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高中物理 高中物理 物理总复习：功和功率 【考纲要求】1、理解功、功率、平均功率、瞬时功率等概念含义；2、知道功的正负的物理意义；掌握恒力做功特点及计算方法；3、会分析机车在恒定功率或恒定牵引力作用下运动状态的变化情况；4、会计算变力的功；5、知道摩擦力做功的多种情况。【知识网络】【考点梳理】考点一、功 1、功的定义 一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力对物体做了功。2、做功的两个必要因素 力和物体在力的方向上发生的位移，缺一不可。3、功的物理意义：功是能量变化的量度 能量的转化跟做功密切相关，做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功就有多少能量发生了转化，功是能量转化的量度。4、公式 （1）当恒力 F 的方向与位移l的方向一致时，力对物体所做的功为WFl。（2）当恒力 F 的方向与位移l的方向成某一角度时，力 F 物体所做的功为cosWFl即力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移的夹角的余弦这三者的乘积。5、功是标量，但有正负 功的单位由力的单位和位移的单位决定。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是 J。要点诠释：一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功（取绝对值）。这两种说法在意义上是相同的。例如竖直向上抛出的球，在向上运动的过程中，重力对球做了6J 的功，可以说成球克服重力做了 6J的功。由cosWFl，可以看出：当=0 时，cos1，即WFl，力对物体做正功；当090时，0cos1，力对物体做正功。两种情况都是外界对物体做功。当90时，力与位移垂直，cos0 0W，即力对物体不做功，即外界和物体间无能量交换；当90180时，cos0，力对物体做负功,也称物体克服这个力做了功；当cos180时，cos1，此时WFl，即力的方向与物体运动位移的方向完全相反，是物体运动的阻力。两种情况都是物体对外界做功。6、合力的功 要点诠释：（1）当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力的合力对物体所做的功，等于各高中物理 高中物理 个力分别对物体所做功的代数和，即123+WWWW合（2）也可先求合外力，再求合外力的功；先求出物体受到的合力F合，再由cosWF l合合求解，但应注意应为合力与位移l的夹角，F合在运动过程中保持不变。（3）也可用动能定理求解。7、变力做功的求解方法 （1）用动能定理或功能关系（功是能量转化的量度）（2）将变力的功转化为恒力的功 当变力的功率 P 一定时，可用WPt求功，如机车牵引力做的功。考点二、功率 1、功率是描述力做功快慢的物理量，是功与所用时间的比值。定义式WPt 导出式cosPFv（其中中F和v两矢量的夹角）中求出的 P 为平均功率，若功率一直不变，亦为瞬时功率。式中若v为平均速率，则 P 为平均功率；若v为瞬时速率，则 P 为瞬时功率。一般情况下，求平均功率使用WPt，求瞬时功率使用cosPFv。2、功率的单位是瓦特。3、额定功率和实际功率 额定功率是指任意机械在正常条件下可以长时间工作而不损坏机械的最大输出功率，实际功率是指机械实际工作时的功率。一般情况下，实际功率可以小于或等于额定功率，而在特殊情况下实际功率可以超过额定功率，只能是较短时间，但尽量避免。4、力的功率 当力 F 和速度v在一条直线上，力的功率PFv；当 F 与v垂直，则 F 的功率 P=0；当 F 与v成任意夹角，则 F 的功率cosPFv。5、机车的启动的两种方式：（1）机车以恒定的功率启动 要点诠释：机车以恒定的功率启动后，若运动过程中所受阻力f不变，由于牵引力PFv，随v增大，F 减小，根据牛顿第二定律FfPfammvm，当速度v增大时，加速度a减小，其运动情况是做加速度减小的加速运动，直至Ff时，a减小至零，此后速度不再增大，速度达到最大值而做匀速运动，做匀速直线运动的速度是mPvf。这一过程的v t关系如图所示。（2）车以恒定的加速度启动 要点诠释：由Ffam知，当加速度a不变时，发动机牵引力 F 恒定，再由PFv知，F 一定，发动机实际输出功率 P 随v的增大而增大，但当 P 增大到额定功率以后不再增大，此后，发动机保持额定功率不变，v继续增大，牵引力 F 减小，直至Ff时，a0，车速达到最大值mPvf额，此后匀速运动。高中物理 高中物理 在 P 增至P额之前，车匀加速运动，其持续时间为00)PPvtaFamaf a额额（这个0v必定小于mv，它是车的功率增至P额之时的瞬时速度）。计算时，利用Ffma，先算出 F，再求出0PvF额，最后根据vat求0t；在 P 增至P额之后，为加速度减小的加速运动，直至达到mv。这一过程的v t关系如图所示。注意数形结合：第一段牵引力（加速度）恒定，就根据牛顿第二定律和运动学求解，属于恒力做功；第二段，变力做功，根据动能定理求解。【典型例题】类型一、恒力做功的分析和计算 恒力做功的计算一般根据公式cosWFl，注意l严格的讲是力的作用点的位移。例 1、用 50 N 的力拉一个质量为 10kg 的物体在水平地面上前进，如图所示若物体前 进了 10m，求：（1）拉力 F 做的功 W1；（2）重力 G 做的功 W2；（3）如果物体与水平面间动摩擦因数0.1，物体克服阻力 做功 W；（4）外力做的总功。（sin37o=0.60，cos37o=0.80，g=10m/s2）【答案】400J；0；70J 330J【解析】（1）拉力的功：1cos50 10 cos37400WFlJJ 做正功。（2）重力 G 做的功:沿重力方向没有位移，20W 重力不做功。（3）物体克服阻力做功：摩擦力fN sin37NmgF (sin37)7fmgFN 所以 3cos1807 1070WflJJ 做负功。（4）外力做的总功：支持力不做功。13=40070330WWWJ总 或者：求合外力的功。合外力：=cos3750 0.8733FFfN合 =33 10330WF lJ合合 高中物理 高中物理【总结升华】力与位移夹角的余弦通常用正交分解法将力分解后，用分力进行计算。外力做的总 功与合外力的功相等。举一反三【变式】在水平粗糙地面上，使同一物体由静止开始做匀加速直线运动，第一次是斜向上的拉力 F，第二次是斜向下的推力 F。两次力的作用线与水平方向间的夹角相同，力的大小也相同，位移大小也相同则（）A力 F 对物体做的功相同，合力对物体做的总功也相同 B力 F 对物体做的功相同，合力对物体做的总功不相同 C力 F 对物体做的功不相同，合力对物体做的总功相同 D力 F 对物体做的功不相同，合力对物体做的总功也不相同【答案】B【解析】根据cosWFl求 F 做的功；合力做的功可用两种方法求解：cosWF l合合；123+WWWW合。根据恒力做功的公式cosWFl，由于 F、l、都相同，故力 F 做功相同。求合力的功时，先进行受力分析，受力图如图所示。解法一：由于斜向上拉和斜向下推物体而造成物体对地面的压力不同，从而使滑动摩擦力fN的大小不同，因而合力=cosFFf合不同，所以由cosWF l合合知W合不相同。B 对。解法二：因重力和支持力不做功，只有 F 和f做功，而 F 做功cosFWFl相同，但摩擦力做功fWfl，因f不同而不同，所以由FfWWW合知W合不相同。【总结升华】合力做功的计算：合力做的功等于各力做功的代数和。即123+WWWW合；先求出物体受到的合力F合，再由cosWF l合合求解，但应注意应为合力与位移l的夹角，F合在运动过程中保持不变。类型二、变力做功的计算 高中物理 高中物理 将变力做功转化为恒力做功，常见的方法有三种：1如力是均匀变化的可用求平均力的方法将变力转化为恒力。2耗散力（如空气阻力）在曲线运动（或往返运动）过程中，所做的功等于力和路程的乘积，不是力和位移的乘积，可将方向变化大小不变的变力转化为恒力来求力所做的功。3通过关联点的联系将变力做功转化为恒力做功。例 2、人在 A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量 m=50 kg 的重物，如图所示，开始时绳与水平方向夹角为60，当人匀速提起重物由 A 点沿水平方向运动2lm而到达 B 点，此时绳与水平方向成30角，求人对绳的拉力做了多少功？(取210/gm s）【答案】732WJ【解析】人对绳的拉力的方向时刻在变化，而已知的位移l是人沿水平方向走的距离，因 此不能用cosWFl直接求拉力的功，但人对绳的拉力做的功和绳对物体的拉力做的功是相等的。在重物匀速上升过程中，绳的拉力恒等于重力。设滑轮距人手的高度为h，人走过的距离l tan30tan60BAhhlxx 求得 3h 绳与水平方向夹角为60时，绳长为1l 1sin60hl 1sin60hl 绳与水平方向夹角为30时，绳长为2l 2sin30hl 2sin30hl 人由 A 到 B 的过程中重物上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，即 21sin30sin60hhhll 求得 2(31)h 而人对绳子拉力做功Wmg h 高中物理 高中物理 由式代入数据解得 732WJ。【总结升华】本题虽然绳子的拉力不变，但人拉绳的方向在变化，就只能用能量的观点来处理；当力的大小不变而方向变化时，此时公式WFl中的“l”可理解为“路程”。举一反三【变式】如图所示，用竖直向下的力 F 通过定滑轮拉质量为 m 的木块，从位置 A 拉到位置 B.在两个位置上拉物体的绳与水平方向的夹角分别为 和.设滑轮距地面高为 h，在此过程中恒力 F 所做的功为_。【答案】Fh(sin1sin1)提示：绳子长度的减少量等于力 F 的位移。类型三、功率的计算 例 3、如图所示，质量 m=2 的木块在倾角37的斜面上由静止开始下滑，木块与 斜面间的动摩擦因数为 0.5，(已知210/gm s，sin370.6，cos370.8)求：（1）前 2s 内重力做的功；（2）前 2s 内重力的平均功率；（3）2s 末重力的瞬时功率。【答案】（1）48J（2）24W（3）48W【解析】可先由sinWFl来计算重力的功，再由WPt来计算重力的平均功率。由PFv求重力的瞬时功率。（1）木块的加速度 sincosmgmgma 2sincos2/aggm s 前 2s 内木块的位移 2142xatm 所以，重力在前 2s 内做的功为sin48WmgxJ 高中物理 高中物理 （2）重力在前 2s 内的平均功率为 24WPWt （3）木块在 2s 末的速度4/vatm s 重力在 2s 末的瞬时功率 sin48PmgvW。注意：公式中 cosPFv 夹角指的是力与速度方向夹角，本题重力与速度的夹角为90，所以计算式中是 sin。也可以理解为重力沿斜面方向的分力乘以速度（或竖直分速度乘以重力）。【总结升华】本题考查平均功率与瞬时功率的计算方法，平均功率一般用WPt求解，瞬时功率一般用cosPFv求解，应理解为力与速度方向夹角的余弦的乘积，不要题目给哪个角就用哪个角。实际上采用“分解法”较好，就是说：求重力的功率时，速度与重力的方向不同，就将速度分解到竖直方向，或者说用竖直方向的分速度乘以重力，就是重力的瞬时功率。举一反三【变式】（2016 全国卷）两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关若它们下落相同的距离，则()A甲球用的时间比乙球长 B甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小 C甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小 D甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功 【答案】BD 【解析】设 fkR，则由牛顿第二定律得 F合mgfma，而343mR，故243kagR，由 m甲m乙、甲乙可知 a甲a乙，故 C 错误；因甲、乙位移相同，由 v22ax 可知，v甲v乙，B 正确；由212xat可知，t甲f乙，则 W甲克服W乙克服，D 正确 故选 BD。【高清课堂：功和功率例 6】例 4、跳绳是一种健身运动。设某运动员的质量是 50kg，他一分钟跳绳 180 次。假定在 每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的 2/5，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是_W。(g 取 10m/s2)【答案】75W；【解析】运动员跳跃一次的时间6011803tss 在空中的时间1311535tss 上升过程的时间121210tts 上升的高度221111102210020hgtmm 跳绳一次克服重力做功150 102520WmghJJ 高中物理 高中物理 运动员跳绳时克服重力做功的平均功率25751 3WPWWt【总结升华】求平均功率必须先求出功，这是求重力的功，显然要求高度，上升过程是竖直上抛运动，据对称性，上升的时间等于落回原地的时间，题目给的是脚与地面的接触时间，就可以求出跳一次在空中的时间，解题的关键就是求上升过程的时间时间。【高清课堂：功和功率例 5】【变式】人的心脏每跳一次大约输送 810-5m3的血液，正常人血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值约为 1.5104Pa，心跳约每分钟 70 次。据此估测心脏工作的平均功率约为_W。【答案】1.4W 【解析】人的心脏每跳一次输送的血液看作长为 L，截面积为 S 的液柱，心脏每跳一次需做的功为FLpSLp V 心跳每分钟 70 次，则心脏工作的平均功率为 4570 1.5 108 101.460nWPWWt 类型四、机车运动中的功率及图像问题 1、分析功率的大小可用：PFv；WPt 2、结合v t图象解决机动车运动过程中的功和功率问题，首先要明确不同力的功和功率。3、对v t图象进行分析时，要判断出物体的运动性质：匀加速、匀速、变加速、变减速，进而分析出牵引力和阻力的大小关系，根据PFv分析力的变化情况。例 5、（2015 全国卷）一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率 P 随时间 t 的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小 f 恒定不变。下列描述该汽车的速度 v 随时间 t 变化的图像中，可能正确的是 【答案】A【解析】由图可知，汽车先以恒定功率 P1起动，所以刚开始做加速度减小的加速度运动，后以更大功率 P2运动，所以再次做加速度减小的加速运动，故 A 正确，B、C、D 错误。属于机车起动问题。举一反三【变式】汽车以恒定功率 P、初速度0v冲上倾角一定的斜坡时，汽车受到的阻力恒定不变，则汽车上坡过高中物理 高中物理 程的 v-t 图可能是下图中的（）【答案】BCD【解析】汽车牵引力为PFv，汽车沿斜面向下的分力为sinmg，汽车冲上斜坡时，如果sinPmgfv，合力为零，汽车将做匀速直线运动，B 对。如果sinPmgfv，汽车将做加速度减小的加速运动，最后匀速运动，C 对。如果sinPmgfv，汽车将减速上坡，但随着牵引力Pv的增大，减速的加速度逐渐减小，最后匀速运动，D 对。汽车不可能做匀加速运动，A 错。【高清课堂：功和功率例 4】例 6、一质量为 4.0103kg 的汽车从静止开始以加速度 a=0.5m/s2做匀加速直线运动，其发动机的额定功率 P=60kW，汽车所受阻力为车重的 0.1 倍，g=10m/s2，求 (1)启动后 2s 末发动机的输出功率 (2)匀加速直线运动所能维持的时间 (3)汽车所能达到的最大速度【答案】(1)6000W；（2）20s；（3）15m/s；【解析】汽车以恒定加速度启动，牵引力恒定，阻力0.14000fmgN （1）根据牛顿第二定律 Ffma 6000FmafN 1/vatm s 6000PFvW （2）匀加速运动结束时的实际功率等于额定功率 速度 3160 10/10/6000Pvm sm sF 11vat 1120vtsa （3）当牵引力等于阻力时速度达到最大 3max60 1015/4000Pvm sf【总结升华】做题时可以画出速度时间图像，第一段匀加速直线运动，第二段做加速度减小的加速度运动，如图例 5。