专题24解三角形中的最值、范围问题解析版.pdf

.专题 24 解三角形中的最值、围问题 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进展边转角角转边，另外要注意22,ac ac ac三者的关系.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到而三角变换中主要是变角、变函数名和变运算形式，其中的核心是变角，即注意角之间的构造差异，弥补这种构造差异的依据就是三角公式.1、正弦定理：2sinsinsinabcRABC，其中R为ABC外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进展边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：1222222sinsinsinsinsinABABCababc 2coscossincossincossinbCcBaBCCBA恒等式 322sinsinsinbcBCaA 2、余弦定理：2222cosabcbcA 变式：2221cosabcbcA此公式在,a A的情况下，配合均值不等式可得到bc和bc的最值 4、三角形中的不等关系 1 任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 2在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：.其中由coscosABAB利用的是余弦函数单调性，而sinsinABAB仅在一个三角形有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法 1转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域最值 2利用均值不等式求得最值【经典例题】例 1.【2018 届百校联盟 TOP20 高三四月联考全国一卷】四边形中，设与面积分别为，则的最大值为_.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的围，求的最大值即可 点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得 例 2.【2018 届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角 A,B,C 所对的边分别为，则实数 a 的取值围是_.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以 的围是.例 3.【2018 届省市高三第二次检测】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c假设对任意 R，不等式恒成立，则的最大值为_【答案】2 例 4.【金卷信息卷三】的三边分别为，所对的角分别为，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值围为_【答案】【解析】由的三边分别为，可得：，.可知：，例 5.【2018 届省株洲市高三检测二】中，角所对的边分别是,且.(1)求角 的大小；(2)设向量，边长，当取最大值时，求 边的长.【答案】(1)(2).【解析】分析：1由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角 的大小；2因为由此可求当取最大值时，求 边的长.2因为 所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，例 6.【2018 届省市高三第三次4 月统考】的角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网 求角；II假设,当有且只有一解时,数 的围及 的最大值.【答案】().().【解析】分析：利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得 A 的值.II先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到 m 的取值围，再写出 S 的函数表达式求其最大值.详解：()由己知()由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当 时，由正弦定理，.所以，当时，综上所述，.例 7.【2018 届省资阳市高三 4 月三诊】在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且sinsinabABsinsincCB 1求 A 2假设4a，求22bc的取值围【答案】13A；216,32.221616bcbc，进而可得结果.试题解析：1根据正弦定理得ababc cb，即222abcbc，则222122bcabc，即1cos2A，由于0A，【方法点睛】此题主要考察正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说,当条件中同时出现ab及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数穿插出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进展解答.例 8【2018 届省市高三三诊】3cos,cos44xxm，sin,cos44xxn，设函数 f xm n 1求函数 f x的单调增区间；2设ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，求 f B的取值围 【答案】(1)424,433kk，kZ(2)311,2.【解析】试题分析：1由题 13cos,cossin,cossin4444262xxxxxfxm n ，根据正弦函数的性质222262xkk可求其单调增区间；2由题2bac可知2222221cos2222acbacacacacBacacac，当且仅当ac时取等号，所以03B，6263B，由此可求 f B的取值围.当且仅当ac时取等号，所以03B，6263B，3112f B，综上，f B的取值围为311,2 例 9.【2018 届省市高三第三次调研】锐角ABC中，,A B C对边为,a b c，222sin3cosbacBCacAC 1求A的大小；2求代数式bca的取值围.【答案】13232bca【解析】试题分析：1由222sin3cosbacBCacAC及余弦定理的变形可得2cos sin3cosBAB，因为cos0B，故得3sin2A，从而可得锐角ABC中3A 2利用正弦定理将所求变形为2sinsin32sinsin6BBbcBaA，然后根据6B的取值围求出代数式bca的取值围即可试题解析：12222cosbacacB，222sin3cosbacBCacAC，2cos sin3cosacBBCacAC，2cos sin3cos,BAB 2cos sin3cosBAB，233sinsinsincossinsin3222sinsinsin6sin3BBBBbcBCBaAA,ABC为锐角三角形，且3A02 02BC，即02 2032BB,解得62B，2,363B3sin126B32bca故代数式bca的取值围3,2.点睛：1求bca的取值围时，可根据正弦定理将问题转化为形如sinyAx的函数的取值围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x的围 2解答此题时要注意锐角三角形这一条件的运用，根据此条件可的求得6B的围，然后结合函数的图象可得sin6B的围，以到达求解的目的 例 10.【2018 届金卷信息卷一】ABC的角,A B C的对边分别为,a b c，假设向量2,cos,cosmbcBnaA，且/mn.1求角A的值；2ABC的外接圆半径为2 33，求ABC周长的取值围.【答案】(1)3A(2)4,6【解析】试题分析：1由/mn，得62)0c cosAacosB（，利用正弦定理统一到角上易得1cos2A；2 根据题意，得2 sin2aRA，由余弦定理，得223abcbc，结合均值不等式可得216bc，所以bc的最大值为 4，又2bca，从而得到ABC周长的取值围.得1cos2A.又0,A，所以3A.2 根据题意，得4 332 sin232aRA.由余弦定理，得22222cos3abcbcAbcbc，即223432bcbcbc，整理得216bc，当且仅当2bc时，取等号，所以bc的最大值为 4.又2bca，所以24bc，所以46abc .所以ABC的周长的取值围为4,6.【精选精练】1.【2018 届市高三第二次考试】在中，假设，则的取值围为().A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2【2018 届省市高三二模】在中，为的面积)，假设,则的取值围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】，又，应选 C.3【2018 届省市高三三诊】四边形ABCD中，2AB，1BCCDDA，设ABD、BCD的面积分别为1S、2S，则当2212SS取最大值时，BD _【答案】102【点睛】本小题主要考察三角形的面积公式的应用,考察同角三角函数关系,考察利用余弦定理解三角形,考察二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD的值.4【2018 届省市高三第三次模拟】的角对边分别为，假设，且的面积为，则 的最小值为_.【答案】5【2018 届省辽南协作校高三下学期一模】设的角所对的边分别为且+,则的围是_【答案】【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得，即，解得，又，所以的围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和.或两边积的不等式，解不等式即可求出围.6【2018 届省市高三第三次4 月统考】锐角ABC的角ABC、的对边分别为abc、,且2 cos2,2aCcb a,则ABC的最大值为_【答案】3 即4bc，所以ABC的最大值为max113sin43222SbcA 点睛：此题主要考察了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进展边转角寻求角的关系，利用角转边寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7【2018 届市高三 4 月适应性测试一模】,a b c分别为ABC角,A B C的对边，且sin3 cosbAaB.1求角B；2假设2 3b，求ABC面积的最大值.【答案】13B；23 3.【解析】试题分析：1由正弦定理边化角得到tan3B，从而得解；2由余弦定理得2222cosbacacB，2212acac结合222acac即可得最值.试题解析：1sin3 cosbAaB，由正弦定理可得sin sin3sin cosBAAB，即ABC面积的最大值为3 3.8【2018 届省市高三第三次4 月统考】的角的对边分别为其面积为,且.求角；II假设,当有且只有一解时,数 的围及 的最大值.【答案】().().【解析】分析：利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得 A 的值.II先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数.的图像得到 m 的取值围，再写出 S 的函数表达式求其最大值.详解：()由己知 由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理，所以，当时，综上所述，.点睛：此题在转化有且只有一解时,容易漏掉 m=2 这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9【金卷信息卷二】在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，sin3 cosaCcA.1求角A的大小；2假设2b，且43B，求边c的取值围.【答案】(1)3A；(2)2,31.在ABC中，由正弦定理，得sinsinbcBC，22sin2sin3cos3311sinsinsintanBCBcBBBB，43B，1tan3B，231c，即c的取值围为2,31.10【2018 届省市东北育才学校高三三模】ABC三个角,A B C的对边分别为,a b c，ABC的面积S满足22243Sabc 1求角C的值；2求cos2cosAAB的取值围【答案】123；20,3 tan3C ，又0C，23C.233cos2cos=cos2cos 2cos2sin2322AABAAAA=3sin 23A 11【2018 届省堰、前黄中学高三 4 月联考】在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，222acb，且sin cos3cos sinACAC.1求b的值；2假设4B，S为ABC的面积，求8 2cos cosSAC的取值围.【答案】(1)4b (2)8,8 2【解析】试题分析：1 利用正余弦定理，sin cos3cos sinACAC可转化为2222bac，又222acb，从而得到b的值；2由正弦定理1sin8 2sin sin2SbcAAC，故38 2cos8 2cos 24SAcosCA 限制角 A 的围，求出8 2cos cosSAC的取值围.2由正弦定理sinsinbcBC得114sin4sin sin8 2sin sin22sin4SbcAACAC 38 2cos8 2cos8 2cos 24SAcosCACA，在ABC中，由3040 202AACAC 得3,82A 320,44A，32cos 2,142A 8 2cos8,8 2SAcosC.12【金卷信息卷 五】在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且25sin 2sin224BCA.1求角A；2假设3a，求ABC周长的取值围.【答案】(1)3A(2)33,3 3.33,3 3.试题解析：1252224BCsinAsin，15224cos BCcos A，2152124cosAcos A ，整理，得28210cos AcosA，14cosA 或12cosA，02A，12cosA，即3A.2设ABC的外接圆半径为r，则32232arsinA，1r.2bcr sinBsinC223sinBsinB2 36sin B，ABC周长的取值围是33,3 3.