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平面向量练习题集答案 典例精析 题型一 向量的有关概念【例 1】下列命题：典例精析 题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例 1】已知 a，b 夹角为 120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)(a2b)(ab)；(3)a 与(ab)的夹角.【解析】(1)(ab)2a2b22ab 1642421212，所以|ab|2 3.。(2)(a2b)(ab)a23ab2b2 16342122412.(3)a(ab)a2ab16421212.所以 cos|)(baabaa1242 332，所以 6.【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.【变式训练 1】已知向量 a，b，c 满足：|a|1，|b|2，cab，且 ca，则 a 与 b 的夹角大小是 .【解析】由 caca0a2ab0，所以 cos 12，所以 120.题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题【例 2】在ABC 中，AB(2，3)，AC(1，k)，且ABC 的一个内角为直角，求 k 的值.【解析】当A90时，有ABAC0，所以 213k0，所以 k23；当B90时，有ABBC0，又BCACAB(12，k3)(1，k3)，所以 2(1)3(k3)0k113；当C90时，有ACBC0，所以1k(k3)0，所以 k23k10k3 132.所以 k 的取值为23，113或3 132.【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.【变式训练 2】ABC 中，AB4，BC5，AC6，求ABBCBCCACAAB.【解析】因为 2ABBC2BCCA2CAAB(ABBCCAAB)(CAABBCCA)(BCCABCAB)AB(BCCA)CA(ABBC)BC(CAAB)ABBACAACBCCB 42625277.所以ABBCBCCACAAB772.题型三 平面向量的数量积的综合问题【例 3】数轴 Ox，Oy 交于点 O，且xOy3，构成一个平面斜坐标系，e1，e2分别是与 Ox，Oy 同向的单位向量，设 P 为坐标平面内一点，且OPxe1ye2，则点 P 的坐标为(x，y)，已知 Q(1，2).(1)求|OQ|的值及OQ与 Ox 的夹角；(2)过点 Q 的直线 lOQ，求 l 的直线方程(在斜坐标系中).【解析】(1)依题意知，e1e212，且OQe12e2，所以OQ2(e12e2)2144e1e23.所以|OQ|3.又OQe1(e12e2)e1e212e1e20.所以OQe1，即OQ与 Ox 成 90角.(2)设 l 上动点 P(x，y)，即OPxe1ye2，又OQl，故OQQP，即(x1)e1(y2)e2(e12e2)0.所以(x1)(x1)(y2)122(y2)0，所以 y2，即为所求直线 l 的方程.【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势.【变式训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(5，0).对于某个正实数 k，存在函数 f(x)ax2(a0)，使得OP(|OAOA|OQOQ)(为常数)，其中点 P，Q 的坐标分别为(1，f(1)，(k，f(k)，则 k 的取值范围为()A.(2，)B.(3，)C.(4，)D.(8，)【解析】如图所示，设|OAOAOM，|OQOQON，OMONOG，则OPOG.因为 P(1，a)，Q(k，ak2)，OM(1，0)，ON(kk2a2k4，ak2k2a2k4)，OG(kk2a2k41，ak2k2a2k4)，则直线 OG的方程为 yak2k k2a2k4x，又OPOG，所以 P(1，a)在直线 OG 上，所以 aak2k k2a2k4，所以 a212k.因为|OP|1a21，所以 12k0，所以 k2.故选 A.