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三角形相似条件、证明 一、判断三角形相似（与全等的对比）相似三角形定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形 全等（特殊的相似）相似 ASA 两角对应相等的两个三角形相似 AAS SAS 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似 SSS 对应边成比例的两个三角形相似 HL 直角三角形中，斜边与一直角边对应成比例的两个三角形相似 二、相似基本图形归纳（1）平行线型 （2）相交线型 题型一：相似基本条件 1.如图，ABC 中ACB90o，CDAB 于 D。则图中能够相似的三角形共有（）对 对 对 对 2.如图，若点 D 为ABC 中 AB 边上的一点，且ABCACD，AD3cm，AB4cm，则 AC 的长为（）32 3 3.如图，在ABC 中，D，E 分别为 AC，AB 上的点，且ADEB，AE3，BE4，则 ADAC_.4.如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，BF41BC，那么图中与ADE 相似的三角形有_.5.如图，在ABC中，C9060BD ，是AC上一点，DEAB于E，且21CDDE，则BC的长为（）B.433 C.2 3 D.4 3 6.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AFDE于点O，则DOAO等于（）A.352 B.31 C.32 D.21 7.已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中 AB、CD 交 于 0 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A.都相似 B.都不相似 C.只有（1）相似 D.只有（2）相似 8.如图，已知 AB=AC，A=36，AB 的中垂线MD 交 AC 于点 D、交 AB于点 M，下列结论：BD 是 ABC 的平分线；BCD 是等腰三角形；ABC BCD；AMD BCD 正确的有（）个 题型二：相似证明 1.如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点，AE=ED，DF=14DC，连接 EF 并延长交 BC 的延长线于 点 G（1）求证：ABEDEF；（2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长 2.已知：如图，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP3PC，Q 是 CD 的中点求证：ADQQCP 3.ABC 中,AD、CE 是中线,BAD=BCE,请猜想ABC 的形状,并证明.EDCBA 4.如图，已知 ABC 中，ACB=900，AC=BC，点 E，F 在 AB 上，ECF=45（1）求证:ACFBEC；（2）设 ABC 的面积为 S，求证:AFBE=2S 5.如图，O 是 ABC 的内角平分线的交点，过 O 作 DEAO 交 AB，AC 于 D，E。求证:BDCE=ODOE 6.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=90o对角线 BDDC，试问：（1）ABD 与DCB 相似吗请说明理由。（2）如果 AD4，BC9，你能求出 BD 的长吗 习题 1.如图，小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与ABC 相似的是（）2.如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，如果 DEBC，且DCE=B，那么下列说法中，错误的是 45A E F B C OEDCBA A.ADEABC B.ADEACD C.ADEDCB D.DECCDB 3.在 RtACB 中，C=90，AC=BC，一直角三角板的直角顶角 O 在 AB 边的中点上，这块三角板绕 O 点旋转，两条 直角边始终与 AC、BC 边分别相交于 E、F，连接 EF，则在运动过程中，OEF 与ABC 的关系是（）A.一定相似 B.当 E 是 AC 中点时相似 C.不一定相似 D.无法判断 4.如图，在ABC 与ADE 中，BAC=D，要使ABC 与ADE 相似，还需满足下列条件中的（）A.ACABADAE B.ACBCADDE C.ACABADDE D.ACBCADAE 5.如图，小正方形的边长均为 1，则图中三角形（阴影部分）与ABC 相似的是（）6.如图，ACD 和ABC 相似需具备的条件是（）A.ACABCDBC B.CDBCADAC =ADAB =ADBD 7.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，BE=CE，MN=1，线段 MN 的两端点在 CD、AD 上滑动，当 DM 为（）时，ABE 与以 D、M、N 为顶点的三角形相似 A.55 B.2 55 C.55或2 55 D.2 55或3 55 8.如图所示，在ABCD 中，BE 交 AC，CD 于 G，F，交 AD 的延长线于 E，则图中的相似三角形有（）对 对 对 对 9.如图，A=B=90，AB=7，AD=2，BC=3，在边 AB 上取点 P，使得PAD 与PBC 相似，则这样的 P 点共有 个 个 个 个 10.如图，点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上，射线 CF 交 DA 的延长线于点 E，在不添加辅助线的情况下，与AEF 相似的三角形有（）个 个 个 个 11.如图，矩形 ABCD 中，AD=2，AB=5，P 为 CD 边上的动点，当ADP 与BCP 相似时，DP=12.如图，在ABC 中，BAC=90，M 是 BC 的中点，过点 A 作 AM 的垂线，交 CB 的延长线于点 D 求证：DBADAC 13.如图，点 C 是线段 AB 上一点，ACD 和BCE 都是等边三角形，连结 AE，BD，设 AE 交 CD 于点 F（1）求证：ACEDCB；（2）求证：ADFBAD 14.如图，ABC 中，C=90，AC=3，BC=4，点 D 是 AB 的中点，点 E 在 DC 的延长线上，且 CE=13CD，过点 B 作 BFDE 交 AE 的延长线于点 F，交 AC 的延长线于点 G（1）求证：AB=BG；（2）若点 P 是直线 BG 上的一点，试确定点 P 的位置，使BCP 与BCD 相似 15.如图，在ABC 中，AB=AC=1，BC=512，在 AC 边上截取 AD=BC，连接 BD（1）通过计算，判断 AD2 与 ACCD 的大小关系；（2）求ABD 的度数
