2020高中数学第2讲证明不等式的基本方法反证法与放缩法学案4-.pdf
学必求其心得，业必贵于专精 -1-三 反证法与放缩法 学习目标：1.掌握用反证法证明不等式的方法(重点)2。了解放缩法证明不等式的原理,并会用其证明不等式(难点、易错易混点)教材整理 1 反证法 阅读教材 P26P27“例 2”及以上部分，完成下列问题 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理,得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法 如果两个正整数之积为偶数，则这两个数（)A两个都是偶数 B一个是奇数，一个是偶数 C至少一个是偶数 D恰有一个是偶数 C 假设这两个数都是奇数,则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数 学必求其心得，业必贵于专精 -2-教材整理 2 放缩法 阅读教材 P28P29“习题”以上部分，完成下列问题 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法 若|ach，|bch，则下列不等式一定成立的是(）Aab2h Bab|2h Cabh D|abh A ab|(ac）（bc）ac|bc|2h.利用反证法证“至多”“至少”型命题【例 1】已知f(x）x2pxq,求证：(1）f(1)f（3）2f(2）2；(2）|f（1）|,f（2）,|f(3)中至少有一个不小于错误!。精彩点拨（1）把f（1)，f（2），f（3)代入函数f（x）求值推算可得结论（2）假设结论不成立，推出矛盾，得结论 自主解答(1）由于f（x）x2pxq，f(1)f（3）2f(2）学必求其心得，业必贵于专精 -3-（1pq)(93pq)2(42pq）2.(2）假设f(1），|f(2），|f（3）都小于12，则有f(1）2f(2）|f（3）|2.（*）又f(1)|2|f（2)|f（3)f（1）f(3）2f（2）（1pq）（93pq）（84p2q）2，|f(1）2f(2)|f（3)|2 与(*）矛盾，假设不成立 故f（1），f(2)，f(3)|中至少有一个不小于错误!。1在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立 2在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾 1已知实数a，b,c，d满足abcd1,acbd1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数 证明 a，b，c,d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负学必求其心得，业必贵于专精 -4-数，故有假设a，b，c，d都是非负数 即a0，b0，c0,d0，则 1(ab)（cd）(acbd)（adbc)acbd。这与已知中acbd1 矛盾，原假设错误，故a，b，c，d中至少有一个是负数 即a，b，c，d中至多有三个是非负数.利用放缩法证明不等式【例 2】已知an2n2,nN*，求证：对一切正整数n，有错误!错误!错误!错误!。精彩点拨 针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项 自主解答 当n2 时,an2n22n(n1)，错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，错误!错误!错误!1错误!错误!错误!错误!1错误!错误!112错误!错误!错误!错误!,即错误!错误!错误!错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -5-1放缩法在不等式的证明中无处不在,主要是根据不等式的传递性进行变换 2 放缩法技巧性较强,放大或缩小时注意要适当,必须目标明确，合情合理，恰到好处,且不可放缩过大或过小，否则,会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略 2求证:1错误!错误!错误!2错误!（n2,nN）证明 k2k(k1）,错误!错误!错误!错误!（kN，且k2)分别令k2,3，n得 错误!错误!1错误!，错误!错误!错误!错误!,，错误!错误!错误!错误!.因此 1错误!错误!错误!1错误!错误!错误!11错误!2错误!.故不等式 1错误!错误!错误!2错误!（n2，nN）。利用反证法证明不等式 探究问题 学必求其心得，业必贵于专精 -6-1反证法的一般步骤是什么？提示 证明的步骤是：(1）作出否定结论的假设；(2）从否定结论进行推理，导出矛盾；（3)否定假设,肯定结论 2反证法证题时常见数学语言的否定形式是怎样的?提示 常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设有：常见词语 至少有一个 至多有一个 唯一一个 是 有或存在 全 都是 否定假设 一个也没有 有两个或两个以上 没有或有两个或两个以上 不是 不存在 不全 不都是【例 3】已知ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：B90。精彩点拨 本题中的条件是三边间的关系错误!错误!错误!,而要证明的是B与 90的大小关系结论与条件之间的关系不明显,考虑用反证法证明 自主解答 a，b，c的倒数成等差数列，错误!错误!错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -7-假设B90不成立，即B90,则B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，ba0，bc0,1b错误!，错误!错误!，错误!错误!错误!,这与错误!错误!错误!相矛盾 假设不成立，故B90成立 1本题中从否定结论进行推理,即把结论的反面“B90”作为条件进行推证是关键要注意否定方法，“”否定为“”，“”否定为“”等 2利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论 3若a3b32，求证：ab2.证明 法一 假设ab2，a2abb2错误!错误!错误!b20,故取等号的条件为ab0,显然不成立，学必求其心得，业必贵于专精 -8-a2abb20。则a3b3（ab)(a2abb2）2(a2abb2)，而a3b32，故a2abb21,1aba2b22ab，从而ab1，a2b21ab2,（ab）2a2b22ab2,则a2b，故 2a3b3（2b）3b3,即 2812b6b2，即(b1)20，这显然不成立,从而ab2.法三 假设ab2，则（ab)3a3b33ab(ab)8.由a3b32，得 3ab（ab）6，故ab(ab）2。又a3b3(ab)(a2abb2)2，ab(ab）(ab）(a2abb2），a2abb2ab，即(ab)20。这显然不成立，故ab2。学必求其心得，业必贵于专精 -9-1实数a，b，c不全为 0 的等价条件为（）Aa，b,c均不为 0 Ba，b，c中至多有一个为 0 Ca，b,c中至少有一个为 0 Da，b，c中至少有一个不为 0 D 实数a,b，c不全为 0 的含义即a，b,c中至少有一个不为 0，其否定则是a，b，c全为 0，故选 D.2已知abc0，abbcac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0 时的假设为（）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca,b,c不全是正数 Dabc0 C a0,b0，c0 的反面是a，b，c不全是正数,故选 C。3要证明错误!错误!2错误!，下列证明方法中，最为合理的是学必求其心得，业必贵于专精 -10-（）A综合法 B放缩法 C分析法 D反证法 C 由分析法的证明过程可知选 C。4A1错误!错误!错误!与错误!（nN)的大小关系是_ 解析 A错误!错误!错误!错误!错误!错误!.答案 A错误!5若x，y都是正实数，且xy2.求证：错误!2 和错误!2 中至少有一个成立 证明 假设错误!2 和错误!0 且y0,所以 1x2y，且 1y2x,两式相加，得 2xy2x2y,所以xy2,这与已知条件xy2 矛盾，因此错误!2 和错误!2 中至少有一个成立
