广东省茂名市2013届高三第一次高考模拟考试数学理试题(WORD版).pdf

绝密启用前 试卷类型：A茂名市 2013 年第一次高考模拟考试 数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1、答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回。第一部分 选择题（共 40 分）一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合|1Axx2,|1Bxx1，则（）2.计算：2(1)ii（）A2i B-2i C.2 D.-2 3.已知)(xf是奇函数，当0 x 时，2()logf xx，则1()2f（）A.2 B.1 C.1 D.2 4.已知向量(1,2),(2,1)axb,则ab的充要条件是（）A0 x B5x C1x D12x 5.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是 1 的正方形，且其体积为12，则该几何体的俯视图可以是（）6.已知函数xxycossin，则下列结论正确的是（）A.此函数的图象关于直线4x对称 B.此函数的最大值为 1 C.此函数在区间(,)4 4 上是增函数 D.此函数的最小正周期为 7.某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为 31，则a等于（）A.0 B.1 C.2 D.3 8.已知x、y满足约束条件113yyxyx，若20byax，则12ab的取值范围为（）A.0，1 B.1，10 C.1，3 D.2，3 第二部分 非选择题（共 100 分）二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分，每小题 5 分，满分 30 分）。（一）必做题：第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答。9.已知等比数列na的公比q为正数，且23952aaa，则q=.10.计算 .11.已知双曲线221xky的一个焦点是（5 0，），则其渐近线方程为 .12.若(2 x 1)xn的展开式中所有二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为 .13.已知1234212,21 33 4,21 3 54 5 6,21 3 5 75 6 7 8,依此类推，第n个等式为 .（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C 的参数方程为2 cossinxy (为参数)，则曲线C 上的点到直线 3x-4y+4=0 的距离的最大值为 15.（几何证明选讲选做题）如图，O 的直径 AB6cm，P 是 AB 延长线上的一点，过 P 点作O 的切线，切点为 C，连接 AC，若CPA30，PC_ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分 12 分）如图，角A为钝角，且53sinA，点P、Q分别是在角A的 两边上不同于点A的动点.（1）若AP=5，PQ=3 5，求AQ的长；（2）设)2sin(,1312cos,求且AQPAPQ的值.17.（本小题满分 12 分）某连锁超市有A、B两家分店，对该超市某种商品一个月 30 天的销售量进行统计：A分店的销售量为 200 件和 300 件的天数各有 15 天；B分店的统计结果如下表：销售量（单位：件）200 300 400 天 数 10 15 5（1）根据上面统计结果，求出B分店销售量为 200 件、300 件、400 件的频率；（2）已知每件该商品的销售利润为 1 元，表示超市A、B两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作为概率，且A、B两分店的销售量相互独立，求的分布列和数学期望.18.（本小题满分 14 分）如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD，90BADADC，1,22ABADCDa PDa.（1）若M为PA中点，求证：AC平面MDE；（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小 19.（本小题满分 14 分）已知数列,nnab中，111ab，且当2n 时，10nnana，1122nnnbb.记n的阶乘(1)(2)3 2 1n nnn ！（1）求数列na的通项公式；（2）求证：数列2nnb为等差数列；（3）若22nnnnnacba，求 nc的前 n 项和.20.（本小题满分 14 分）已知椭圆1C：22221xyab（0ab）的离心率为33，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为2 6.（1）求椭圆1C的方程；（2）设椭圆1C的左焦点为1F，右焦点为2F，直线1l过点1F且垂直于椭圆的长轴，动直线2l垂直1l于点P，线段2PF的垂直平分线交2l于点 M，求点 M 的轨迹2C的方程；（3）设 O 为坐标原点，取2C上不同于 O 的点 S，以 OS 为直径作圆与2C相交另外一点 R，求该圆面积的最小值时点 S的坐标 21.（本小题满分 14 分）已知函数321()223g xaxxx，函数()f x是函数()g x的导函数.（1）若1a，求()g x的单调减区间；（2）若对任意1x，2xR且12xx，都有1212()()()22xxf xf xf，求实数a的取值范围；（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意,0 xM时4f x|()|恒成立，求M的最小值及相应的a值.茂名市 2013 年第一次高考模拟考试数学试卷（理科）参考答案及评分标准 一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B A C C D B 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）9.2；10.2e；11.2yx；12.160；13.)()3()2()1()12(5312nnnnnnn；14.3；15.3 3.三、解答题（共 80 分）16.解：（1）A是钝角，3sin5A，4cos5A 1分 在APQ中，由余弦定理得：2222cosPQAPAQAP AQA 所以28200AQAQ 4分 解得2AQ 或10（舍去负值），所以2AQ 6分（2）由135sin,1312cos得 7分 在三角形 APQ 中，A 又3sin()sin()sin,5AA 8分 4cos()cos5A 9分 sin(2)sin()sincos()cossin()11分 655653131254135 12分 17.解：（1）B 分店销售量为 200 件、300 件、400 件的频率分别为13，12和16 3分（2）A 分店销售量为 200 件、300 件的频率均为12，4分 的可能值为 400，500，600，700，且 5分 P（=400）=111236，P（=500）=11115223212，P（=600）=1111126223，P（=700）=1112612，9 分 的分布列为 400 500 600 700 P 16 512 13 112 10分 E=40016+500512+60013+700112=16003（元）12 分 18.（1）证明：连结PC,交DE与N,连结MN，PAC中，,M N分别为两腰,PA PC的中点 /MNAC2分 因为MN 面MDE,又AC 面MDE，所以/AC平面MDE 4分（2）解法一：设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为，以D为空间坐标系的原点，分别以,DA DC DP所在直线为,x y z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(,0),(0,2,0)Pa B a aCa(,2),(,0)PBa aa BCa a 6分 设平面PAD的单位法向量为1n，则可设1(0,1,0)n 7分 设面PBC的法向量2(,1)nx y，应有 22(,1)(,2)0(,1)(,0)0nPBx ya aanBCx ya a 即：200axayaaxay 解得：2222xy，所以222(,1)22n 12分 1212212cos212n nnn 13分 所以平面PAD与PBC所成锐二面角为 6014 分 解法二：延长 CB、DA 相交于 G，连接 PG，过点 D 作DHPG，垂足为 H，连结 HC 6 分 矩形 PDCE 中 PDDC，而 ADDC，PDAD=D CD平面 PAD CDPG，又 CDDH=D PG平面 CDH，从而 PGHC 8 分 DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 10 分 在Rt PDG中，22DGADa，2PDa 可以计算DH 233a 12分 在RtCDH中，2tan3233CDaDHCDHa 13分 所以平面PAD与PBC所成锐二面角为 6014 分 19.解：（1）10nnana,2n，11a 123(1)(1)(2)nnnnanan nan nna 1(1)(2)3 2n nnan！2分 又!111a，nan！3 分（2）由1122nnnbb两边同时除以2n得111222nnnnbb即111222nnnnbb 4分 数列2nnb是以12为首项，公差为12的等差数列 5分 11(1)()12222nnbnn，故2(1)2nnnb 6分（3）因为12111,22(1)(2)12nnnnnabnannnn 8分 记nA=3123452nnaaaaaaaa 1111111111()()()()2334451222nAnnn 10分 记2 nnb 的前 n 项和为nB 则01211 22 23 22nnBn 12121 22 2(1)22nnnBnn 由-得：012122222nnnBn122(1)2112nnnnn 13分 123nnScccc=11(1)222nnnABnn14分 20.解：（1）解：由33e，得223ac，再由222cab，解得62ab 1分 由题意可知1222 62ab，即6a b 2分 解方程组626abab得32,ab 3分 所以椭圆 C1的方程是22132xy 3分（2）因为2MPMF，所以动点M到定直线1:1lx 的距离等于它到定点2F（1，0）的距离，所以动点M的轨迹2C是以1l为准线，2F为焦点的抛物线，6 分 所以点M的轨迹2C的方程为24yx 7分（3）因为以OS为直径的圆与2C相交于点R，所以ORS=90，即0OR SR 8分 设 S（1x，1y），R（2x，2y），SR（2x-1x，2y-1y），OR=（2x，2y）所以222221221221221()()()()016yyyOR SRxxxyyyyyy 因为12yy，20y，化简得12216yyy 10分 所以22212222222562563223264yyyyy，当且仅当2222256yy即22y16，y24 时等号成立.12 分 圆的直径|OS|=4222422211111111116(8)641644yxyyyyy 因为21y64，所以当21y64 即1y=8 时，min8 5OS，13 分 所以所求圆的面积的最小时，点 S 的坐标为（16，8）14 分 21.解：（1）当1a 时，321()223g xxxx，2()42g xxx 1分 由()0g x 解得2626x 2分 当1a 时函数()g x的单调减区间为(26,26)；3分（2）易知2()()42f xg xaxx 依题意知 1212()()()22xxf xf xf 222121211224242()4()2222xxxxaxxaxxa 212()04axx 5分 因为12xx，所以0a，即实数a的取值范围是(0,)；6分（3）解法一：易知2224()42()2f xaxxa xaa，0a.显然(0)2f，由（2）知抛物线的对称轴20 xa 7分 当424a 即02a时，2(,0)Ma 且()4f M 令2424axx 解得242axa 8分 此时M取较大的根，即2422422aMaa 9分 02a，21422Ma 10分 当424a 即2a 时，2Ma 且 4f M 令2424axx解得246axa 11分 此时M取较小的根，即2466462aMaa 12分 2a，63462Ma 当且仅当2a 时取等号 13分 由于31 ，所以当2a 时，M取得最小值3 14 分 解法二：对任意,0 xM时，“4f x|()|恒成立”等价于“4f xmax()且4f x min()”由（2）可知实数a的取值范围是(0,)故2()42f xaxx的图象是开口向上，对称轴20 xa 的抛物线7分 当20Ma时，()f x在区间,0M上单调递增，f xmax()(0)24f ，要使M最小，只需要 2424f xf MaMM min()()8 分 若1680a 即2a 时，无解 若1680a 即02a时，9 分 解得2422aMaa （舍去）或2421aMa 故1M （当且仅当2a 时取等号）10 分 当2Ma 时，()f x在区间2,Ma上单调递减，在2(,0a递增，(0)24,f 24()24faa 则2a，11 分 要使M最小，则2424f MaMM()即 2460aMM 12分 解得2462aMaa （舍去）或24663462aMaa （当且仅当2a 时取等号）13分 综上所述，当2a 时，M的最小值为3.14分