陕西省安康市高新中学2021届高三上学期8月摸底考试理科数学试题Word版含解析.pdf

-21-安康市高新中学 2021 届高三八月摸底考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.123iii（）A.10i B.10i C.10 D.10【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法运算法则运算求解.【详解】由题得 1231 3310iiiiii.故选 B【点睛】本题主要考查复数的乘法运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.设集合12Axx，2230BxxxZ，则AB（）A 1,2 B.1,3 C.1 D.1,2【答案】D【解析】【分析】首先求出集合B，再根据交集的定义计算可得；【详 解】解：2230130,1,2Bxxxxx ZZ，因 为|12Axx 1,2AB 故选：D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题.3.函数3cos1()xf xx的部分图象大致是（）-21-A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式知：fx为奇函数且0,2x上恒正，即可得正确选项.【详解】3cos()13cos1()()xxfxf xxx ，故 fx为奇函数，当0,2x时，()0f x，又()0f ，故选：A【点睛】本题考查了根据函数解析式识别函数图象，属于简单题.4.某网店 2019 年全年的月收支数据如图所示，则针对 2019 年这一年的收支情况（利润=收入-支出），下列说法错误的是（）A.月收入的极差为 60 B.7 月份的利润最大 C.这一年的总利润超过 400 万元 D.这 12 个月利润的中位数与众数均为30【答案】C【解析】-21-【分析】由图中的数据逐一分析选项，可得答案.【详解】对于 A 选项：第 11 月份的收入最高：为 90 万元，第 3 月份和第 4 月份的收入最低：为 30 万元，所以月收入的极差为 60 万元，故 A 选项正确；1 至 12 月份的利润分别为 20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以 7 月份的利润最大，为 60 万元，故 B 选项正确；总利润为 380 万元，故 C 选项不正确；这 12 个月利润的中位数与众数均为 30，故 D 选项正确；故选：C【点睛】本题考查拆线统计图的识别，以及理解并计算统计的数字特征，属于基础题.5.已知向量3,2AB，5,1AC，则向量AB与BC的夹角为（）A.45 B.60 C.90 D.120【答案】C【解析】【分析】求出2,3BCACAB，进而可求 3 2230AB BC ,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，2,3BCACAB.则 3 2230AB BC 所以ABBC，则向量AB与BC的夹角为90.故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos,a ba ba b 进行计算.6.742111xx的展开式中的常数项为（）A.22 B.21 C.20 D.21【答案】A【解析】【分析】-21-先根据二项式定理得7211x展开式，再求对应常数项.【详解】因为7211x中71721()(1)rrrrTCx 所以742111xx展开式中的常数项为 257457772111122xCxC 故选：A【点睛】本题考查二项式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.7.设ln2a，4log 2b，1.12c，则（）A.abc B.acb C.bca D.cba【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别判定a，b，c的范围，即可得出结果.【详解】1ln2ln2ae，41log 22b，1.11122c，abc 故选：A.【点睛】本题主要考查比较对数与指数的大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于基础题型.8.正三棱柱111ABCABC中，12ABAA，D 是 BC 的中点，则异面直线 AD 与1AC所成的角为（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】取11BC中点E，连接1AE，CE，根据正棱柱的结构性质，得出1AE/AD，则1CA E即 -21-为异面直线AD与1AC所成角，求出11tanCECA EAE，即可得出结果.【详解】解：如图，取11BC中点E，连接1AE，CE，由于正三棱柱111ABCABC，则1BB 底面111ABC，而1AE 底面111ABC，所以11BBAE，由正三棱柱的性质可知，111A B C为等边三角形，所以111AEBC，且111AEBCE,所以1AE 平面11BBC C，而EC 平面11BB C C，则1AE EC，则1AE/AD，190A EC，1CA E或其补角为异面直线AD与1AC所成角，设2AB，则12AA，13AE，3CE，则113tan13CECAEAE，14CAE.故选：B【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力,属于容易题.9.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如右图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得80CD，135ADB，15BDCDCA，120ACB，则A，B两点的距离为（）-21-A.80 3 B.80 C.160 D.80 5【答案】D【解析】【分析】利用等腰三角形性质以及正弦定理求出ADDB，,再根据余弦定理求A，B两点的距离.【详解】在ADC中,13515150ADCADBCDB 1801580DACACDADCADDC 在BDC中,12015135DCBACBACD 18030DBCBCDBDC 80sin13580 2sinsinsin30BDDCBDBCDDBC 在BDA中,2222cos135ABADBDAD BD 222280(80 2)2 80 80 2()8052 所以80 5AB 故选：D【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.-21-10.已知函数 cos|sin|f xxx，有下列四个结论：f x是偶函数 f x是周期函数 f x在,0上是增函数 f x在,上恰有两个零点 其中所有正确结论的编号有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据 f x的奇偶性、周期性、单调性和零点对四个结论逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于 cossincossinfxxxxxf x，所以 f x为偶函数，故正确.由于 2cos2sin2cossinf xxxxxf x，所以 f x是周期为2的周期函数，故正确.当,0 x 时，sin0 x，所以 cossin2sin4fxxxx，且3,444x ，所以 f x在,0上先减后增，错误.当,x 时，令 0f x，得cossinxx，所以tan1x ，且,2 2x ，所以 f x有两个零点12,44xx，所以正确.综上所述，正确结论的编号有.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性和零点，属于中档题.11.若函数 322111323f xxaxa恰有两个零点，则 f x在3,3上的最大值为（）A.23 B.43 C.2 D.83【答案】B【解析】-21-【分析】通过求导可知：20fxxaxx xa，0 x 或xa，若0a,则 313fxx单调，不符题意，显然0a，由 f x恰有两个零点，所以必有一个极值点为零点，只能是xa处为零，代入即可得解.【详解】20fxxaxx xa，0 x 或xa，若0a，则 313fxx单调，不符题意，故0a，f x恰有两个零点，必有一个极值点为零点，只能是xa处，0f a，解得2a，f x在0 x 处取得极大值为43又 433f，f x在3,3上的最大值为43，故选：B【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点问题，根据零点个数求参数范围，考查了分类讨论思想，整体计算量不大，属于基础题.12.设1F，2F分别为双曲线2222:10,0 xyCabab的左，右焦点，A 为 C 的左顶点，以12FF为直径的圆与 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，且135MAN，则双曲线 C 的离心率为（）A.62 B.3 C.2 D.5【答案】D【解析】【分析】设以12FF为直径的圆与渐近线byxa 相交于点000,0M xyx，根据对称性，得到00,Nxy，联立方程求点,M ab和,Na b，根据题中条件，求出2ba，即可得出离心率.-21-【详解】设以12FF为直径的圆与渐近线byxa 相交于点000,0M xyx，根据对称性得00,Nxy，由0022200byxaxyc 解得,M ab，则,Na b,0Aa，290NAF，245MAF，记右顶点为,0B a，连接BM，则12BMFF，2ba，222225ccabeaaa.故选：D.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知 x，y 满足约束条件20350350 xyxyxy，则zxy的最大值为_【答案】3【解析】【分析】有约束条件得到可行域，即目标函数与可行域有交点时，在 x、y 轴上截距最大，即可求zxy的最大值.-21-【详解】由约束条件可得可行域如下：zxy过点1,2时取得最大值 3 故答案为：3【点睛】本题考查了线性规划，根据约束条件求目标函数最大值，属于简单题.14.已知是第四象限角，2cos25cos40，则tan_【答案】73【解析】【分析】利用倍角公式可得3cos4a，再利用同角三角函数的基本关系求出7sin4，即可得答案；【详解】由22cos 25cos44cos5cos60aa，解得3cos4a，是第四象限角，7sin4，7tan3 故答案为：73.-21-【点睛】本题考查倍角公式和同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力.15.椭圆222210 xyabab的左，右焦点分别为1F，2F，椭圆上的点 M 满足1260FMF，且124MF MF，则b _【答案】6【解析】【分析】设1MFm，2MFn，由124MF MF得cos604mn，可得8mn，由椭圆定义可得：2mna，在12MF F中，结合余弦定理可得：2222212=2cos604FFmnmnab，联立即可得解.【详解】如图：设1MFm，2MFn，由124MF MF得cos604mn，可得8mn，又2mna，在12MF F中，由余弦定理可得：2222212=2cos604FFmnmnab，式平方减去式得26b，6b【点睛】本题考查了椭圆基本量的计算，考查了向量数量积的应用，题型是解椭圆焦点三角 -21-形，利用了余弦定理和椭圆定义的结合解题，是固定题型，属于基础题.16.已知三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，5 6PAPBPC，8AB，6BC，10AC，则球O的表面积为_【答案】180【解析】【分析】由已知可知ABC为直角三角形，PD 平面ABC，设球O的半径为R，进而利用勾股定理求出R的值，即可求出球O的表面积.【详解】解：如图，取AC中点D，连接PD，BD，则由已知可得222ABBCAC，ABC为直角三角形，1BDAC52，因为PAPC，所以PDAC，22150255 5PDPCCD.因为222BDPPDB，所以PDB为直角三角形，则PDBD，因为BDACD，所以PD 平面ABC.球心O为PD上一点，设球O的半径为R，连接OA，即OAPOR，则由222OAADOD，可知22255 5RR，解得3 5R，表面积243 5180S 故答案为：180.【点睛】本题考查外接球表面积的求法，考查空间想象能力，运算求解能力，属于中档题.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17.已知等比数列 na是递减数列，且满足34a，2417aa -21-（1）求数列 na的通项公式;（2）设2lognnba，数列 nb的前n项和为nS，求nS的最大值及取得最大值时n的值【答案】（1）44nna；（2）当3n或 4 时，nS取最大值 12【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比，即可得答案；（2）求出82nbn，再利用等差数列的前n项和公式，再利用二次函数的性质，即可得答案；【详解】（1）设公比为q，由34a 可得214a q，10a，01q，0na，2417aa，4417qq，解得14q，341444nnna（2）422loglog 482nnnban，221749(682)7224nSnnnnn ，当3n或 4 时，nS取最大值 12【点睛】本题考查等比数列通项公式、等差数列前n项和公式、二次函数的性质，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18.如图，四棱锥PABCD中，四边形 ABCD 是直角梯形，ABAD，/ABCD，PC 底面 ABCD，224PCABADCD，E 是 PB 的中点 （1）证明：平面EAC 平面 PBC；-21-（2）求二面角BAEC的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）1515【解析】【分析】（1）先由线面垂直的性质证明ACPC，再由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理证明即可；（2）利用向量法求二面角BAEC的余弦值即可.【详解】（1）PC 平面 ABCD，AC 平面 ABCD，ACPC 4AB，2ADCD，2 2ACBC，222ACBCAB，ACBC BCPCC，AC平面 PBC，AC 平面 EAC，平面EAC 平面 PBC（2）建立如图所示空间直角坐标系Cxyz，则2,2,0A，2,2,0B，0,0,4P，1,1,2E，2,2,0CA，1,1,2CE，0,4,0AB，1,3,2AE 设,nx y z为平面 EAC 的法向量，则0n CAn CE，即020 xyxyz，取2x 得2,2,2n，同理可求得平面 BAE 的法向量2,0,1m，15,15os m nc，即二面角BAEC的余弦值为1515 【点睛】本题主要考查了证明面面垂直以及利用向量法求二面角，属于中档题.19.某企业产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布80,0.25N，从当前生产线上随机抽取 -21-200 件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表：产品尺产/mm 77,78.5 78.5,79 79,79.5 79.5,80.5 80.5,81 81,81.5 81.5,83 件数 2 27 30 80 36 22 3 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在3,3 以外视为小概率事件，一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在3,3 以内为正品，以外为次品（1）判断生产线是否出现异常，并说明理由；（2）用频率表示概率，若再随机从生产线上取 3 件产品复检，正品检测费 10 元/件，次品检测费 15 元/件，记这 3 件产品检测费为随机变量X，求X的数学期望及方差 附：若随机变量 X 服从正态分布2,N，则0.6826PX ，220.9544PX，330.9974PX【答案】（1）生产线出现异常，理由见解析；（2）数学期望为2438，方差为11764【解析】【分析】（1）根据题意，得到正常产品尺寸范围是78.5,81.5，求出正常情况下次品的数量，根据题中条件，即可得出结果；（2）先由题意，求出该生产线的次品率，记这 3 件产品中次品数为Y，则Y服从二项分布13,40B，530XY，根据二项分布的期望和方差的计算公式及性质，即可得出结果.【详解】（1）依题意，有80，0.5，所以正常产品尺寸范围是78.5,81.5，又2001 0.99740.52件，超出正常范围以外的零件数为 5 件，故生产线出现异常（2）依题意，尺寸在78.5,81.5以外就是次品，故次品率为5120040 记这 3 件产品中次品数为Y，则Y服从二项分布13,40B，10 315530XYYY，-21-则 1334040E Y ，139117340401600D Y ，所以 X 的数学期望是 2435308E XE Y（元），方差是 2117117525160064DYDX 【点睛】本题主要考查正态分布的应用，以及根据二项分布求期望和方差，属于常考题型.20.在平面直角坐标系xOy中，M为直线2yx上动点，过点作M抛物线C:2xy的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点.（1）证明:MNx轴；（2）直线AB是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）直线AB过定点1(,2)2.【解析】【分析】（1）设出,A B两点的坐标，利用导数求得切线MA的方程，设出M点坐标并代入切线MA的方程，同理将M点坐标代入切线MB的方程，利用韦达定理求得线段AB中点N的横坐标，由此判断出MNx轴.（2）求得N点的纵坐标Ny，由此求得N点坐标，求得直线AB的斜率，由此求得直线AB的方程，化简后可得直线AB过定点1(,2)2.【详解】（1）设切点211,A x x，222,B x x，2yx，切线MA的斜率为12x，切线MA：21112yxx xx，设,2M t t，则有211122txx tx，化简得211220 xtxt，同理可的222220 xtxt.1x，2x是方程2220 xtxt 的两根，122xxt，122x xt，122NMxxxtx，MNx轴.（2）2222121212112222Nyxxxxx xtt，2,22N ttt.-21-221212122ABxxkxxtxx，直线AB：2222yttt xt，即122()2yt x，直线AB过定点1(,2)2.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.已知函数 2ln21f xxaxax，aR（1）讨论函数 f x的单调性；（2）若 0f x，求整数 a 的最大值；（3）证明：32ln210 xexxxxx 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）2；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导可得：2111220 xaxfxaxaxxx，再分0a 和0a 进行讨论，即可得解；（2）讨论0a 时，不符题意，；若0a，由（1）可知 f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减，可得 max111ln0fxfaaa，构造函数：lng xxx，求最值即可得解；（3）由（2）的结论，可知2a 时，2ln210f xxx，进行放缩可得：323322ln2122121xxxexxxxxexxxxxexx，再研究 2210 xu xexxx，即可得解.【详解】（1）2111220 xaxfxaxaxxx，-21-若0a，则 0fx，f x在0,上单调递增；若0a，由 0fx，得10 xa；由 0fx，得1xa f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减（2）若0a，则 1230fa，不满足 0f x；若0a，由（1）可知 f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减，max111ln0f xfaaa，设 lng xxx，则10ga，11gxx，g x在0,上单调递增，且 110g，11ln2022g，存在唯一的01,12x，使得 00g x 当00,xx时，0g x，当0,xx时，0g x，010 xa ，012,1ax ，aZ，2 a，即整数 a 的最大值为2（3）由（2）可知2a 时，2ln210f xxx，2ln21xx，3ln2xxxx，323322ln2122121xxxexxxxxexxxxxexx 设 2210 xu xexxx，则 22xu xex 设 22xh xex，则 2xh xe，当0,ln2x时，0h x，当ln2,x时，0h x，h x在0,ln 2上单调递减，在ln2,上单调递增，ln2minln22ln2242ln20h xhe，-21-u x在0,上单调递增，0010u xue，即2210 xexx 32ln210 xexxxxx 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论思想和恒成立思想，同时考查了放缩和转化思想，对计算能力的要求非常高，属于难题.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22.在直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为cossinxtyt（t为参数，0）曲线1C的参数方程为22cos2sinxy（为参数），以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos2 3sin（1）写出直线l与曲线1C的极坐标方程；（2）若直线l交曲线1C于 O，A 两点，交曲线2C于 O，B 两点，求 AB 的最大值和最小值【答案】（1）:(,0)l R；1:4cosC；（2）最大值 4，最小值 2【解析】【分析】（1）直线l过原点，由参数方程得其倾斜角后可得极坐标方程，曲线1C先消参化为普通方程，再由公式cossinxy化为极坐标方程（2）用直线l极坐标方程代入曲线1C的极坐标方程，可求得两交点的极坐标，由极坐标的意义可得弦长，结合三角函数性质可得最值【详解】解析：（1）直线l的倾斜角为，其极坐标方程为(,0)R，曲线1C的普通方程为22(2)4xy，即2240 xyx，由cossinxy得 -21-24 cos，为极坐标方程为4cos（2）直线l交曲线1C于 O，A 两点，由4cos，解得(4cos,)A，直线l交曲线2C于 O，B 两点，由2cos2 3sin，解得(2cos2 3sin,)B，|2cos2 3sin|4sin6ABAB，0，当3时，|AB取得最大值 4，当0时，|AB取得最小值 2【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标的意义，用极坐标表示弦长属于中档题 23.已知0a，0b，0c，函数()|f xaxxbc（1）当2abc时，求不等式 8f x 的解集；（2）若函数 f x的最小值为 3，证明：2223abc【答案】（1）33xx；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当2abc时，()|2|2|2f xxx，分2x、22x、2x 三种情况讨论即可；（2）利用绝对值的三角不等式可得出3abc，然后结合重要不等式可证明.【详解】（1）当2abc时，()|2|2|2f xxx，()8f x 即为2228xx 或2268x 或2228xx，故不等式的解集为33xx -21-（2）0a，0b，0c，()|f xaxxbcaxxbc|abcabc，()f x的最小值为 3，3abc，2222()2229abcabcabbcca，222abab，222bcbc，222caca，22222292223abcabbccaabc，2223abc【点睛】本题考查的是绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查了分类讨论的思想，属于中档题.