普通高等学校招生全国统一考试文科数学湖南卷.pdf
绝密启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页，时量 120 分钟，满分 150 分。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知2(1)1iiz（i为虚数单位），则复数z A.1 i B.1 i C.1 i D.1 i 2.在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图 1 所示 若将运动员按成绩由好到差编为 1-35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139,151上的运动人数是 3.设xR，则“1x”是“31x”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若变量,x y满足约束条件则2zxy的最小值为 5.执行如图 2 所示的程序框图，如果输入3n，则输出的S A.B.C.D.6.若双曲线22221xyab的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为 A.73 B.54 C.43 D.53 7.若实数,a b满足12abab，则ab的最小值为 A.2 2 8.设函数()ln(1)ln(1)f xxx，则()f x是 A.奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数 C.偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数 9.已知点,A B C在圆221xy上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（2,0），则|PAPBPC的最大值为 10.某工件的三视图如图 3 所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料的利用率=新工件的体积/原工件的体积）A.89 B.827 C.32421 D.3821 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11.已知集合 U=1,2,3,4，A=1，3，B=1,3,4，则()UAB _ 12.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为2sin，则曲线C的直角坐标方程为_ 13.若直线3450 xy与圆222(0)xyrr相交于,A B两点，且120AOB（O为坐标原点），则r _.14.若函数()|22|xf xb有两个零点，则实数b的取值范围是_ 15.已知0，在函数2sinyx与2cosyx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 3，则=_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是：从装有 2 个红球12,A A和 1 个白球B的甲箱与装有 2 个红球12,a a和 2 个白球12,b b的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖。（）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。17.（本小题满分 12 分）设ABC 的内角,A B C的对边分别为,tana b c abA.（）证明：sincosBA；（）若3sinsincos4CAB，且B为钝角，求,A B C.18.（本小题满分 12 分）如图4，直三棱柱111ABCABC的底面是边长为2的正三角形，,E F分别是1,BC CC的中点.（）证明：平面 AEF平面11B BCC；（）若直线1AC与平面11A ABB所成的角为 45，求三棱锥FAEC的体积.19（本小题满分 13 分）设数列na的前n项和为nS，已知121,2aa，且*2133,nnnaSSnN.（）证明：23nnaa；（）求nS。20.（本小题满分 13 分）已知抛物线21:4Cxy的焦点F也是椭圆22222:1(0)yyCabab的一个焦点，1C与2C的公共弦的长为 26.过点F的直线l与1C相交于,A B两点，与2C相交于,C D两点，且AC与BD同向。（）求2C的方程；（）若|ACBD，求直线l的斜率。21.（本小题满分 13 分）已知0a，函数()cos(0,)xf xaex x。记nx为()f x的从小到大的第*()n nN个极值点。（）证明：数列()nf x是等比数列；（）若对一切*,|()|nnnNxf x恒成立，求a的取值范围。参考答案 一、选择题：1.D 二、填空题：11.1，2，3 12.2220 xyy 13.2 14.（0，2）15.2 三、解答题：16解：（）所有可能的摸出结果是（）不正确。理由如下：由（）知，所有可能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果为 共 4 种，所以中奖的概率为41123，不中奖的概率为1211333，故这种说法不正确。17.解：（）由tanabA及正弦定理，得sinsincossinAaAAbB，所以（）因为 所以3cossin4AB 由（）sincosBA，因此23sin4B。又B为钝角，所以3sin2B，故120B。由3cossin2AB知30A。从而180()30CAB 综上所述，30,120,30ABC 18.解：（）如图a，因为三棱柱111ABCABC是直三棱柱，所以1AEBB，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AEBC 因此AE 平面11B BCC 而AE 平面AEF，所以，平面AEF 平面11B BCC（）设AB的中点为D，连结1,A D CD 因为ABC是正三角形，所以CDAB 又三棱柱111ABCABC是直三棱柱，所以1CDAA 因此CD 平面11A ABB，于是1CA D为直线1AC与平面11A ABB所成的角 由题设，145CA D，所以1332ADCDAB 在1Rt AA D中，22113 12AAADAD，所以11222FCAA 故三棱锥FAEC的体积11326332212AECVSFC 19解：（）有条件，对任意*nN，有 2133nnnaSS，因而对任意*nN，2n，有 两式相减，得2113nnnnaaaa，即23,2nnaa n 又121,2aa，所以 故对一切*nN，23nnaa（）由（）知，0na，所以23nnaa，于是数列21na是首项11a，公比为 3 的等比数列；数列2na是首项22a，公比为 3 的等比数列，因此 于是 从而1221223(31)32 3(5 31)22nnnnnnSSa 综上所述，3223(5 31),233-1,2nnnnSn当 是奇数，（）当 是偶数.20解：（）由21:4Cxy知其焦点F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆2C的一个焦点，所以 221ab 又1C与2C的公共弦的长为2 6，1C与2C都关于y轴对称，且1C的方程为24xy，由此易知1C与2C的公共点的坐标为3(6,)2，所以 229614ab 联立得229,8ab，故2C的方程为（）如图b，设11223344(,),(,),(,),(,)A x yB xyC xyD xy 因AC与BD同向，且|ACBD，所以ACBD，从而3142xxxx，即1234xxxx，于是 2212123434()4()4xxx xxxx x 设直线l的斜率为k，则l的方程为1ykx 由21,4ykxxy得2440 xkx，而12,x x是这个方程的两根，所以 12124,4xxk x x 由221,189ykxxy得22(98)16640kxkx，而34,x x是这个方程的两根，所以 3434221664,9898kxxx xkk 将代入，得22222164 6416(1)(98)98kkkk，即 22222169(1)16(1)(98)kkk，所以22(98)16 9k，解得64k ，即直线l的斜率为64 21解：（）()sincosaxaxfxaexex 其中1tan,02a 令()0fx，由0 x 得xm，即*,xmmN 对kN，若2(21)kxk，即2(21)kxk，则()0fx；若(21)(22)kxk，即(21)(22)kxk，则()0fx 因此，在区间(1),)mm与(,)mm上，()fx的符号总相反，于是 当*()xmmN时，()f x取得极值，所以 此时，()1()()sin()(1)sina nna nnf xene ，易知()0nf x，而 是常数，故数列()nf x是首项为()1()sinaf xe，公比为ae的等比数列。（）对一切*,|()|nnnNxf x恒成立，即343242nxane恒成立，亦即 恒成立（因为0a）设()(0)eg ttt，则2(1)()e tg tt，令()0g t得1t 当01t 时，()0g t，所以()g t在区间（0,1）上单调递减；当1t 时，()0g t，所以()g t在区间(1,)上单调递增。因为1(0,1)x，且当2n 时，1(1,),nnnxxx，所以 因此，|()|nnxf x恒成立，当且仅当 解得424ae。故a的取值范围是42,)4e。
