2020高中数学第章导数及其应用.2.导数的四则运算法则讲义2-.pdf

学必求其心得，业必贵于专精 -1-1。2。3 导数的四则运算法则 学 习 目 标 核 心 素 养 1熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数（重点)2掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数（难点)3掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数(易混点)1通过学习导数的四则运算法则，培养学生的数学运算素养 2 借助复合函数的求导法则的学习，提升学生的逻辑推理、数学抽象素养.一、导数的运算法则 1和差的导数 f（x）g(x)f（x)g（x)2积的导数(1）f(x）g（x)f（x)g(x）f(x）g（x）；(2）cf（x）cf（x)3商的导数 学必求其心得，业必贵于专精 -2-错误!错误!错误!，g（x）0。二、复合函数的概念及求导法则 复合函数的概念 一般地,对于两个函数yf（u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug（x)的复合函数,记作yf（g(x）)。复合函 数的求 导法则 复合函数yf（g(x）)的导数和函数yf(u),ug（x)的导数间的关系为错误!错误!错误!，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1判断(正确的打“，错误的打“”）（1）若f（x)2x，则f(x)x2。(2)已知函数y2sin xcos x，则y2cos xsin x(3)已知函数f(x)（x1)(x2),则f（x)2x1 解析（1）由f（x）2x，则f(x）x2c.（2)由y2sin xcos x，则y（2sin x)（cos x）2cos xsin x.(3）由f(x）（x1)(x2)x23x2，学必求其心得，业必贵于专精 -3-所以f(x)2x3。答案（1）(2）（3)2函数f（x)xex的导数f（x)（）Aex(x1）B1ex Cx(1ex)Dex(x1)解析 f(x）xexx(ex)exxexex(x1)，选 A。答案 A 3函数f(x）sin(x)的导函数f（x）_。解析 f（x)sin（x)cos(x)（x）cos x。答案 cos x 导数四则运算法则的应用【例 1】求下列函数的导数(1)yx2x2；(2）y3xex2xe；(3)yln xx21;学必求其心得，业必贵于专精 -4-（4）yx2sin 错误!cos错误!.解(1）y2x2x3.(2）y（ln 31）（3e)x2xln 2.（3）y错误!.（4)yx2sin错误!cos错误!x2错误!sin x，y2x错误!cos x.1解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分 2对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式,当不易直接应用导数公式时,应先对函数进行化简（恒等变形)，然后求导这样可以减少运算量，优化解题过程 1(1)设函数f(x)错误!x3错误!x2tan,其中错误!，则导数f(1）的取值范围是()A 2，2 B 2,错误!C 错误!，2 D 错误!，2（2）已知f（x)错误!,若f（x0）f（x0）0，则x0的值为_ 解析（1)f(x）sin x2错误!cos x，学必求其心得，业必贵于专精 -5-f（1）sin 错误!cos 2sin错误!，错误!，sin错误!错误!，2sin错误!错误!，2（2）f（x)错误!错误!（x0)由f（x0)f(x0)0，得 错误!错误!0，解得x0错误!。答案（1)D（2）错误!复合函数的导数【例 2】求下列函数的导数（1)ye2x1;（2）y12x13；（3)y5log2(1x）；（4)ysin3xsin 3x。思路探究 先分析函数是怎样复合而成的,找出中间变量，分层求导 解（1)函数ye2x1可看作函数yeu和u2x1 的复合学必求其心得，业必贵于专精 -6-函数，yxyuux（eu）(2x1)2eu2e2x1(2）函数y错误!可看作函数yu3和u2x1 的复合函数，yxyuux（u3）(2x1)6u4 6(2x1)4错误!.（3)函数y5log2（1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，yxyuux(5log2u)（1x)错误!错误!。(4）函数ysin3x可看作函数yu3和usin x的复合函数，函数ysin 3x可看作函数ysin v和v3x的复合函数 yx（u3）（sin x)(sin v）（3x)3u2cos x3cos v 3sin2x cos x3cos 3x。1解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2）若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成 学必求其心得，业必贵于专精 -7-2复合函数求导的步骤 2求下列函数的导数（1）y错误!；(2)ylog2（2x21)解（1）y错误!错误!错误!1错误!.设y1错误!，u1x，则yyuux（1u）（1x)错误!（1）错误!.（2）设ylog2u,u2x21，则yyuux错误!4x 错误!.导数法则的综合应用 探究问题 学必求其心得，业必贵于专精 -8-试说明复合函数y(3x2)2的导函数是如何得出的？提示：函数y(3x2）2可看作函数yu2和u3x2 的复合函数，yxyuux(u2)(3x2）6u6（3x2)【例 3】已知函数f（x）ax22ln（2x）（aR)，设曲线yf（x)在点（1,f（1）)处的切线为l，若直线l与圆C：x2y2错误!相切，求实数a的值 思路探究 求出导数f（1），写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解 解 因为f(1）a,f（x）2ax错误!(x2），所以f(1)2a2，所以切线l的方程为 2（a1)xy2a0。因为直线l与圆相切,所以圆心到直线l的距离等于半径，即d错误!错误!，解得a错误!。若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2y2错误!相交”，求a的取值范围 解 由例题知，直线l的方程为 2（a1)xy2a0。学必求其心得，业必贵于专精 -9-直线l与圆C:x2y2错误!相交，圆心到直线l的距离小于半径 即d错误!错误!。解得a错误!.关于复合函数导数的应用及其解决方法 1应用 复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用 2方法 先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用 1函数y(2 0198x)3的导数y()A3(2 0198x）2 B24x C24(2 0198x)2 D24(2 0198x）2 解析 y3（2 0198x)2（2 0198x）3（2 0198x)2（8)24（2 0198x)2。学必求其心得，业必贵于专精 -10-答案 C 2函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2x By2xcos 2x2x2sin 2x Cyx2cos 2x2xsin 2x Dy2xcos 2x2x2sin 2x 解析 y（x2）cos 2xx2（cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x）（2x)2xcos 2x2x2sin 2x。答案 B 3已知f（x)ln（3x1），则f(1）_。解析 f(x)13x1(3x1）错误!,f（1）错误!。答案 32 4（2019全国卷）曲线y3(x2x)ex在点（0,0)处的切线方程为_ 答案 y3x 5求下列函数的导数 学必求其心得，业必贵于专精 -11-（1）ycos(x3）；(2）y(2x1)3；(3）ye2x1 解(1)函数ycos（x3)可以看作函数ycos u和ux3 的复合函数,由复合函数的求导法则可得 yxyuux(cos u）（x3)sin u1sin usin（x3)(2）函数y（2x1）3可以看作函数yu3和u2x1 的复合函数，由复合函数的求导法则可得 yxyuux（u3）（2x1)3u226u26(2x1)2。（3)ye2x1（2x1）2e2x1