2021届河南省南阳市第一中学高三上学期第二次月考(9月)数学(理)试题(解析版).pdf

努力的你，未来可期!精品 2021 届河南省南阳市第一中学高三上学期第二次月考（9 月）数学（理）试题 一、单选题 1设集合 A=x|x240，B=x|2x+a0，且 AB=x|2x1，则 a=（）A4 B2 C2 D4【答案】B【解析】由题意首先求得集合 A,B，然后结合交集的结果得到关于 a的方程，求解方程即可确定实数 a 的值.【详解】求解二次不等式240 x 可得：2|2Axx，求解一次不等式20 xa可得：|2aBx x.由于|21ABxx，故：12a，解得：2a .故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2命题p：0,2x，sinxx，则命题p是（）A0,2x，sinxx B0,2x，sinxx C00,2x，00sinxx D00,2x，00sinxx【答案】C【解析】原命题是全称命题，其否定为存在性量词命题，故按规则可写出原命题的否定.【详解】因为p：0,2x，sinxx，故p：00,2x，00sinxx.故选：C.【点睛】努力的你，未来可期!精品 全称命题的一般形式是：xM，p x，其否定为,xMp x.存在性量词命题的一般形式是xM，p x，其否定为,xMp x.3函数 2log21f xxx的零点必落在区间()A1,2 B1,12 C1 1,4 2 D1 1,8 4【答案】B【解析】由题意得 10f，102f，1 102ff，根据函数零点存在性定理可得出答案【详解】由题得211log1 11022f ，21log 1 2 1 10f ，而 1 102ff，根据函数零点存在性定理可得函数 f x在区间1,12上存在零点 故答案为 B.【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题 4 已知奇函数()f x满足()(4)f xf x，当(0,1)x时，()2xf x，则2log 12f（）A43 B2332 C34 D38【答案】A【解析】利用周期性和奇函数的性质可得，222log 12log 1244log 12fff，再根据指数运算和对数运算即可求得结果.【详解】由题意()(4)f xf x，故函数()f x是周期为 4 的函数，努力的你，未来可期!精品 由23log 124，则21log 1240，即204log 121，又函数()f x是定义在 R 上的奇函数，则2244 log 12222log 1224log 12log 1244log 12223fff ，故选 A.【点睛】本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题.5函数 ln1xxf xx的图象是（）A B C D【答案】A【解析】利用特殊点的函数值，由排除法得解【详解】解：3 2(3)203lnfln，故排除D；(1)20fln，故排除C；11()022fln，故排除B；故选：A【点睛】本题考查函数图象的确定，属于基础题 6已知函数(2)1,(1)()log,(1)aaxxf xx x，若()f x在(,)上单调递增，则实数a的取值范围为（）努力的你，未来可期!精品 A(1,2)B(2,3)C(2,3 D(2,)【答案】C【解析】利用分段函数的单调性列出不等式组，可得实数a的取值范围【详解】()f x在(,)上单调递增，则20121 1log 1aaaa 解得23a 故选：C【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查分段函数，端点值的取舍是本题的易错 7已知函数 xxf xx ee，对于实数ab，“0ab”是“0f af b”的().A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先判断出函数为奇函数，且为R的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为 xxxxfxx eex eef x ，所以 f x为奇函数，0 x 时，1xxfxx ee，f x在0,上递增，所以函数 f x在R上为单调增函数，对于任意实数a和b，若0ab，则 ,abf afb ，函数 f x为奇函数，f af b，0f af b，充分性成立；若 0f af b，则 f af bfb，努力的你，未来可期!精品 函数在R上为单调增函数，ab，0ab，必要性成立，对于任意实数a和b，“0ab”，是“0f af b”的充要条件，故选 C.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,pq qp.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8已知函数 2sintan1cosaxbxf xxx，若 10100f，则10f（）A100 B98 C102 D102【答案】D【解析】令 21g xf xx，根据奇偶性定义可判断出 g x为奇函数，从而可求得 10101gg，进而求得结果.【详解】令 2sintan1cosaxbxg xf xxx sintansintancoscosaxbxaxbxgxg xxx g x为奇函数 又 210101011gf 10101gg 即 210101 1f 10102f 本题正确选项：D【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，关键是能够通过构造函数的方式得到奇函数，利用奇函数的定义可求得对应位置的函数值.9已知函数 f x为R内的奇函数，且当0 x 时，e1cosxf xmx ，记 22af，1bf，33cf，则,a b c间的大小关系是（）努力的你，未来可期!精品 Abac Bacb Ccab Dcba【答案】C【解析】【详解】利用奇函数的性质 可得：001cos00,0femm，即当0 x 时，函数的解析式为：1xf xe，令 0g xxf xx，由函数的奇偶性的定义可得函数 g(x)是定义域内的偶函数，且：11xgxxe，1 1,1,11,110 xxxxexegxxe ，即函数 g x在区间0,上单调递减，且：22,11,3aggbggcg，结合函数的单调性可得：cab.本题选择 C选项.10若对lx，2,xm，且2lxx，都有122121lnln1xxxxxx，则m的最小值是()注：(e为自然对数的底数，即2.71828)e A1e Be C1 D3e【答案】C【解析】由题意，把问题等价于2121lnx1lnx1xx，令 lnx1f xx，根据函数的单调性，即可求解 m 的范围【详解】由题意，当l2xx0时，由122121x lnxx lnx1xx，等价于122121x lnxx lnxxx，即121212x lnxxx lnxx，故1221xlnx1xlnx1，故2121lnx1lnx1xx，令 lnx1f xx，则 21f xf x，努力的你，未来可期!精品 又21xxm0，故 f x在m,递减，又由 21 lnxfxx，当 f x0，解得：x1，故 f x在1,递减，故m1，故选 C【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数恒成立及转化思想，其中解答中把问题等价于2121lnx1lnx1xx，令 lnx1f xx，根据函数 f x的单调性求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11已知 f x是定义在R上的奇函数，且2f xfx当 0,1x时，21xf x ，则函数 21g xxf x在区间3,6上的所有零点之和为（）A2 B4 C6 D8【答案】D【解析】先分析得到函数 f x的周期和对称轴，再作出函数 g x的图象，利用对称性得解【详解】由题意得，2f xf x，42f xf xf x，即 f x周期为 4 2f xfx，f x的图象关于1x 对称作出 f x图象如图所示，则 21g xxf x的零点即为 yf x图象与12yx图象的交点的横坐标，四个交点分别关于点2,0对称，则14234,4xxxx，即零点之和为 8，故选:D 努力的你，未来可期!精品 【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力 12已知函数,0()2(1),0 xxmemxxf xexx（e为自然对数的底），若方程()()0fxf x有且仅有四个不同的解，则实数m的取值范围是（）A(0,)e B(,)e C(0,2)e D(2,)e 【答案】D【解析】首先需要根据方程特点构造函数 F xf xfx,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数 F x在0,上的零点个数，再转化成方程1e2xxm x解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【详解】因为函数 F xfxf x是偶函数，00F，所以零点成对出现，依题意，方程 0fxf x有两个不同的正根，又当0 x 时，e2xmfxmx，所以方程可以化为：eee02xxxmmxx，即1e2xxm x，记 e(0)xg xxx，e10 xg xx，设直线12ym x与 g x图像相切时的切点为,ett t，则切线方程为ee1ttyttxt，过点1,02，所以努力的你，未来可期!精品 1ee112tttttt 或12（舍弃），所以切线的斜率为2e，由图像可以得2em.选 D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.二、填空题 13若()f x对于任意实数x都有12()21f xfxx，则12f_.【答案】3【解析】由()f x对于任意实数x都有12()21f xfxx，列方程组，求出42()133f xxx，由此能求出12f的值【详解】解：()f x对于任意实数x都有12()21f xfxx，12()21122()1f xfxxff xxx，解得42()133f xxx，努力的你，未来可期!精品 141213123232f 故答案为：3【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 14曲线sinyx，30,2x与x轴所围成的如图所示的阴影部分面积是_.【答案】3【解析】利用定积分计算出阴影部分的面积.【详解】依题意，阴影部分的面积为332200sinsincos|cos|Sxdxxdxxx 33coscos0coscos2 coscos0cos322 .故答案为：3【点睛】本小题主要考查利用定积分计算面积，属于基础题.15已知实数,x y满足22241,xyy则2xy的最大值为_.【答案】2【解析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：222222412xyyxyy，故22xy，当22xyy，即3 28x，24y 时等号成立.故答案为：2.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.努力的你，未来可期!精品 16已知函数1ln()1()xkxf xekx R在(0,)上存在唯一零点0 x，则下列说法中正确的是 _.（请将所行正确的序号填在梭格上）2k；2k；00ln xx；0112xe.【答案】【解析】将问题转化为eln10 xxxxk 的根为0 x，令()eln1xg xxxxk，利用导数判断出函数的单调性，从而可得 00g x，代入得002,ln0kxx，令()lnh xxx，利用导数判断函数的单调性，可判断.【详解】由题意知()0f x 有唯一解0 x，即eln10 xxxxk 的根为0 x.令()eln1xg xxxxk，11()(1)e(1)exxxg xxxxx，令0g x（）得1exx，当0 x 时，1exx有唯一解t，满足e1tt，故()g x在(0,)t上单调递减，(,)t 上单调递增.又因为0 x，();,()g xxg x ，因此0tx，即 00g x，即0000eln1=0 xxxxk，整理可得00+ln=2xxk 故002,ln0kxx.另外，令1()ln,()10h xxx h xx，故h x（）在(0,)上单调递增，11111e10,ln2ln0ee2224hh ，故错误.故答案为：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了转化与化归的思想，属于中档题.三、解答题 17化简下列各式：努力的你，未来可期!精品（1）22.53105330.06438；（2）2lg2lg3111lg0.36lg1624【答案】（1）0；（2）1.【解析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；（2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】（1）根据指数幂的运算性质，可得原式22.5311536427110008 1521335233431102 531022.（2）由对数的运算性质，可得原式242lg2lg32lg2lg3112 31lg0.6lg21 lglg22410 2lg2lg32lg2lg311lg2lg3lg10lg22lg2lg3.【点睛】本题主要考查了指数幂和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.18已知奇函数21()21xxaf x的定义域为2,3 ab.（1）求实数a，b的值；（2）若2,3 xab ，方程2()()0f xf xm有解，求m的取值范围.【答案】（1）1a，1b；（2）1112481m.【解析】（1）由函数是奇函数，根据定义域关于原点对称和函数在0 x 有定义由230(0)0abf 求解.（2）由 3,3x，令21()21xxf xt，7799t，将方程努力的你，未来可期!精品 2()()0f xf xm有，转化为27799yttt 与ym有交点，利用数形结合法求解.【详解】（1）因为奇函数定义域关于原点对称，所以230ab .又函数在0 x 有定义，所以0021(0)021af，解得1a，1b.经检验符合题意.（2）3,3x，令21()21xxf xt，7799t，则方程2()()0f xf xm有解 等价于277099ttmt 有解，即27799yttt 与ym有交点.在同一坐标系中作出27799yttt 与ym的图象，如图所示：由图可知：当1112481m时有交点，即方程2()()0f xf xm有解，努力的你，未来可期!精品 所以m的取值范围是1112481m.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数的零点与方程的根，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19已知函数222()1()xxf xeaxeaxaR.（1）证明：当2xe时，2xex；（2）若函数 f x有三个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）2,4e.【解析】（1）要证明22(e)exxx，只需证明2lnxx即可；（2）2e0 xax有 3 个根，可转化为2exax有 3个根，即ya与2e()xh xx有 3个不同交点，利用导数作出()h x的图像即可.【详解】解：（1）当2xe时，要证2xex，两边取自然对数，即证2lnxx，令()2lng xxx，则2()1g xx，当2xe时，()0g x，故()g x在2,e上单调递增，所以 22()40g xg ee，即2lnxx，所以2xex.（2）由已知，2222()11xxxxf xeaxeaxeaxe 依题意，()f x有 3 个零点，而10 xe ，故20 xeax有 3 个根，易见 0不是其根，所以2xeax有 3个根，故ya与2xeyx有三个交点.令2()xeh xx，则3(2)()xexh xx，当2x 时，()0h x，当02x时，()0h x，当0 x 时，()0h x，故()h x在0,2单调递减，在(,0)，(2,)上单调递增，另外，易见2()0 xeh xx，故作出 h x的图像如下，努力的你，未来可期!精品 易得24ea 时ya与2xeyx有三个交点.故实数a的取值范围为2,4e.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，属于中档题.20已知函数()(2)(2)xf xaxee a.（）讨论()f x的单调性；（）当1x 时，()0f x，求a的取值范围.【答案】（1）见解析;（2）1)，.【解析】试题分析：（1）先求导数，再讨论2axa 符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于 10f，所以 1 得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得0a 且21aa，即得a的取值范围.试题解析：解：（1）2xfxaxa e，当0a 时，20 xfxe，f x在R上单调递减.当0a 时，令 0fx，得2axa；令 0fx，得2axa.f x的单调递减区间为2,aa，单调递增区间为2,aa.当0a 时，令 0fx，得2axa；令 0fx，得2axa.努力的你，未来可期!精品 f x的单调递减区间为2,aa，单调递增区间为2,aa.（2）当0a 时，f x在1,上单调递减，10f xf，不合题意.当0a 时，22222222220faee aaeeee，不合题意.当1a 时，20 xfxaxa e，f x在1,上单调递增，10f xf，故1a 满足题意.当01a时，f x在21,aa上单调递减，在2,aa单调递增，min210afxffa，故01a不满足题意.综上，a的取值范围为1,.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.21已知函数 ecos2xf xx，fx为 f x的导数.（1）当0 x 时，求 fx的最小值；（2）当2x 时，2ecos20 xxxxaxx恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）1；（2）1a.【解析】（1）求 fx，令 fx g x，求 g x的正负判断 g x的单调性，求出 g x的最小值，即为 fx的最小值.（2）令 ecos2xh xxax，即证当2x 时，0 x h x恒成立.由（1）可知，当0 x 时，1a成立，当,02x 时，分类讨论求a的范围即可.【详解】（1）esinxfxx，令 esinxg xx，0 x，则 ecosxg xx.当0,x时，g x为增函数，00gxg；当,x时，e10gx.故0 x 时，0gx，g x为增函数，故 min01g xg，努力的你，未来可期!精品 即 fx的最小值为 1.（2）令 ecos2xh xxax，esinxh xxa，则本题即证当2x 时，0 x h x恒成立.当1a时，若0 x，则由（1）可知，10h xa，所以 h x为增函数，故 00h xh恒成立，即 0 x h x恒成立；若,02x，则 ecosxhxx，esinxhxx在,02上为增函数，又 01h，2e102h ，故存在唯一0,02x，使得 00hx.当0,2xx 时，0hx，hx为减函数；0,0 xx时，0hx，hx为增函数.又2e02h，00h，故存在唯一1,02x 使得 10hx.故1,2xx 时，10hx，h x为增函数；1,0 xx时，10hx，h x为减函数.又2e102ha ，010ha，所以,02x 时，0h x，h x为增函数，故 00h xh，即 0 x h x恒成立；当1a 时，由（1）可知 esinxh xxa在0,上为增函数，且 010ha ，1110ahaea，故存在唯一20,x，使得 20h x.则当20,xx时，0h x，h x为减函数，所以 00h xh，此时 0 x h x，与 0 x h x恒成立矛盾.综上所述，1a.【点睛】本题考查利用导数求最值，考查利用导数证明恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于努力的你，未来可期!精品 难题.22在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为1,11txttyt（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为22123sin.（1）求l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；（2）求曲线 C上的点到l距离的最大值及该点坐标.【答案】（1）l的普通方程为210(1)xyx；曲线 C的直角坐标方程为22143xy（2）曲线 C上的点到直线l距离的最大值为5，该点坐标为31,2【解析】（1）先将直线l的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，即可得解，要注意去除杂点；将曲线 C的方程先去分母，再将siny，222xy代入，化简即可求解；（2）先将曲线 C的方程化为参数形式，再利用点到直线的距离公式，结合三角函数求最值，即可得解.【详解】解：（1）由1(1)221,111(1)111111ttxtttttyttt （t为参数），得1x.消去参数 t，得l的普通方程为210(1)xyx；将22123sin去分母得2223sin12，将222sin,yxy 代入，得22143xy，所以曲线 C的直角坐标方程为22143xy.（2）由（1）可设曲线 C的参数方程为2cos,3sinxy（为参数），则曲线 C 上的点到l的距离 努力的你，未来可期!精品 224cos1|2cos2 3sin1|351(2)d，当cos13，即2,3kk Z时，max555d，此时，2cos21,3()33sin232xkkyk Z，所以曲线 C上的点到直线l距离的最大值为5，该点坐标为31,2.【点睛】本题考查参数方程与普通方程、直角坐标和极坐标之间的转化，利用圆锥曲线的参数方程解决点到直线距离的问题，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题.23已知函数()1f xxx （1）求不等式()2f x 的解集；（2）设()f x的最小值为s，若0,0,0abc，且abcs，求1 3321abc的取值范围.【答案】（1）12x 或32；（2）1,3)3【解析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解；（2）先求出 s=1，再求出1 33|21|32|21|abccc，构造函数求取值范围.【详解】（1）12xx，由00112212xxxxxx ；由0112xxxx ；努力的你，未来可期!精品 由13122xxxx ；所以12x 或32.（2）()|1|1f xxx，1abc ，1 33|21|1 3(1)|21|32|21|abccccc ，01)c（.设135,0212()32211,23253,13ccg ccccccc,当012c时，函数单调递减，所以1(),3)2g c；当1223c时，函数单调递减，所以1 1(),)3 2g c；当213c时，函数单调递增，所以1()(,2)3g c 所以1(),3)3g c.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查三角绝对值不等式和绝对值的范围的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.