2020高中数学第一章导数及其应用.4生活中的优化问题举例课后课时精练2-.pdf
学必求其心得，业必贵于专精 -1-1。4 生活中的优化问题举例 A 级:基础巩固练 一、选择题 1某公司的盈利y（元）和时间x（天）的函数关系是yf(x），假设f(x)0 恒成立，且f(10)10，f（20)1,则这些数据说明第20 天与第 10 天比较（）A公司已经亏损 B公司的盈利在增加，且增加的幅度变大 C公司在亏损且亏损幅度变小 D公司的盈利在增加，但增加的幅度变小 答案 D 解析 导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了,但还是增加的 2某公司生产一种产品,固定成本为 20000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100 元，若总收入R与年产量x（0 x390)的关系是R(x)错误!400 x,0 x390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A150 B200 C250 D300 学必求其心得，业必贵于专精 -2-答案 D 解析 由题意可得总利润P(x)错误!300 x20000，0 x390，所以P（x)错误!300,由P（x)0，得x300。当 0 x300时，P（x)0，当 300400 时，函数为减函数,y20000 元因此，当x300 时,总利润y最大 5设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（)A错误!B错误!C错误!D2错误!答案 C 解析 设底面边长为x，高为h,错误!x2hV，h错误!错误!.S表2错误!x23xh错误!x2错误!（x0)，S（x)错误!x错误!,令S(x)0 可得 错误!x错误!，x34V，x错误!。当 0 x34V时，S（x)0）,则获得最大利润时的年产量为_百万件 答案 3 解析 依题意得，y3x2273（x3）(x3）,当 00；当x3 时，y0。因此，当x3 时，该商品的年利润最大 8某超市中秋前 30 天，月饼销售总量f（t）与时间t(0t30，学必求其心得，业必贵于专精 -5-tZ)的关系大致满足f（t）t210t12，则该超市前t天平均售出错误!的月饼最少为_ 答案 17 解析 记g（t）错误!t错误!10，g（t）1错误!，令g（t)0t2错误!。函数g（t)在区间(0，2错误!）上单调递减，在区间（23，30上单调递增，考虑到tZ，且g（3)g(4)17，g（t）最小值为 17。9.如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是_ 答案 错误!解析 设CDx，则点C坐标为错误!，点B坐标为错误!,所以矩形ABCD的面积Sf（x)x错误!错误!x，x（0，2）由f（x）错误!x210，得x1错误!(舍去），x2错误!,所以x错误!时，f（x）0,f(x）是递增的;x错误!时，f（x)0，f（x）是递减的，所学必求其心得，业必贵于专精 -6-以当x错误!时，f（x）取最大值错误!.三、解答题 10某工厂拟建一座平面图（如图所示)为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池,由于地形限制，长、宽都不能超过 16 米，如果池外周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建造单价为每米248 元,池底建造单价为每平方米 80 元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）写出总造价y（元）与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价 解 设长为x米，则宽为错误!米根据题意得错误!解得错误!x16.由y错误!4002错误!24820080800 x错误!16000错误!,则y800错误!.令y0，解得x18.因为函数定义域为错误!，且当错误!x16 时,y0,所以该函数在定义域内为单调减函数，即y在x16 处取得最小值，最小值为80016错误!1600045000。学必求其心得，业必贵于专精 -7-因此当污水处理池的长为 16 米,宽为 12.5 米时,总造价最低，为45000 元 B 级：能力提升练 11某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查,每年投入广告费t（单位：百万元），可增加销售额约为t25t(单位：百万元，且 0t5）(1)若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2）现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费x（单位:百万元），可增加的销售额约为错误!x3x23x（单位：百万元）请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大（注:收益销售额投入)解(1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f（t）百万元，则有 f(t)（t25t)tt24t(t2）24(0t3)，所以当t2 时，f(t）取得最大值 4，即投入 2 百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大 学必求其心得，业必贵于专精 -8-(2)设用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为（3x）百万元，又设由此获得的收益是g(x）,则g（x)错误!（3x)25(3x)313x34x3（0 x3)，所以g（x）x24。令g(x）0，解得x2(舍去）或x2。当 0 x2 时，g（x)0；当 2x3 时，g(x)0，故g（x）在0,2)上是增函数，在(2，3上是减函数，所以当x2 时，g（x)取最大值，即将 2 百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大 12某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数,2a5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为kex(e 为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为 40 元时,该产品的一年销售量为 500 万件，经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于 35 元,最高不超过 41 元(1）求分公司经营该产品一年的利润L(x）（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；学必求其心得，业必贵于专精 -9-(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L(x)最大？并求出L(x）的最大值 参考公式：(eaxb）aeaxb（a，b为常数)解（1）由于年销售量为Q（x)错误!，则错误!500，所以k500e40，则年售量为Q（x)错误!万件，则年利润L（x）（xa30）500e40ex500e40错误!(35x41）（2)L(x）500e40错误!。当 2a4 时,33a3135，当 35x41 时，L（x）0，所以x35 时,L(x）取最大值为 500（5a)e5。当 4a5 时，35a3136，令L(x）0,得xa31，易知xa31 时,L(x)取最大值为 500e9A 综上所述，当 2a4，每件产品的售价为 35 元时,该产品一年的利润最大，最大利润为 500(5a)e5万元;当 4a5，每件产品的售价为(31a)元时，该产品一年的利润最大,最大利润为 500e9a万元 学必求其心得，业必贵于专精 -10-
