高中数学(人教A)选修1第二章圆锥曲线与方程测试题(含详解).pdf
高中数学选修 1-1 第二章测试(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知抛物线的准线方程为 x7，则抛物线的标准方程为()Ax228y By228x Cy228x Dx228y 2设 P 是椭圆x225y2161 上的点若 F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B5 C8 D10 3双曲线 3mx2my23 的一个焦点是(0,2)，则 m 的值是()A1 B1 C1020 D.102 4椭圆x225y291 上一点 P 到两焦点的距离之积为 m，则 m 取最大值时，P 点坐标是()A(5,0)或(5,0)B(52，3 32)或(52，3 32)C(0,3)或(0，3)D(5 32，32)或(5 32，32)5(2010天津)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是 y 3x，它的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程为()A.x236y21081 B.x29y2271 C.x2108y2361 D.x227y291 6在 y2x2上有一点 P，它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 P 的坐标是()A(2,1)B(1,2)C(2,1)D(1,2)7已知抛物线的顶点为原点，焦点在 y 轴上，抛物线上点 M(m，2)到焦点的距离为 4，则 m 的值为()A4 或4 B2 C4 D2 或2 8设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，且它的一个焦点在抛物线 y212x 的准线上，则此双曲线的方程为()A.x25y261 B.x27y251 C.x23y261 D.x24y231 9动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x20 相切，则动圆必过点()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0，2)10椭圆x2a2y2b21(ab0)上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为 2c，若 d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为()A.12 B.22 C.32 D.34 11已知 F 是抛物线 y14x2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方程是()Ax2y12 Bx22y116 Cx22y1 Dx22y2 12已知 F1，F2是双曲线x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为 8a，则该双曲线的离心率的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(1,3 D(1,2 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上)13(2010福建)若双曲线x24y2b21(b0)的渐近线方程为 y12x，则 b 等于_ 14若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为32，则椭圆的标准方程为_ 15 设 F1和 F2是双曲线x24y21 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足F1PF290，则F1PF2的面积为_ 16过双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点作圆 x2y2a2的两条切线，切点分别为 A，B.若AOB120(O 是坐标原点)，则双曲线 C 的离心率为_ 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)求与椭圆 4x29y236 有相同的焦距，且离心率为55的椭圆的标准方程 18(12 分)已知抛物线 y26x，过点 P(4,1)引一条弦 P1P2使它恰好被点 P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.19(12 分)已知椭圆方程为x29y241，在椭圆上是否存在点 P(x，y)到定点 A(a,0)(其中 0a3)的距离的最小值为 1，若存在，求出 a的值及 P 点的坐标；若不存在，说明理由 20(12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，直线 l 为圆 O：x2y2b2的一条切线，记椭圆 C 的离心率为 e.(1)若直线 l 的倾斜角为3，且恰好经过椭圆 C 的右顶点，求 e 的大小；(2)在(1)的条件下，设椭圆 C 的上顶点为 A，左焦点为 F，过点 A与 AF 垂直的直线交 x 轴的正半轴于 B 点，且过 A，B，F 三点的圆恰好与直线 l：x 3y30 相切，求椭圆 C 的方程 21(12 分)设椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)，抛物线 C2：x2byb2.(1)若 C2经过 C1的两个焦点，求 C1的离心率；(2)设 A(0，b)，Q(3 3，54b)，又 M，N 为 C1与 C2不在 y 轴上的两个交点，若AMN 的垂心为 B(0，34b)，且QMN 的重心在 C2上，求椭圆 C1和抛物线 C2的方程 22(12 分)(2010北京)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(2，0)，(2，0)，离心率是63，直线 yt 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，以线段 MN 为直径作圆 P，圆心为 P.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标；(3)设 Q(x，y)是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值 参考答案 1.解析 由条件可知p27，p14，抛物线开口向右，故方程为y228x.答案 B 2.解析 由题可知 a5，P 为椭圆上一点，|PF1|PF2|2a10.答案 D 3.解析 把方程化为标准形式x21my23m1，a23m，b21m.c23m1m4，解得 m1.答案 A 4.解析|PF1|PF2|2a10，|PF1|PF2|(|PF1|PF2|2)225.当且仅当|PF1|PF2|5 时，取得最大值，此时 P 点是短轴端点，故选 C.答案 C 5.解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题 依题意知 ba 3，c6，c2a2b2，a29，b227，所以双曲线的方程为x29y2271.答案 B 6.解析 如图所示，直线 l 为抛物线 y2x2的准线，F 为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当 A，P，N 三点共线时取等号，P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 1，则可排除 A、C、D 项，故选 B.答案 B 7.解析 由题可知，p2(2)4，p4.抛物线的方程为 x28y.将(m，2)代入可得 m216，m4.故选 A.答案 A 8.解析 抛物线 y212x 的准线方程为 x3，由题意，得 c3，ca 3，c2a2b2.解得 a23，b26，故所求双曲线的方程为x23y261.答案 C 9.解析 直线 x20 是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)答案 B 10.解析 由椭圆的定义可知 d1d22a，又由 d1,2c，d2成等差数列，4cd1d22a，eca12.答案 A 11.解析 由 y14x2x24y，焦点 F(0,1)，设 PF 中点 Q(x，y)、P(x0，y0)，则 2x0 x0，2y1y0，4y0 x20，x22y1.答案 C 12.解析|PF2|2|PF1|PF1|2a2|PF1|PF1|4a2|PF1|4a8a，当|PF1|4a2|PF1|，即|PF1|2a 时取等号 又|PF1|ca，2aca.c3a，即 e3.双曲线的离心率的取值范围是(1,3 答案 C 13.解析 由题意知b212，解得 b1.答案 1 14.解析 若焦点在 x 轴上，则 a4，由 e32，可得 c2 3，b2a2c216124，椭圆方程为x216y241，若焦点在 y 轴上，则 b4，由 e32，可得ca32，c234a2.又 a2c2b2，14a216，a264.椭圆方程为x216y2641.答案 x216y2641，或x216y241 15.解析 由题设知|PF1|PF2|4，|PF1|2|PF2|220，)2得|PF1|PF2|2.F1PF2的面积 S12|PF1|PF2|1.答案 1 16.解析 如图，设双曲线一个焦点为 F，则AOF 中，|OA|a，|OF|c，FOA60.c2a，eca2.答案 2 17.解 把方程 4x29y236 写成x29y241，则其焦距 2c2 5，c 5.又 eca55，a5.b2a2c252520，故所求椭圆的方程为x225y2201，或y225x2201.18.解 设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)P1，P2在抛物线上，y216x1，y226x2.两式相减，得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，ky1y2x1x26y1y23.直线的方程为 y13(x4)，即 3xy110.由 y26x，y3x11，得 y22y220，y1y22，y1y222.|P1P2|119224222 2303.19.解 设存在点 P(x，y)满足题设条件，则|AP|2(xa)2y2.又x29y241，y24(1x29)|AP|2(xa)24(1x29)59(x95a)2445a2.|x|3，当|95a|3，又 0a0)，则 cm，b 3m，椭圆 C 的方程为x24m2y23m21.A(0，3m)，|AF|2m.直线 AF 的斜率 kAF 3，AFB60.在 RtAFB 中，|FB|AF|cosAFB4m，B(3m,0)，设斜边 FB 的中点为 Q，则 Q(m,0)，AFB 为直角三角形，过 A，B，F 三点的圆的圆心为斜边 FB 的中点 Q，且半径为 2m，圆 Q 与直线 l：x 3y30 相切，|m3|132m.m 是大于 0 的常数，m1.故所求的椭圆 C 的方程为x24y231.21.解(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得 c2b2，由 a2b2c22c2，有c2a212e22.(2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称，设 M(x1，y1)，N(x1，y1)(x10)，由AMN 的垂心为 B，有BMAN0 x21(y134b)(y1b)0.由点 N(x1，y1)在抛物线上，x21by1b2，解得 y1b4，或 y1b(舍去)，故 x152b，M(52b，b4)，N(52b，b4)，得QMN 重心坐标(3，b4)由重心在抛物线上得 3b24b2，b2，M(5，12)，N(5，12)，又M，N 在椭圆上，得 a2163，椭圆方程为x2163y241，抛物线方程为 x22y4.22.解(1)ca63，且 c 2，a 3，ba2c21.椭圆 C 的方程为x23y21.(2)由题意知 P(0，t)(1t1)，由 yt，x23y21，得 x31t2，圆 P 的半径为31t2.31t2|t|，解得 t32.点 P 的坐标是(0，32)(3)由(2)知，圆 P 的方程为 x2(yt)23(1t2)点 Q(x，y)在圆 P 上，yt31t2x2t31t2.设 tcos，(0，)，则 t31t2cos 3sin2sin(6)，当 3，即 t12，且 x0，y 取最大值 2.
