第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式--备战2022年高考数学一轮复习配套试题(创新设计版).pdf

第 3 节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 知 识 梳 理 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin()sin_cos_cos_sin_ cos()cos_cos_sin_sin_ tan()tan tan 1tan tan 2有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan tan)(2)tan tan 1tan tan tan（）tan tan tan（）1.3式子 f()asin bcos(a，b 为常数)，可以化为 f()a2b2sin()其中tan ba或 f()a2b2cos()其中tan ab.特别地，sin cos 2sin4.1重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等 2 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差角的相对性，要注意“1”的各种变通如 tan41，sin2cos21 等 3在(0，)范围内，sin 22所对应的角 不是唯一的 4在三角求值时，常需要确定角的范围 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立()(3)在两角和、差的正切公式中，使两端分别有意义的角的范围不完全相同()(4)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan)，且对任意角，都成立()答案(1)(2)(3)(4)解析(4)变形可以，但不是对任意的，都成立，2k，kZ.2(2019全国卷)tan 255()A2 3 B2 3 C2 3 D2 3 答案 D 解析 tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)tan 45tan 301tan 45tan 301331332 3.故选 D.3若 tan 13，tan()12，则 tan()A.17 B.16 C.57 D.56 答案 A 解析 tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 12131121317，故选 A.4(一题多解)(2018全国卷)已知 tan5415，则 tan _ 答案 32 解析 法一 因为 tan5415，所以tan tan541tan tan5415，即tan 11tan 15，解得tan 32.法二 因为 tan5415，所以 tan tan5454 tan54tan541tan54tan54151115132.5(2021南京、盐城一模)已知锐角，满足(tan 1)(tan 1)2，则 的值为_ 答案 34 解析 因为(tan 1)(tan 1)2，所以 tan tan tan tan 1，因此 tan()tan tan 1tan tan 1，因为(0，)，34.6(2021宁波调研)已知 sin 35，2，且 sin()cos，则 tan()_ 答案 2 解析 因为 sin 35，2，所以 cos 45，由 sin()cos cos()cos()cos sin()sin 45cos()35sin()得25sin()45cos()，所以 tan()2.考点一 两角和、差公式的正用【例 1】(1)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，则 2 的值为_ 答案 34 解析 tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 121711217130，又(0，)，00，022，tan(2)tan 2tan 1tan 2tan 3417134171.tan 170，2，20，234.(2)若 sin()12，sin()13，求tan tan 的值 解 由条件得sin（）sin cos cos sin 12，sin（）sin cos cos sin 13，所以sin cos 512，cos sin 112，相除得tan tan 5.感悟升华(1)熟练掌握两角和、差的公式；(2)求角的值或三角函数值尽量用特殊角或已知角表示【训练 1】(1)sin 75_(2)(2021杭州二中模拟)设，都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos 的值为()A.2 525 B.525 C.55 D.2 55 答案(1)6 24(2)A 解析(1)sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 22322212 6 24.(2)因为 0，2，所以 0.因为 cos 55，所以 sin 2 55，因为sin()35，0，sin sin()，所以2，所以 cos()45.所以 cos cos()cos()cos sin()sin 4555352 552 525，故选 A.考点二 两角和、差公式的逆用【例 2】计算cos 20sin 20cos 10 3sin 10tan 702cos 40.解 原式cos 20cos 10sin 203sin 10sin 70cos 702cos 40 cos 20（cos 10 3sin 10）sin 202cos 40 2cos 20（cos 10sin 30cos 30sin 10）sin 202cos 40 2cos 20sin 40sin 202cos 40 2cos 20sin 402cos 40sin 20sin 20 2sin（4020）sin 202.感悟升华(1)熟悉两角和、差公式展开式的结构特征；(2)对 asin bcos 的式子注意化为一个角的一种三角函数(辅助角公式)；(3)注意切化弦技巧【训练 2】(1)1sin 103cos 10_(2)已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin()_ 答案(1)4(2)12 解析(1)原式cos 10 3sin 10sin 10cos 10 2（sin 30cos 10cos 30sin 10）12sin 20 4sin 20sin 204.(2)sin cos 1，cos sin 0，sin2cos22sin cos 1，cos2sin22cos sin 0，两式相加可得 sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin)1，sin()12.考点三 两角和、差公式的灵活应用 【例 3】求tan 10tan 70tan 70tan 10tan 120的值 解 因为 tan 60tan(7010)tan 70tan 101tan 70tan 10，所以 tan 70tan 10tan 60tan 60tan 70tan 10，即 tan 70tan 10tan 120tan 60tan 70tan 10，所以tan 10tan 70tan 70tan 10tan 120 tan 10tan 70tan 70tan 10tan 6033.感悟升华(1)两角和、差正切公式的变形 tan tan tan()(1tan tan)，特别地，若 4，则 tan tan 1tan tan；(2)当条件或式子中出现正切的和、差式及乘积式的情况，应注意利用(1)中的变形；(3)已知三角函数的值求其他三角函数值时，注意用已知函数值的角表示要求函数值的角【训练 3】(1)已知 A，B 为锐角，且满足 tan Atan Btan Atan B1，则 cos(AB)_(2)若，都是锐角，且 sin 2 55，sin()1010，则 cos _ 答案(1)22(2)22 解析(1)由 tan Atan Btan Atan B1，得tan Atan B1tan Atan B1，即 tan(AB)1.A，B0，2，0AB0，02，cos()1sin2（）1101023 1010.cos cos()cos cos()sin sin()553 10102 551010 22.基础巩固题组 一、选择题 1sin 20cos 10cos 160sin 10()A32 B.32 C12 D.12 答案 D 解析 sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 3012.2化简cos4x sin4xcos4x sin4x的结果是()Atan x2 Btan 2x Ctan x D.1tan x 答案 C 解析 原式1tan4x1tan4xtan44x tan(x)tan x.3(1tan 17)(1tan 28)的值是()A1 B0 C1 D2 答案 D 解析 原式1tan 17tan 28tan 17tan 28 1tan 45(1tan 17tan 28)tan 17tan 28 112.4函数 f(x)sin xcosx6的值域为()A2，2 B 3，3 C1，1 D.32，32 答案 B 解析 f(x)sin xcos xcos6sin xsin 6 sin x32cos x12sin x 32sin x32cos x 332sin x12cos x 3sinx6 3，3 5(2021浙江名师预测卷一)已知 R，则“tan 2”是“sin24210”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 当 tan 2 时，若 为第一象限角，则 sin 25，cos 15，此时sin2422(sin 2cos 2)22(2sin cos cos2sin2)210；若 为第三象限角，则 sin 25，cos 15，此时 sin2422(sin 2cos 2)22(2sin cos cos2sin2)210；反之，当 sin24210时，易知2sin cos cos2sin2cos2sin215，即2tan 1tan21tan215，解得 tan 2 或 tan 13，所以“tan 2”是“sin24210”的充分不必要条件，故选 A.6已知 sin6cos 33，则 cos6()A2 23 B.2 23 C13 D.13 答案 C 解析 sin6cos 33，即 sin cos6cos sin 6cos 33，32sin 32cos 33，12sin 32cos 13，sin313，cos6 cos23 sin313.二、填空题 7若函数 f(x)4sin xacos x 的最大值为 5，则常数 a_ 答案 3 解析 f(x)16a2sin(x)，其中 tan a4，故函数 f(x)的最大值为 16a2，由已知得 16a25，解得 a3.8(一题多解)化简 sinx32sinx3 3cos23x _ 答案 0 解 析 法 一 原 式 sin x12cos x32 2sin x12cos x32312cos x32sin x 12132sin x32 332cos x 0.法二 原式sinx3 3cos23x 2sinx3 2sinx312cosx3322sinx3 2sinx33 2sinx3 2sinx23 2sinx3 2sinx32sinx30.9已知 是第四象限角，且 sin435，则 sin _；tan4_ 答案 210 43 解析 由题意，sin435，cos445，sin cos4cos sin435，cos cos4sin sin445，解得sin 15 2，cos 75 2，tan 17，tan4tan tan41tan tan4171117143.10(2020柯桥区调研)已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点 P45，35，则 tan()_，若角 满足 tan()12，则 tan _ 答案 34 211 解析 由题意得 tan()tan 354534，tan()tan tan 1tan tan tan 34134tan 12，解得tan 211.三、解答题 11(1)求2sin 50 sin 80（1 3tan 10）12sin 50 cos 50的值；(2)已知 cos4 13，cos4233，0，2，2，0，求 cos2的值 解(1)原式2sin 50cos 10（1 3tan 10）（sin 50cos 50）2 2sin 50（cos 10 3sin 10）sin 50cos 50 2sin 502（cos 60cos 10sin 60sin 10）sin 50cos 50 2sin 502cos 50sin 50cos 50 2.(2)因为 02，则4434，所以 sin4 2 23，又因为20，则4420，所以，0，2，(0，)，从而有 34.(2)由上可得 cos()cos cos sin sin 22.由 tan tan 6，得 sin sin 6cos cos，解得 sin sin 3 25，cos cos 210，故 cos()cos cos sin sin 7 210.能力提升题组 13(2020全国卷)已知 sin sin31，则 sin6()A.12 B.33 C.23 D.22 答案 B 解析 sin sin332sin 32cos 3sin61，sin633，故选 B.14设，0，且满足 sin cos cos sin 1，则 sin(2)sin(2)的取值范围为()A 2，1 B1，2 C1，1 D1，2 答案 C 解析 sin cos cos sin 1，sin()1，0，2，由0，022，sin(2)sin(2)sin22sin(2)cos sin 2sin4，2，34454，1 2sin41，即所求的取值范围是1，1，故选C.15已知 cos 17，cos()1314，且 02，则 _ 答案 3 解析 由 cos 17，02，得 sin 1cos211724 37，由 02，得 02，又cos()1314，sin()1cos2（）1131423 314.由()，得 cos cos()cos cos()sin sin()1713144 373 31412.3.16已知 sin3sin 4 35，20，则 cos 的值为_ 答案 3 3410 解析 由 sin3sin 4 35，得32sin 32cos 3sin64 35，sin645.又20，所以366，于是 cos635.所以 cos cos66cos6cos 6sin6sin 6353245123 3410.17(2021浙江名师预测卷一)函数 f(x)2cos2x2sin xcos x1.(1)求方程 f(x)22的解；(2)若 x4，2时，有 f(x)24，求 sin 2x 的值 解(1)由题意得 f(x)cos 2xsin 2x 2sin2x422，即 sin2x412，所以 2x462k 或 2x4562k(kZ)，所以 xk24或 xk724(kZ)(2)因为 f(x)24，所以 sin2x414.又因为 x4，2，所以342x454，则 cos2x4154，所以 sin 2xsin2x442 308.18已知向量 a(cos，sin)，b(2，1)(1)若 ab，求sin cos sin cos 的值；(2)若|ab|2，0，2，求 sin4的值 解(1)由 ab 可知，ab2cos sin 0，所以 sin 2cos，所以sin cos sin cos 2cos cos 2cos cos 13.(2)由 ab(cos 2，sin 1)可得，|ab|（cos 2）2（sin 1）2 64cos 2sin 2，即 12cos sin 0.又 cos2sin21，且 0，2，所以 sin 35，cos 45.所以 sin422(sin cos)22 3545 7 210.