高中物理奥赛讲义(静电场)第一讲基本知.pdf

-静电场 第一讲 基本知识介绍 在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同，但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。如果把静电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合。一、电场强度 1、实验定律 a、库仑定律 内容；条件：点电荷，真空，点电荷静止或相对静止。事实上，条件和均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将 k 进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为 k=k/r）。只有条件，它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）。b、电荷守恒定律 c、叠加原理 2、电场强度 a、电场强度的定义 电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）。b、不同电场中场强的计算 决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出 点电荷：E=k2rQ 结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强，如 2322)Rr(kQr，其中 r 和 R 的意义均匀带电环，垂直环面轴线上的某点 P：E=见图 7-1。均匀带电球壳 内部：E内=0-外部：E外=k2rQ，其中 r 指考察点到球心的距离 如果球壳是有厚度的的（内径 R1、外径 R2），在壳体中（R1rR2）：E=2313rRrk34，其中为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解)Rr(3433即为图 7-2 中虚线以内部分的总电量。无限长均匀带电直线（电荷线密度为）：E=rk2 无限大均匀带电平面（电荷面密度为）：E=2k 二、电势 1、电势：把一电荷从 P 点移到参考点 P0时电场力所做的功 W 与该电荷电量 q 的比值，即 U=qW 参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。和场强一样，电势是属于场本身的物理量。W 则为电荷的电势能。2、典型电场的电势 a、点电荷 以无穷远为参考点，U=krQ b、均匀带电球壳 以无穷远为参考点，U外=krQ，U内=kRQ 3、电势的叠加 由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法。很显然，有了点电荷电势的表达式和叠加原理，我们可以求出任何电场的电势分布。4、电场力对电荷做功 WAB=q（UA UB）=qUAB 三、静电场中的导体 静电感应静电平衡（狭义和广义）静电屏蔽 1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义 a、导体内部的合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不等，表面的合场强方向总是垂直导体表面。b、导体是等势体，表面是等势面。c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。2、静电屏蔽 导体壳（网罩）不接地时，可以实现外部对内部的屏蔽，但不能实现内部对外部的屏蔽；导体壳（网罩）接地后，既可实现外部对内部的屏蔽，也可实现内部对外部的屏蔽。四、电容 1、电容器 孤立导体电容器一般电容器-2、电容 a、定义式 C=UQ b、决定式。决定电容器电容的因素是：导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类，所以不同电容器有不同的电容 平行板电容器 C=kd4Sr=dS，其中为绝对介电常数（真空中0=k41，其它介质中=k41），r则为相对介电常数，r=0。柱形电容器：C=12rRRlnk2L 球形电容器：C=)RR(kRR1221r 3、电容器的连接 a、串联 C1=1C1+2C1+3C1+nC1 b、并联 C=C1+C2+C3+Cn 4、电容器的能量 用图 7-3 表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功 W 就是图中阴影的面积，这也就是电容器的储能 E，所以 E=21q0U0=21C20U=21Cq20 电场的能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？正确答案是后者，因此，我们可以将电容器的能量用场强 E 表示。对平行板电容器 E总=k8SdE2 认为电场能均匀分布在电场中，则单位体积的电场储能 w=k81E2。而且，这以结论适用于非匀强电场。五、电介质的极化 1、电介质的极化 a、电介质分为两类：无极分子和有极分子，前者是指在没有外电场时每个分子的正、负电荷“重心”彼此重合（如气态的H2、O2、N2和 CO2），后者则反之（如气态的 H2O、SO2和液态的水硝基笨）b、电介质的极化：当介质中存在外电场时，无极分子会变为有极分子，有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列，如图7-4 所示。2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷 a、束缚电荷与自由电荷：在图 7-4 中，电介质左右两端分别显现负电和正电，但这些电荷并不能自由移动，因此称为束缚电荷，除了电介质，导体中的原子核和内层电子也是束缚电荷；反之，能够自由移动的电荷称为自由电荷。事实上，导体中存在束缚电荷与自由电荷，绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷，只是它们的比例差异较大而已。-b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷，就是指图 7-4 中电介质两端显现的电荷。而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的，它是指可以自由移动的净电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是：前者能够用来冲放电，也能用仪表测量，但后者却不能。第二讲 重要模型与专题 一、场强和电场力【物理情形 1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。如图 7-5 所示，在球壳内取一点 P，以 P 为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元S1和S2，设球面的电荷面密度为，则这两个面元在 P 点激发的场强分别为 E1=k211rS E2=k222rS 为了弄清E1和E2的大小关系，引进锥体顶部的立体角，显然 211rcosS=222rcosS 所以 E1=kcos，E2=kcos，即：E1=E2，而它们的方向是相反的，故在P 点激发的合场强为零。同理，其它各个相对的面元S3和S4、S5和S6 激发的合场强均为零。原命题得证。【模型变换】半径为 R 的均匀带电球面，电荷的面密度为，试求球心处的电场强度。【解析】如图 7-6 所示，在球面上的 P 处取一极小的面元S，它在球心 O 点激发的场强大小为 E=k2RS，方向由 P 指向 O 点。无穷多个这样的面元激发的场强大小和S 激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见由于由于在 x 方向、y 方向上的对称性，ixE=iyE=0，最后的E=Ez，所以先求 Ez=Ecos=k2RcosS，而且Scos为面元在xoy平面的投影，设为S 所以 Ez=2RkS 而 S=R2 【答案】E=k，方向垂直边界线所在的平面。学员思考如果这个半球面在 yoz 平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为，那么，球心处的场强又是多少？推荐解法将半球面看成 4 个81球面，每个81球面在 x、y、z 三个方向上分量均为41 k，能够对称抵消的将是 y、z 两个方向上的分量，因此E=Ex 答案大小为 k，方向沿 x 轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。-【物理情形 2】有一个均匀的带电球体，球心在 O 点，半径为 R，电荷体密度为 ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在 O点，半径为 R，OO=a，如图 7-7 所示，试求空腔中各点的场强。【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”），二是填补法。将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点 P，设OP=r1，PO=r2，则大球激发的场强为 E1=k2131rr34=34kr1，方向由 O 指向 P“小球”激发的场强为 E2=k2232rr34=34kr2，方向由 P 指向 O E1和 E2的矢量合成遵从平行四边形法则，E 的方向如图。又由于矢量三角形 PE1E 和空间位置三角形 OP O是相似的，E 的大小和方向就不难确定了。【答案】恒为34ka，方向均沿 O O，空腔里的电场是匀强电场。学员思考如果在模型 2 中的 OO连线上 O一侧距离 O 为 b（bR）的地方放一个电量为 q 的点电荷，它受到的电场力将为多大？解说上面解法的按部就班应用 答34kq23bR23)ab(R。二、电势、电量与电场力的功【物理情形 1】如图 7-8 所示，半径为 R 的圆环均匀带电，电荷线密度为，圆心在 O 点，过圆心跟环面垂直的轴线上有 P 点，PO=r，以无穷远为参考点，试求 P点的电势 UP。【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段L，它在 P 点形成的电势 U=k22rRL 环共有LR2段，各段在 P 点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。【答案】UP=22rRRk2 思考如果上题中知道的是环的总电量 Q，则 UP的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？答UP=22rRkQ；结论不会改变。再思考将环换成半径为 R 的薄球壳，总电量仍为 Q，试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？解说（1）球心电势的求解从略；球内任一点的求解参看图 7-5 U1=k11rS=k1rcosr21=kcosr1-U2=kcosr2 它们代数叠加成 U=U1+U2=kcosrr21 而 r1+r2=2Rcos 所以 U=2Rk 所有面元形成电势的叠加 U=2Rk 注意：一个完整球面的=4（单位：球面度 sr），但作为对顶的锥角，只能是 2，所以 U=4Rk=kRQ（2）球心电势的求解和思考相同；球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。答（1）球心、球内任一点的电势均为 kRQ；（2）球心电势仍为 kRQ，但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）。【相关应用】如图 7-9 所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为 R1和 R2，带有净电量+q，现在其内部距球心为 r 的地方放一个电量为+Q 的点电荷，试求球心处的电势。【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为Q，外壁的电荷量为+Q+q，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以【答案】Uo=krQ k1RQ+k2RqQ。反馈练习如图 7-10 所示，两个极薄的同心导体球壳 A 和 B，半径分别为 RA和 RB，现让 A 壳接地，而在 B 壳的外部距球心 d 的地方放一个电量为+q 的点电荷。试求：（1）A 球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。解说这是一个更为复杂的静电感应情形，B 壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A 壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的。此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A 壳）的电势为零。但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果，它是点电荷 q、A 壳、B 壳（带同样电荷时）单独存在时在 A中形成的的电势的代数和，所以，当我们以球心 O 点为对象，有 UO=kdq+kAARQ+kBBRQ=0 QB应指 B 球壳上的净电荷量，故 QB=0 所以 QA=dRAq 学员讨论：A 壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对 A 壳表面上的某点去列？（答：不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）基于刚才的讨论，求 B 的电势时也只能求 B 的球心的电势（独立的 B 壳是等势体，球心电势即为所求）UB=kdq+kBARQ-答（1）QA=dRAq；（2）UB=kdq(1BARR)。【物理情形 2】图 7-11 中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点 A 是 abc 的中心，点 B 则与 A 相对 bc 棒对称，且已测得它们的电势分别为 UA和 UB。试问：若将 ab 棒取走，A、B 两点的电势将变为多少？【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用。若用元段分割叠加，也具有相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法。每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着：三棒对 A点的电势贡献都相同（可设为U1）；ab 棒、ac 棒对 B 点的电势贡献相同（可设为 U2）；bc 棒对 A、B 两点的贡献相同（为 U1）。所以，取走 ab 前 3U1=UA 2U2+U1=UB 取走 ab 后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以 UA=2U1 UB=U1+U2【答案】UA=32UA；UB=61UA+21UB。模型变换正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且电势分别为 U1、U2、U3和 U4，则盒子中心点 O的电势 U 等于多少？解说此处的四块板子虽然位置相对 O 点具有对称性，但电量各不相同，因此对 O 点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法 我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中，每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为 U1+U2+U3+U4），新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为 U=U1+U2+U3+U4 最后回到原来的单层盒子，中心电势必为 U=41 U 答U=41（U1+U2+U3+U4）。学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形 2”？（答：不行，因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等。）反馈练习电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上，球面半径为 R，CD 为通过半球顶点 C 和球心 O 的轴线，如图 7-12 所示。P、Q 为 CD 轴线上相对 O 点对称的两点，已知 P 点的电势为 UP，试求 Q 点的电势 UQ。解说这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为 q 的电荷，如图 7-12 所示。从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时 P、Q 的电势不会有任何改-能量关系 3kLq2=2 kLq2+kL2q2+21mv2+212m2v 解以上两式即可的 v 值。答v=qmL3k2。三、电场中的导体和电介质【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板 A 和 B，面积都是 S，间距为 d（d 远小于金属板的线度），已知 A 板带净电量+Q1，B 板带尽电量+Q2，且 Q2Q1，试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。【模型分析】由于静电感应，A、B 两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄，但内部合场强为零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大，因此，可以应用无限大平板的场强定式。为方便解题，做图 7-15，忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的，设四个面的电荷面密度分别为1、2、3和4，显然（1+2）S=Q1 （3+4）S=Q2 A 板内部空间场强为零，有 2k（1 2 3 4）=0 A 板内部空间场强为零，有 2k（1+2+3 4）=0 解以上四式易得 1=4=S2QQ21 2=3=S2QQ21 有了四个面的电荷密度，、空间的场强就好求了如 E=2k（1+2 3 4）=2kSQQ21。最后，UAB=Ed【答案】（1）A 板外侧电量2QQ21、A 板内侧电量2QQ21，B 板内侧电量2QQ21、B 板外侧电量2QQ21；（2）A 板外侧空间场强 2kSQQ21，方向垂直 A板向外，A、B 板之间空间场强 2kSQQ21，方向由 A 垂直指向 B，B板外侧空间场强 2kSQQ21，方向垂直 B 板向外；（3）A、B 两板的电势差为 2kdSQQ21，A 板电势高。学员思考如果两板带等量异号的净电荷，两板的外侧空间场强等于多少？（答：为零。）学员讨论（原模型中）作为一个电容器，它的“电量”是多少（答：2QQ21）？如果在板间充满相对介电常数为 r的电介质，是否会影响四个面的电荷分布（答：不会）？是否会影响三个空间的场强（答：只会影响空间的场强）？学员讨论（原模型中）我们是否可以求出 A、B 两板之间的静电力？答：可以；以 A 为对象，外侧受力2QQ212E（方向相左），内侧受力2QQ212E（方向向右），它们合成即可，结论为 F=Sk2 Q1Q2，排斥力。【模型变换】如图 7-16 所示，一平行板电容器，极板面积为 S，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为 r的均匀电介质，当两极板分别带上+Q 和Q 的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。-【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为 Q1，介质部分电量为 Q2，显然有 Q1+Q2=Q 两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，必有 U1=U2 即 11CQ=22CQ，即 kd42/SQ1=kd42/SQr2 解以上两式即可得 Q1和 Q2。场强可以根据 E=dU关系求解，比较常规（上下部分的场强相等）。上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？从公式的角度看，E=2k（单面平板），当 k、同时改变，可以保持 E 不变，但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看，k 的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为 E2，所以 E2=4k（）=4k（2/SQ2 2/SQ）请注意：这里的 和 Q是指极化电荷的面密度和总量；E=4k 的关系是由两个带电面叠加的合效果。【答案】（1）真空部分的电量为r11Q，介质部分的电量为rr1Q；（2）整个空间的场强均为S)1(kQ8r；（3）11rrQ。思考应用一个带电量为 Q 的金属小球，周围充满相对介电常数为 r的均匀电介质，试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。解略。答Q=rr1Q。四、电容器的相关计算【物理情形 1】由许多个电容为 C 的电容器组成一个如图 7-17 所示的多级网络，试问：（1）在最后一级的右边并联一个多大电容 C，可使整个网络的 A、B 两端电容也为 C？（2）不接 C，但无限地增加网络的级数，整个网络 A、B 两端的总电容是多少？【模型分析】这是一个练习电容电路简化基本事例。第（1）问中，未给出具体级数，一般结论应适用特殊情形：令级数为1，于是 CC1+C1=C1 解 C即可。第（2）问中，因为“无限”，所以“无限加一级后仍为无限”，不难得出方程 总CC1+C1=总C1【答案】（1）215 C；（2）215 C。【相关模型】在图 7-18 所示的电路中，已知 C1=C2=C3=C9=1F，C4=C5=C6=C7=2F，C8=C10=3F，试求 A、B 之间的等效电容。【解说】对于既非串联也非并联的电路，需要用到一种“Y 型变换”，参见图 7-19，根据三个端点之间的电容等效，容易得出定式-Y 型：Ca=3133221CCCCCCC Cb=1133221CCCCCCC Cc=2133221CCCCCCC Y型：C1=cbacaCCCCC C2=cbabaCCCCC C3=cbacbCCCCC 有了这样的定式后，我们便可以进行如图7-20 所示的四步电路简化（为了方便，电容不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）【答】约 2.23F。【物理情形 2】如图 7-21 所示的电路中，三个电容器完全相同，电源电动势 1=3.0V，2=4.5V，开关 K1和 K2接通前电容器均未带电，试求 K1和 K2接通后三个电容器的电压 Uao、Ubo和 Uco各为多少。【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题，解题的关键是要抓与 o 相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零。电量关系：CUao+CUao+CUao=0 电势关系：1=Uao+Uob=Uao Ubo 2=Ubo+Uoc=Ubo Uco 解以上三式即可。【答】Uao=3.5V，Ubo=0.5V，Uco=4.0V。【伸展应用】如图 7-22 所示，由 n 个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为 3C，另一个的电容为 3C。以 a、b 为网络的输入端，a、b为输出端，今在 a、b 间加一个恒定电压 U，而在 ab间接一个电容为 C 的电容器，试求：（1）从第 k 单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除-去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例。（1）类似“物理情形 1”的计算，可得 C总=Ck=C 所以，从输入端算起，第 k 单元后的电压的经验公式为 Uk=1k3U 再算能量储存就不难了。（2）断开前，可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图 7-23 中的左图所示。这时，C1的右板和 C2的左板（或C2的下板和 C3的右板）形成“孤岛”。此后，电容器的相互充电过程（C3类比为“电源”）满足 电量关系：Q1=Q3 Q2+Q3=3Q 电势关系：C3Q3+C3Q1=C2Q2 从以上三式解得 Q1=Q3=7Q，Q2=21Q4，这样系统的储能就可以用21CQ2得出了。【答】（1）Ek=1k2232CU；（2）63CU2。学员思考图 7-23 展示的过程中，始末状态的电容器储能是否一样？（答：不一样；在相互充电的过程中，导线消耗的焦耳热已不可忽略。）