih（x），g（x），h（x）Rx 由于nZ，f（n）g（n）ih（n）Z，所以 h（x）0 下证 g（x）Qx事实上，令 g（x）a0a1xamxm，am0，aiR，i1，2，m 则有 a0a1amg（1）Z，a0a12am2mg（2）Z，a0a1（m1）am（m1）mg（m1）Z.记 则有（a0，a1，am）T（g（1），g（2），g（m1）又显见Tm!（m1）!2!1!0，由式得（a0，a1，am）（g（1），g（2），g（m1）T1 这里 T1是有理数域上的矩阵，g（1），g（2），g（m1）均为整数，所以a0，a1，amQ因此 f（x）g（x）Qx 取 f（x）x2/21/2，有 f（x）（xn）（x/2n/2）（n21）/2 可见存在不是整系数的多项式 f（x），对任一整数 n，有 f（n）（n21）/2Z 第 6 章 线性空间 一、选择题 1下面哪一种变换是线性变换（）西北工业大学研 A B C【答案】C 查看答案【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的 2在 n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）西北工业大学研 A必相等 B可能相等亦可能不相等 C不相等 【答案】B 查看答案【解析】比如在中选三个向量组(I)：0()()若选（I）（II），秩秩（II），从而否定 A，若选（）（），秩（）秩（），从而否定 C，故选 B 二、填空题 1若 则 V 对于通常的加法和数乘，在复数域 C 上是_维的，而在实数域 R 上是_维的中国人民大学研【答案】2；4查看答案【解析】在复数域上令；则是线性无关的 则 此即证 可由线性表出 在实数域上，令 若，其中，则 此即在 R 上线性关 可由线性表出，所以在实数域 R 上，有 三、分析计算题 1 设 V 是复数域上 n 维线性空间，V1和 V2各为 V 的 r1维和 r2维子空间，试求之维数的一切可能值南京大学研 解：取 的一组基，再取的一组基则 秩 2设 U 是由生成的的子空间，W 是由生成的的子空间，求（1）UW：（2）LW 的维数与基底同济大学研 解：（1）令 可得所以 由于为的一个极大线性无关组，因此又可得 且，故为 UW 的一组基（2）令 因为秩3所以齐次方程组的基础解系由一个向量组成：再令，则 故为 UW 的一组基 3设 A 是数域 K 上的一个 mn,矩阵，B 是一个 m 维非零列向量令 （1）证明：W 关于 Kn的运算构成 Kn的一个子空间；（2）设线性方程组 AXB 的增广矩阵的秩为 r证明 W 的维数 dimWnr1：（3）对于非齐次线性方程组 求 W 的一个基华东师范大学研 证明：（1）显然 W，又 因为存在 t1，t2使 At1B，At2B所以 即 klW，此说明 W 是 Kn的子空间（2）对线性方程组（A，B）Xn10，由题设，其解空间 V 的维数为（n1）r（A，B）nr1 任取W，存在 tK，使 所以是线性方程组（A，B）Xn10 的解 这样，存在 W 到 V 的映射，显然，这是 W 形到 V 的一个双射又1，2W，kK，存在 t1，t2K，使 A1t1B，A2t2B，则 所以 且 可见 W 与 V 同构，从而有 dim Wdim Vnr1（3）由（2）W 与如下齐次线性方程组解空间同构 该方程组的一个基础解系为：其在之下原像 即为 W 的一组基 4设 V1，V2均为有限维线性空间 V 的子空间，且，则和空间与另一个重合上海交通大学研 证明：因为 所以 由题设 所以 即 当时，由得 此时 当时 因为，所以，此时 5设 V 是数域 K 上 n 维线性空间，V1,Vs 是 V 的 s 个真子空间，证明：（1）存在，使得（2）存在 V 中一组基，使北京大学研 证明：（1）因 V1,Vs 是 V 的真子空间，由上例，存在（2）令，同样有且显然，线性无关 令，则存在，且线性无关，如此继续下去，可得线性无关向量组（构成 V 的基），且有 6设 V 是定义域为实数集 R 的所有实值函数组成的集合，对于 f，gV，aR，分别用下列式子定义 fg 与 af：则 V 成为实数域上的一个线性空间 设 f0（x）1，f1（x）cosx,，f2（x）cos2x，f3（x）cos3x，（1）判断 f0，f1，f2，f3是否线性相关，写出理由；（2）用f，g表示 f，g 生成的线性子空间，判断f0，f1f2，f3是否为直和，写出理由北京大学研 解：（1）令 k0f0k1f1k2f2k3f30，分别取 x0，得 解之得 k0k1k2k20，说明 f0，f1，f2，f3线性无关 （2）因为f，gL（f，g），所以 从而 又，故 L（f0，f1，f2，f3）是f0，f1与f2，f3的直和