2018中考数学几何辅助线题.pdf

中考压轴题专题几何辅助线 图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线加一倍。梯等式子比例换，寻找相似很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，弦高公式是关键。计算半径与弦长，弦心距来站中间。圆上假设有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦园。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。假设是添上连心线，切点肯定在上面。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假设图形较分散，对称旋转去实验 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。精选 1.如图，RtABC 中，ABC=90，DE 垂直平分 AC，垂足为 O，ADBC，且 AB=3，BC=4，则 AD 的长为 精选 2如图，ABC 中，C60，CAB 与CBA 的平分线 AE，BF 相交于点 D，求证：DEDF 精选 3.已知：如图，O 的直径 AB=8cm，P 是 AB 延长线上的一点，过点 P 作O 的切线，切点为 C，连接 AC(1)假设ACP=120，求阴影部分的面积；(2)假设点 P 在 AB 的延长线上运动，CPA 的平分线交 AC 于点 M，CMP 的大小是否发生变化？假设变化，请说明理由；假设不变，求出CMP 的度数。精选 4、如图 1，Rt ABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，点 O 是斜边 AB 上一动点，以 OA 为半径作O 与 AC边交于点 P，DABCEF1当 OA=时，求点 O 到 BC 的距离；2如图 1，当 OA=时，求证：直线 BC 与O 相切；此时线段 AP 的长是多少？3假设 BC 边与O 有公共点，直接写出 OA 的取值范围；4假设 CO 平分 ACB，则线段 AP 的长是多少？精选 5如图，已知ABC 为等边三角形，BDC120，AD 平分BDC，求证：BD+DCAD 精选 6、已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处 第 6 题图 1如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连结 AP、OP、OA 求证：OCPPDA；假设OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长；2假设图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点，求OAB 的度数；3如图 2，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP动点 M 在线段 AP 上点 M 与点 P、A不重合，动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连结 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？假设变化，说明理由；假设不变，求出线段 EF 的长度 ECADB精选 7、如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB、BA或它们的延长线于点 E、F，EDF=60，当 CE=AF 时，如图 1 小芳同学得出的结论是 DE=DF 1继续旋转三角形纸片，当 CEAF 时，如图 2 小芳的结论是否成立？假设成立，加以证明；假设不成立，请说明理由；2再次旋转三角形纸片，当点 E、F 分别在 CB、BA 的延长线上时，如图 3 请直接写出 DE 与 DF 的数量关系；3连 EF，假设DEF 的面积为 y，CE=x，求 y 与 x 的关系式，并指出当 x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？精选 8、等腰 Rt ABC 中，BAC=90，点 A、点 B 分别是 x 轴、y 轴两个动点，直角边 AC 交 x 轴于点 D，斜边BC 交 y 轴于点 E；1如图1，假设 A0，1，B2，0，求 C 点的坐标；2如图2，当等腰 Rt ABC 运动到使点 D 恰为 AC 中点时，连接 DE，求证：ADB=CDE 3如图3，在等腰 Rt ABC 不断运动的过程中，假设满足 BD 始终是 ABC 的平分线，试探究：线段 OA、OD、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由 精选 9如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线1l、2l、3l、4l上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h、2h、3h123(000)hhh，（1）求证：31hh；2设正方形ABCD的面积为S，求证：22121()Shhh；3假设12312hh，当1h变化时，说明正方形ABCD的面积 S随1h的变化情况 l1 l2 l3 l4 h3 h2 h1 A C D B 第题图 参考答案 精选 1 解：RtABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4，AC=5，DE 垂直平分 AC，垂足为 O，OA=AC=，AOD=B=90，ADBC，A=C，AODCBA，=，即=，解得 AD=故答案为：精选 2 证明：在 AB 上截取 AG，使 AG=AF，易证ADFADGSAS DFDGC60，AD，BD 是角平分线，易证ADB=120 ADFADGBDGBDE60 易证BDEBDGASA DEDGDF 精选 3、解：1连接 OC PC 为O 的切线，PCOC PCO=90 度 ACP=120 ACO=30 OC=OA，A=ACO=30 度 BOC=60 OC=4 S阴影=S OPCS扇形BOC=；2 CMP 的大小不变，CMP=45 由1知 BOC+OPC=90 PM 平分 APC APM=APC DABCEFG A=BOC PMC=A+APM=BOC+OPC=45 精选 4、解：1在 Rt ABE 中，1 分 过点 O 作 ODBC 于点 D，则 OD AC，ODB ACB，点 O 到 BC 的距离为 3 分 2证明：过点 O 作 OEBC 于点 E，OFAC 于点 F，OEB ACB，直线 BC 与O 相切 5 分 此时，四边形 OECF 为矩形，AF=ACFC=3=，OFAC，AP=2AF=7 分 3；9 分 4过点 O 作 OGAC 于点 G，OHBC 于点 H，则四边形 OGCH 是矩形，且 AP=2AG，又 CO 平分 ACB，OG=OH，矩形 OGCH 是正方形 10 分 设正方形 OGCH 的边长为 x，则 AG=3x，OG BC，AOG ABC，AP=2AG=12 分 精选 5、证法 1：截长如图，截 DF=DB，易证DBF 为等边三角，然后证BDCBFA 即可；证法 2：截长如图，截 DF=DC，易证DCF 为等边三角，然后证BDCAFC 即可；证法 3：补短如图，延长 BD 至 F，使 DF=DC，此时 BD+DC=BD+DF=BF，易证DCF 为等边，再证BCFACD 即可 证法 4：四点共圆两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆 设 ABACBCa，根据圆内接四边形托勒密定理：CDaBDaADa，得证 FFF 精选 6、解：1 如图 1，四边形 ABCD 是矩形，AD=BC，DC=AB，DAB=B=C=D=90 由折叠可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAOAPO=B APO=90 APD=90CPO=POC D=C，APD=POC OCPPDA OCP 与PDA 的面积比为 1：4，=PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP AD=8，CP=4，BC=8 设 OP=x，则 OB=x，CO=8x 在 RtPCO 中，C=90，CP=4，OP=x，CO=8x，x2=8x2+42 解得：x=5 AB=AP=2OP=10 边 AB 的长为 10 2如图 1，P 是 CD 边的中点，DP=DC DC=AB，AB=AP，DP=AP D=90，sinDAP=DAP=30 DAB=90，PAO=BAO，DAP=30，OAB=30 OAB 的度数为 30 3作 MQAN，交 PB 于点 Q，如图 2 AP=AB，MQAN，APB=ABP，ABP=MQP APB=MQP MP=MQ MP=MQ，MEPQ，PE=EQ=PQ BN=PM，MP=MQ，BN=QM MQAN，QMF=BNF 在MFQ 和NFB 中，MFQNFB QF=BF QF=QB EF=EQ+QF=PQ+QB=PB 由1中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90 PB=4 EF=PB=2 在1的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，长度为 2 精选 7、解：1DF=DE理由如下：如答图 1，连接 BD 四边形 ABCD 是菱形，AD=AB 又A=60，ABD 是等边三角形，AD=BD，ADB=60，DBE=A=60 EDF=60，ADF=BDE在ADF 与BDE 中，ADFBDEASA，DF=DE；2DF=DE理由如下：如答图 2，连接 BD四边形 ABCD 是菱形，AD=AB 又A=60，ABD 是等边三角形，AD=BD，ADB=60，DBE=A=60 EDF=60，ADF=BDE 在ADF 与BDE 中，ADFBDEASA，DF=DE；3由2知，ADFBDE则 SADF=SBDE，AF=BE=x 依题意得：y=SBEF+SABD=2+xxsin60+22sin60=x+12+即 y=x+12+0，该抛物线的开口方向向上，当 x=0 即点 E、B 重合时，y最小值=精选 8、1解：过点 C 作 CFy 轴于点 F，AFC=90，CAF+ACF=90 ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，AC=AB，CAF+BAO=90，AFC=BAC，ACF=BAO 在 ACF 和 ABO 中，ACF ABOAAS CF=OA=1，AF=OB=2 OF=1 C1，1；2证明：过点 C 作 CGAC 交 y 轴于点 G，ACG=BAC=90，AGC+GAC=90 CAG+BAO=90，AGC=BAO ADO+DAO=90，DAO+BAO=90，ADO=BAO，AGC=ADO 在 ACG 和 ABD 中 ACG ABDAAS，CG=AD=CD ACB=ABC=45，DCE=GCE=45，在 DCE 和 GCE 中，DCE GCESAS，CDE=G，ADB=CDE；3解：在 OB 上截取 OH=OD，连接 AH 由对称性得 AD=AH，ADH=AHD ADH=BAO BAO=AHD BD 是 ABC 的平分线，ABO=EBO，AOB=EOB=90 在 AOB 和 EOB 中，AOB EOBASA，AB=EB，AO=EO，BAO=BEO，AHD=ADH=BAO=BEO AEC=BHA 在 AEC 和 BHA 中，ACE BAHAAS AE=BH=2OA DH=2OD BD=2OA+OD 精选 9、1证：设2ADl与交于点E，BC与3l交于点F，由已知BFEDBEFD，四边形BEDF是平行四边形，BEDF 又CDFRtABERtCDAB，31hh 2证：作44BGlDHl，垂足分别为GH、，在RtRtBGCCHD和中，1809090BCGDCHBCDCDHDCH，BCGCDH 又90BGCCHDBCCD，2RtRtBGCCHDCGDHh，又22222223232121()()BGhhBCBGCGhhhhh h，222121()SBChhh 3解：1221331122hhhh，2222121111355241124455Shhhhhh ，1211320010023hhhh ，当1205h时，S随1h的增大而减小；当12253h时，S随1h的增大而增大 l1 l2 l3 l4 h3 h2 h1 A C D B G E H l1 l2 l3 l4 h3 h2 h1 A C D B F E