00高中数学第章一元二次函数、方程和不等式.基本不等式教学案第一册.pdf

学必求其心得，业必贵于专精 -1-2.2 基本不等式 (教师独具内容）课程标准：1。掌握基本不等式的内容。2。能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式。4.熟练掌握基本不等式及变形的应用.5。会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 教学重点：1。理解基本不等式的内容及其证明过程。2。运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 教学难点：基本不等式条件的创设 【知识导学】知识点一 基本不等式 如果a0，b0,则错误!错误!错误!,当且仅当ab时，等号成立 我们把这个不等式称为基本不等式 知识点二 算术平均数与几何平均数及相关结论 在基本不等式中，错误!错误!叫做正数a，b的算术平均数，错误!错误!叫做正数a，b的几何平均数 学必求其心得，业必贵于专精 -2-基本不等式表明:错误!两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 知识点三 基本不等式与最大（小）值 当x,y均为正数时，下面的命题均成立：(1)若xyS(S为定值)，则当且仅当错误!xy时，xy取得最错误!大值错误!错误!；（简记:和定积有最大值）（2)若xyP（P为定值)，则当且仅当错误!xy时，xy取得最错误!小值错误!2错误!.（简记：积定和有最小值）知识点四 基本不等式的实际应用 基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下：（1）先理解题意，设出变量，设变量时一般把错误!要求最大值或最小值的变量定为因变量(2）建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为错误!函数的最大值或最小值问题(3)在定义域内，求出错误!函数的最大值或最小值(4）根据实际意义写出正确的答案【新知拓展】1由基本不等式变形得到的常见结论 学必求其心得，业必贵于专精 -3-(1)ab错误!2错误!（a，bR）；（2)错误!错误!错误!(a,b均为正实数）；（3）错误!错误!2（a，b同号)；（4）(ab)错误!4（a，b同号）；（5）a2b2c2abbcca（a，b，cR)2利用基本不等式证明不等式时应注意的问题（1）注意基本不等式成立的条件;（2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；（3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型,再使用 3利用基本不等式的解题技巧与易错点(1）利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧：加项变换；拆项变换；统一换元;平方后再用基本不等式（2)易错点 易忘“正”，忽略了各项均为正实数；学必求其心得，业必贵于专精 -4-忽略忘记“定”，用基本不等式时,和或积为定值；忽略忘记“等”,用基本不等式要验证等号是否可以取到;忽略忘记“同”,多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同 1判一判(正确的打“，错误的打“”）（1）错误!错误!对于任意实数a,b都成立（）（2)若a0，b0,且ab，则ab2错误!。()(3)若a0，b0，则ab错误!2。(）（4）若a0，b0,且ab16，则ab64。（）(5）若ab2，则ab的最小值为 2错误!。（）答案（1)(2）（3)(4)（5)2做一做（请把正确的答案写在横线上)（1）不等式m212m等号成立的条件是_(2）错误!错误!2 成立的条件是_（3）x1,则x1x1的最小值为_（4）已知p，qR，pq100，则p2q2的最小值是_ 学必求其心得，业必贵于专精 -5-(5）若a0,b0，且ab2，则错误!错误!的最小值为_ 答案（1）m1(2)a与b同号（3)3(4)200（5）2 题型一 对基本不等式的理解 例 1 给出下面三个推导过程：因为a0，b0，所以错误!错误!2 错误!2;因为aR，a0，所以错误!a2 错误!4；因为x，yR，xy0，所以错误!0，错误!0，符合基本不等式成立的条件,故的推导过程正确；因为aR,a0 不符合基本不等式成立的条件，所以错误!a2错误!4 是错误的；由xy0 得错误!，错误!均为负数,但在推导过程中将错误!错误!看成一个整体提出负号后，错误!，错误!均变为正数,符合基本不等式成立学必求其心得，业必贵于专精 -6-的条件，故正确 答案 D 金版点睛 基本不等式错误!错误!(a0，b0)的两个关注点(1）不等式成立的条件：a，b都是正实数(2）“当且仅当”的含义：当ab时，错误!错误!的等号成立,即ab错误!错误!;仅当ab时，错误!错误!的等号成立，即ab2错误!ab.错误!下列命题中正确的是（）A当a，bR 时，错误!错误!2 错误!2 B当a0,b0 时，(ab）错误!4 C当a4 时，a错误!2 错误!6 D当a0，b0 时,错误!错误!答案 B 学必求其心得，业必贵于专精 -7-解析 A 项中，可能ba0，所以不正确；B 项中,因为ab2ab0，错误!错误!2错误!0，相乘得（ab)错误!4,当且仅当ab时等号成立，所以正确;C 项中,a9a2 错误!6 中的等号不成立，所以不正确；D 项中，由基本不等式，知2abab错误!(a0,b0)，所以 D 不正确 题型二 利用基本不等式比较大小 例 2 已知a1，则错误!,错误!，错误!三个数的大小顺序是（）A.错误!错误!错误!B。错误!错误!错误!C。错误!错误!错误!D.错误!错误!错误!解析 当a，b均为正数时，有2abab错误!错误!错误!，令b1,得错误!错误!错误!。又a1,即ab，故上式不能取等号，应选 C。答案 C 题型探究 对一切正数m，不等式n错误!2m恒成立,求常学必求其心得，业必贵于专精 -8-数n的取值范围 解 当m0 时，由基本不等式，得 错误!2m2错误!4错误!，且当m错误!时,等号成立，故n的取值范围为n4错误!.金版点睛 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件,合理地拆项、配凑或变形在拆项、配凑或变形的过程中,首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式或者将“积式转化为“和式”的放缩功能 错误!已知：a0，b0，且ab1，试比较错误!错误!，错误!，4的大小 解 a0,b0，ab2错误!，ab错误!.错误!错误!错误!错误!4，错误!错误!错误!ab错误!错误!错误!，即错误!4.错误!错误!4错误!错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -9-题型三 利用基本不等式求函数的最值 例 3（1）求函数y错误!x(x3)的最小值；(2）已知 0 x0,错误!0，y2错误!35。当且仅当错误!x3，即x4 时,y有最小值 5.(2）0 x1，x10，y错误!x12x12x1 学必求其心得，业必贵于专精 -10-x1错误!1 2错误!1，当且仅当x1错误!时，即x错误!1 时，函数y的最小值为 2错误!1。变式探究 在本例（1)中把“x3”改为“x3,则函数y错误!x的最值又如何？解 x3，x30,y错误!x错误!(3x)3 错误!32错误!3 231。当且仅当错误!3x，即x2 时,取等号 故函数y错误!x（x3)有最大值 1，没有最小值 金版点睛 利用基本不等式求函数的最值（1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件（2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法 学必求其心得，业必贵于专精 -11-错误!（1)已知x0,b0，c0，且abc1。求证：错误!错误!错误!10。证明 错误!错误!错误!错误!错误!错误!4错误!错误!错误!422210，当且仅当abc错误!时取等号 错误!错误!错误!10。题型五 利用基本不等式求代数式的最值 例 5（1)已知x0，y0 且错误!错误!1，求xy的最小值；（2)已知正实数x，y满足 2xy6xy，求xy的最小值；（3）已知实数x，y满足x2y2xy1，求xy的最大值 解（1）x0，y0，错误!错误!1，xy错误!(xy）错误!错误!1061016，当且仅当错误!错误!，又错误!错误!1，即x4,y12 时，上式取等号 学必求其心得，业必贵于专精 -14-故当x4，y12 时，（xy)min16.（2）2xy6xy，y错误!，x1，xy错误!错误!错误!2错误!2错误!2错误!18。当且仅当x3 时，等号成立(3）因为 1x2y2xy(xy）2xy（xy)2错误!2，所以(xy)2错误!，即xy错误!，当且仅当xy0 且x2y2xy1，即xy错误!时，等号成立，xy的最大值为错误!.结论探究 若本例（1)中的条件不变，如何求xy的最小值 解 错误!错误!错误!错误!错误!错误!,又因为错误!错误!1,所以错误!1,错误!6，xy36，当且仅当y9x，即x2，y18 时，等号成立 所以（xy)min36。金版点睛 利用基本不等式求代数式的最值(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和或“积”为定值,从而求得代数式的最大值或最小值 学必求其心得，业必贵于专精 -15-(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用）积为定值;若是求积的最大值，通常化（或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式 跟踪训练5（1）已知正数x，y满足x2y1，求错误!错误!的最小值；（2）已知x0，y0，且满足错误!错误!1,求xy的最大值 解(1）x,y为正数，且x2y1,错误!错误!（x2y）错误!3错误!错误!32错误!，当且仅当错误!错误!,即当x错误!1，y1错误!时等号成立 错误!错误!的最小值为 32错误!.(2)错误!错误!1,1错误!错误!2错误!错误!错误!.错误!错误!，当且仅当错误!错误!错误!即x错误!，y2 时等号成立 xy3，即xy的最大值为 3。题型六 利用基本不等式解决实际问题 例 6 某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查学必求其心得，业必贵于专精 -16-与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y118错误!，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2错误!（注:利润与投资金额单位：万元）(1）该公司已有 100 万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出x的取值范围；（2）在（1）的条件下，试问:怎样分配这 100 万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？解（1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的(100 x)万元资金投入B产品，利润总和y18错误!错误!38错误!错误!（x0，100）（2）y40错误!错误!,x0，100，由基本不等式，得y402错误!28，当且仅当错误!错误!，即x20 时，等号成立 答：分别用 20 万元和 80 万元资金投资A,B两种金融产品，可以使公司获得最大利润,最大利润为 28 万元 金版点睛 利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点 学必求其心得，业必贵于专精 -17-（1）解应用题时,一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域；(2）一般利用基本不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件,即“等号”成立的条件；（3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时要利用其他方法求解 错误!某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为 3 m，如果池底每1 m2的造价为 150 元，池壁每 1 m2的造价为120 元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解 设水池底面一边的长度为x m,则另一边的长度为48003x m.又设水池总造价为y元,根据题意，得y150错误!120错误!240000720错误!2400007202错误!297600（元），当且仅当x错误!，即x40 时，y取得最小值 297600。所以水池底面为正方形且边长为 40 m 时总造价最低,最低总造学必求其心得，业必贵于专精 -18-价为 297600 元 1若ab0，则下列不等式中总成立的是()A.2abab错误!错误!B。错误!错误!错误!C.错误!错误!错误!D.错误!错误!错误!答案 C 解析 ab0，错误!错误!错误!错误!，故选 C.2 已知x0，y0，xy，则下列四个式子中值最小的是（)A。错误!B。错误!错误!C.错误!D。错误!答案 C 解析 解法一:xy2xy，1xy错误!，排除 D；错误!错误!错误!错误!错误!错误!，排除 B;(xy)2x2y22xy2(x2y2)，学必求其心得，业必贵于专精 -19-错误!错误!，排除 A。故选 C。解法二：取x1,y2。则1xy错误!；错误!错误!错误!；错误!错误!;错误!错误!错误!。其中错误!最小故选 C。3若a0，则代数式a错误!（）A有最小值 10 B有最大值 10 C没有最小值 D既没有最大值也没有最小值 答案 A 解析 利用基本不等式，得a错误!2错误!10，当且仅当a错误!，即a5 时，取得最小值 10。4当x错误!时，函数yx错误!的最小值为_ 答案 错误!解析 因为x12，所以x错误!0,所以yx错误!错误!错误!错误!2错误!错误!4错误!错误!,当且仅当x错误!错误!，即x错误!时，学必求其心得，业必贵于专精 -20-取“”5某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x的函数关系为y10(x6）2110（xN*)，求每辆客车营运多少年，可使其运营的年平均利润最大 解 因为错误!10错误!12020错误!12020，当且仅当x错误!,即x5 时,等号成立，所以每辆客车营运 5 年，可使其运营的年平均利润最大