正弦函数、余弦函数的性质(一).pdf

环节二 正弦函数、余弦函数的性质（一）整体感知 问题 1 根据以往研究函数的思路可知，通过定义得到函数的图象之后，接下来应该借助函数的图象研究其性质类比以往对函数性质的研究，你认为应该研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？答案：根据研究函数的经验，我们应该研究正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最大（小）值等另外，从前面的研究中和函数图象中，我们都可以看到，三角函数具有“周而复始”的变化规律，这是三角函数所具有的特别而重要的性质：周期性 新知探究 1探究性质周期性 问题 2 正弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律周期性，类比函数单调性和奇偶性的定义，接下来应该学习如何用符号语言刻画这一性质（1）观察正弦函数的图象，可以发现，它的图象每隔 2 重复出现一次，也就是说，横坐标每隔 2 个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这个变化规律如何用数学式子表示？余弦函数呢？答案：对任意的 xR，都有 sin(x+2)=sinx对任意的 xR，都有 cos(x+2)=cosx（2）由此我们就说，正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们一个周期都可以是 2 由特殊到一般，对于一般函数 y=f(x)，如果它是周期函数，它有一个周期 T，那么它满足的代数关系是什么？图象特征是什么？答案：对于一般函数 y=f(x)，如果它是周期函数，它有一个周期 T，那么也就是说当 x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)周期函数的图象特征是每隔一个周期就会重复出现 问题 3 结合问题 2，请试着说一说什么叫周期函数？什么叫周期？然后阅读课本，写出定义 定义：一般地，设函数 f(x)的定义域为 D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个xD，都有 x+TD，且 f(x+T)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数非零常数 T 叫做这个函数 f(x)的周期 追问 1 根据周期函数的定义，4 是正弦函数的周期吗？为什么？你能表示出正弦函数的所有周期吗？余弦函数呢？答案：4 是正弦函数的周期，因为对任意的 xR，都有 sin(x+4)=sinx常数 2k(k 0)都是正弦函数的周期同理，常数 2k(k0)也都是余弦函数的周期 追问2 我们知道，sin(32+3)=sin(32)，sin(3+3)=sin3，sin(34+3)=sin34，那么3是正弦函数 y=sinx 的一个周期吗？为什么？答案：不是 根据周期函数定义，必须对于 x 取正弦函数定义域内的每一个自变量的值，都有 sin（x+3）=sinx，3才是正弦函数 y=sinx 的一个周期而 sin(6+3)sin6，所以3不是正弦函数 y=sinx 的一个周期 追问 3 函数 f(x)=sinx，x0，4是周期函数吗？为什么？据此你发现周期函数的定义域必须具备什么特征？答案：不是因为对于任意非零常数 T，当 T0 时，40，4，但 4+T0，4，所以任意非零正数 T 不可能是 f(x)=sinx，x0，4的周期；同理，任意非零负数 T 也不可能是此函数的周期，所以 f(x)=sinx，x0，4不是周期函数 由此可得，周期函数的定义域必须有一边是无界的例如其定义域可以是（1，+），或（，0）等 问题 4 在正弦函数的周期中，是否存在一个最小的正数？如果存在，我们就称之为正弦函数的最小正周期阅读课本，写出函数 y=f(x)最小正周期的定义根据定义，正弦函数和余弦函数的最小正周期分别是什么？答案：存在最小正数 2 定义：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期根据定义，正弦函数和余弦函数的最小正周期都是 2 追问 最小正周期定义中有“如果”两个字，意思就是说对于周期函数 f(x)，可能不存在最小正周期，你能举出一个例子吗？答案：f(x)=5 由周期函数定义，可知任意非零实数都是它的周期，所以它是周期函数，但没有最小正周期 问题 5 知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？答案：知道了一个函数的周期，那么我们研究它的图象与性质时，就可以缩小研究范围，只要清楚一个周期内的图象与性质，整个定义域内的情况就都清楚了，提高了研究的效率 2应用性质 例 1 求下列函数的周期：(1)y3sin x，xR；(2)ycos 2x，xR；(3)y2sin621x，xR 追问 1 例 1 求解的依据是什么？思路是怎样的？方法是什么？答案：求解的依据是周期函数的定义和正弦函数、余弦函数的周期性求解思路是：找到一个非零常数 T，满足：当 x 取其定义域 D内的每一个值时，都有 x+TD，且 f(x+T)=f(x)方法是：通过换元将问题转化为正弦、余弦函数的周期问题 解：（）xR，有 3sin(x+2)=3sinx，由周期函数的定义可知，原函数的周期为 2（）令 z2x，由 xR 得 zR，且 y=cosz 的周期为 2，即 cos(z+2)cosz，于是cos(2x+2)cos2x，所以 cos2(x+)cos2x，xR 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 （3）令 z621x，由 xR 得 zR，且 y=2sinz 的周期为 2，即 2sin(z+2)2sinz，于是2sin(621x+2)2sin(621x)，所以2sin6)4(21x2sin(621x)，xR 由周期函数的定义可知，原函数的周期为 4 追问 2 对于形如 ysin(x+)的函数，它的周期求解的步骤是什么？这些函数的周期与解析式中哪些量有关？答案：对于形如 yAsin(x+)的函数的周期问题，求解的步骤如下：第一步，先用换元法转换：比如对于“（2）ycos 2x，xR”，令 2xt，所以 yf(x)cos 2xcos t；第二步，利用已知的三角函数的周期找关系：由 cos(2+t)cost，代入可得：cos（2+2x）cos2x；第三步，根据定义变形：变形可得：cos2(+x)cos2x，于是就有 f(x+)f(x)；第四步，确定结论：根据定义可知其周期为 周期与自变量的系数有关仿照上述分析过程可得函数 yAsin(x+)的周期为：T2一般地，如果函数 yf(x)的周期是 T，那么函数 yf(x)的周期是T 3探究性质奇偶性 问题 6 知道一个函数的周期性，可以提高函数的研究效率除此之外，还有哪条函数性质也具有此项功能？为什么？答案：知道一个函数的奇偶性，同样也可以提高函数的研究效率因为奇、偶函数的图象分别关于原点、y 轴对称，所以只需要搞清楚函数在 y 轴右侧的图象与性质，那么，整个定义域内的图象与性质就都知道了 问题 7 观察正弦曲线和余弦曲线，你认为正弦函数、余弦函数是否具有奇偶性？若有，请试着从代数的角度进行证明 答案：观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于 y轴对称，所以正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数 由诱导公式 sin(x)=sinx，cos(x)=cosx，可知，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数 4应用性质 例 2 判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x2cosx；（2）f(x)=x3+sinx 解：（1）函数的定义域为 R，且 f(x)=(x)2cos(x)=x2cosx=f(x)，所以 f(x)=x2cosx 为偶函数（2）函数的定义域为 R，且 f(x)=(x)3+sin(x)=x3sinx=f(x)，所以 f(x)=x3+sinx为奇函数 归纳总结 问题 8（1）本节课利用正弦函数、余弦函数的图象，探究了它们的周期性和奇偶性 你能概括一下探究的思路吗？你能说说什么是周期函数？为什么选择先探究函数的周期性和奇偶性？正、余弦函数的周期性和奇偶性分别是什么？（2）你能否在上节课的基础上完善本单元的知识结构图？答案：（1）周期性采用的是由特殊到一般的探究思路：描述正弦函数、余弦函数周期性的图象特征；用自然语言借助坐标描述正弦函数、余弦函数的周期性；用符号语言表示正弦函数、余弦函数的周期性；用符号语言表示一般周期函数的特征 正弦函数、余弦函数的奇偶性，是在一般函数观念指导下展开研究 明确了一个函数的周期性或者奇偶性，研究它的图象与性质时，就可以缩小研究范围，只要清楚定义域上一部分的图象和性质，整体定义内的图象与性质就都知道了，提高了研究的效率 （2）周期性 单位圆 三角函数定义 正弦函数的图象 余弦函数的图象 正弦、余弦函数的性质 应 用 奇偶性