中考数学常考易错点：4-3《等腰三角形与直角三角形》.pdf
4.3 等腰三角形与直角三角形.易错清单 1.运用等腰(等边)三角形的判定与性质、勾股定理解决有关计算与证明问题,需注意分类讨论思想的渗入.【例 1】一直角三角形的两边长分别为 3 和 4,则第三边的长为().【解析】本题未明确这两条边是直角边还是斜边,因此两条边中的较长边 4 既可以是直角边,也可以是斜边,所以求第三边的长必须分类讨论,即 4 是斜边或直角边的两种情况,然后利用勾股定理求解.【答案】D 2.两类特殊三角形的组合运用.【例 2】(2014山东威海)如图,有一直角三角形纸片ABC,边BC=6,AB=10,ACB=90,将该直角三角形纸片沿DE折叠,使点A与点C重合,则四边形DBCE的周长为 .【解析】先由折叠的性质得AE=CE,AD=CD,DCE=A,进而得出,B=BCD,求得=5,DE为ABC的中位线,得到DE的长,再在 RtABC中,由勾股定理得到AC=8,即可得四边形DBCE的周长.【答案】沿DE折叠,使点A与点C重合,AE=CE,AD=CD,DCE=A.BCD=90-DCE.又 B=90-A,B=BCD.BD=CD=AD=AB=5.DE为ABC的中位线.三好网中高级教师在线 1 对 1 辅导，专注 K12 中小学在线一对一辅导，高考辅导、中考辅导，老师质量高，互动体验强，服务保障好，提分效果快，在家就能上课，先上课，满意在付费！以上资料来源于网络，如有异议，请添加 QQ:905622058，将有关问题进行反馈！衷心感谢！BC=6,AB=10,ACB=90,四边形DBCE的周长为BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18.【误区纠错】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用.本题中得到ED是ABC的中位线关键.3.勾股定理在折叠问题中的运用.【例 3】(2014湖北孝感)如图,已知矩形ABCD,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE,BE,若ABE是等边三角形,则=.【解析】过E作EMAB于点M,交DC于点N,根据矩形的性质得出DC=AB,DCAB,ABC=90,设AB=AE=BE=2a,则BC=a,即MN=a,求出EN,根据三角形面积公式求出两个三角形的面积,即可得出答案.【答案】过E作EMAB于点M,交DC于点N,第-2-页 共 10 页 四边形ABCD是矩形,DC=AB,DCAB,ABC=90.MN=BC.ENDC.延AC折叠B和E重合,AEB是等边三角形,EAC=BAC=30.【误区纠错】本题考查了勾股定理,折叠的性质,矩形的性质,等边三角形的性质的应用,解此题的关键是求出两个三角形的面积.名师点拨 1.掌握等腰三角形、直角三角形的概念并能做出判断.2.会利用等腰(等边)三角形的性质和判定定理证明相关问题.3.会利用直角三角形的性质与判定解决有关直角三角形的相关问题.4.会利用 HL 及其他方法来证明直角三角形全等.提分策略 1.等腰三角形的多解问题.因为等腰三角形的边有腰与底之分,角有底角和顶角之分,等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况.故当题中条件给出不明确时,要分类讨论进行解题,才能避免漏解情况.【例 1】若等腰三角形的一个内角为 50,则它的顶角为 .【解析】(1)若这个内角恰好是顶角,则顶角是 50;(2)若这个内角是底角,则顶角=180-250=80.【答案】50或 80【例 2】等腰三角形的周长为 16,其一边长为 6,则另两边为 .【解析】当腰是 6 时,则另两边是 4,6,且 4+66,满足三边关系定理;当底边是 6 时,另两边长是 5,5,5+56,满足三边关系定理.故该等腰三角形的另两边为:6,4 或 5,5.【答案】6,4 或 5,5 2.等腰三角形的性质与判定的运用.(1)通常用利用线段的垂直平分线进行等线段转换,进而进行角度转换;等边对等角说明两个角相等.(2)要证明一个三角形是等腰三角形,必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有通过等角对等边得两边相等;通过三角形全等得两边相等;利用垂直平分线的性质得两边相等.(3)等边三角形是特殊的等腰三角形,其中隐含着三边相等和三个角都等于 60的结论,所以要充分利用这些隐含条件,证明全等或者构造全等.【例 3】如图,在四边形ABCD中,ADBC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且GDF=ADF.(1)求证:ADEBFE;(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系,并说明理由.【解析】先通过平行条件得到两对内错角相等,结合线段中点得到的线段相等,可证明两个三角形全等;由角相等的条件可证明DFG是等腰三角形,再结合点E是DF的中点,根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论.【答案】(1)ADBC,ADE=BFE,DAE=FBE.E是AB的中点,AE=BE.ADEBFE.(2)EG与DF的位置关系是EGDF.GDF=ADF,ADE=BFE,GDF=BFE.GD=GF.由(1),得DE=EF,EGDF.3.定义、命题、定理、反证法等知识的区别与联系.只有对一件事情作出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.【例 4】在下列命题中,其逆命题是真命题的是 .(只填写序号)同旁内角互补,两直线平行;如果两个角是直角,那么它们相等;如果两个实数相等,那么它们的平方相等;如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.【解析】的逆命题:两直线平行,同旁内角互补,正确;的逆命题:相等的两个角是直角,错误;的逆命题:如果两个数的平方相等,那么这两个数也相等,错误,如:22=(-2)2,但 2-2;的逆命题:如果一个三角形是直角三角形,则它的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,但未说明C为直角的对边,故错误.【答案】专项训练 一、选择题 1.(2014江苏镇江外国语学校模拟)在ABC中,C=90,AC,BC的长分别是方程x2-7x+12=0 的两根,ABC内一点P到三边的距离都相等,则PC为().(第 2 题)2.(2014山东济南二模)如图,在 RtABC中,BAC=90,D,E分别是AB,BC的中点,F在CA的延长线上,FDA=B,AC=6,AB=8,则四边形AEDF的周长为().A.22 B.20 C.18 D.16 二、填空题 3.(2014江苏大丰模拟)已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角为 度.4.(2013内蒙古赤峰一模)等腰三角形的腰长为 2,腰上的高为 1,则它的底角等于 .5.(2013江苏通州兴仁中学一模)如图,在 RtABC中,C=90,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的点C,那么ADC的面积是 .(第 5 题)三、解答题 6.(2014辽宁鞍山 5 校联考)如图,AOB和COD均为等腰直角三角形,AOB=COD=90,D在AB上.(1)求证:AOCBOD;(2)若AD=1,BD=2,求CD的长.(第 6 题)7.(2014安徽马鞍山实验学校模拟)如图,点D为等腰直角ABC内一点,CAD=CBD=15.(1)求证:AD=BD;(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;(3)当BD=2 时,AC的长为 .(直接填出结果,不要求写过程)(第 7 题)参考答案与解析 3.15 或 75 解析等腰三角形分钝角和锐角三角形两种情况讨论.4.15或 75 解析分钝角三角形和锐角三角形讨论.5.6cm2 解析根据勾股定理知AB=10,得AC=4.再在直角三角形ACD中运用勾股定理求得CD=3,AD=5.(注:设CD=x,则CD=x,AD=8-x)6.(1)如图,(第 6 题)1=90-3,2=90-3,1=2.又 OC=OD,OA=OB,AOCBOD.(2)由AOCBOD,有AC=BD=2,CAO=DBO=45,CAB=90.7.(1)AC=BC,ACB=90,CAB=ABC=45.CAD=CBD=15,BAD=ABD=30.AD=BD.(2)在DE上截取DM=DC,连接CM.(第 7 题(1)AD=BD,AC=BC,DC=DC,ACDBCD.ACD=BCD=45.CAD=15,EDC=60.DM=DC,CMD是等边三角形.CDA=CME=120,CE=CA,E=CAD.CADCEM,ME=AD.DA+DC=ME+MD=DE.AD+CD=DE.(3)延长CD交AB于点H.则CHAB.HBD=30,BD=2,(第 7 题(2)
