2022年高考数学真题(理科乙卷)—含答案.pdf

第 1 页 共 11 页 2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数 学（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集1,2,3,4,5U，集合 M 满足 31，MCU，则（）A2M B3M C4M D5M 2已知12iz ，且0zazb，其中 a，b 为实数，则（）A1,2ab B1,2ab C1,2ab D1,2ab 3已知向量,a b满足|1,|3,|2|3abab，则a b（）A2 B1 C1 D2 4嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 nb：1111b，212111b，31231111b，依此类推，其中(1,2,)kkN则（）A15bb B38bb C62bb D47bb 5设 F 为抛物线2:4Cyx的焦点，点 A 在 C 上，点(3,0)B，若|AFBF，则|AB（）A2 B2 2 C3 D3 2 6执行右边的程序框图，输出的n（）A3 B4 C5 D6 7在正方体1111ABCDABC D中，E，F 分别为,AB BC的中点，则（）A平面1B EF 平面1BDD B平面1B EF 平面1ABD C平面1B EF平面1A AC D平面1B EF平面11AC D 8已知等比数列 na的前 3 项和为 168，2542aa，则6a（）A14 B12 C6 D3 第 2 页 共 11 页 9已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A13 B12 C33 D22 10某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,p pp，且3210ppp记该棋手连胜两盘的概率为 p，则（）Ap 与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大 C该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大 11双曲线 C 的两个焦点为12,F F，以 C 的实轴为直径的圆记为 D，过1F作 D 的切线与 C 交于 M，N 两点，且123cos5F NF，则 C 的离心率为（）A52 B32 C132 D172 12已知函数(),()f xg x的定义域均为 R，且()(2)5,()(4)7f xgxg xf x若()yg x的图像关于直线2x 对称，(2)4g，则221()kf k（）A21 B22 C23 D24 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_ 14过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_ 15记函数()cos()(0,0)f xx 的最小正周期为 T，若3()2f T，9x为()f x的零点，则的最小值为_ 16 己知1xx和2xx分别是函数2()2exf xax（0a 且1a）的极小值点和极大值点 若12xx，则 a 的取值范围是_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 第 3 页 共 11 页 17（12 分）记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知sinsin()sinsin()CABBCA （1）证明：2222abc；（2）若255,cos31aA，求ABC的周长 18（2 分）如图，四面体ABCD中，,ADCD ADCDADBBDC，E 为AC的中点（1）证明：平面BED 平面ACD；（2）设2,60ABBDACB，点 F 在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值 第 4 页 共 11 页 19（12 分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m）和材积量（单位：3m），得到如下数据：样本号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积ix 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量iy 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得10101022iiiii=1i=1i=10.038,1.6158,0.2474xyx y（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值 附：相关系数i=122=1=1()(),1.8961 7()7().3niinniiiixxyyrxxyy 第 5 页 共 11 页 20（12 分）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过30,2,12AB两点（1）求 E 的方程；（2）设过点1,2P的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点H 满足MTTH证明：直线 HN 过定点 21（12 分）已知函数 ln 1exf xxax.（1）当1a 时，求曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程；（2）若 f x在区间 1,0,0,各恰有一个零点，求 a 的取值范围 第 6 页 共 11 页（二）选考题，共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为3cos2,2sinxtyt（t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为sin03m（1）写出 l 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围 23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 都是正数，且3332221abc，证明：（1）19abc；（2）12abcbcacababc 第 7 页 共 11 页 2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理科）参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1.A 2.A 3.C 4.D 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D 11.A 或 C 12.D 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分 13.310 14.222313xy 或 22215xy 或224765339xy或2281691525xy；15.3 16.1,1e 三、解答题：共 0 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17.（1）证明：因为sinsinsinsinCABBCA，所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC，所以2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab，即22222222222acbabcbca，所以2222abc；（2）解：因为255,cos31aA，由（1）得2250bc，由余弦定理可得2222cosabcbcA，则50502531bc，所以312bc，故2222503181bcbcbc，所以9bc，所以ABC的周长为14abc.18.（1）因为ADCD，E 为AC的中点，所以ACDE；在ABD和CBD中，因为,BACDCDADBDB DBD，所以ABDCBD，所以ABCB，又因为 E 为AC的中点，所以ACBE；又因为,DE BE 平面BED，DEBEE，所以AC 平面BED，因为AC 平面ACD，所以平面BED 平面ACD.（2）连接EF，由（1）知，AC 平面BED，因为EF 平面BED，第 8 页 共 11 页 所以ACEF，所以1=2AFCSAC EF，当EFBD时，EF最小，即AFC的面积最小.因为ABDCBD，所以2CBAB，又因为60ACB，所以ABC是等边三角形，因为 E为AC的中点，所以1AEEC，3BE，因为ADCD，所以112DEAC,在DEB中，222DEBEBD，所以BEDE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则1,0,0,0,3,0,0,0,1ABD，所以1,0,1,1,3,0ADAB ，设平面ABD的一个法向量为,nx y z，则030n ADxzn ABxy ，取3y，则3,3,3n，又因为3 31,0,0,0,44CF，所以3 31,44CF，所以64 3cos,77214n CFn CFn CF，设CF与平面ABD所成的角的正弦值为02，所以4 3sincos,7n CF，所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为4 37.19.（1）样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610 x 样本中 10 棵这种树木的材积量的平均值3.90.3910y 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m，平均一棵的材积量为30.39m（2）1010iiiii=1i=110101010222222iiiii=1i=1i=1i=1101010 xxyyx yxyrxxyyxxyy 22(0.03810 0.06)(1.615810.247410 0.060.390.01340.01340.970.013770.0000 018996.3)，则0.97r （3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为3mY，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209mY则该林区这种树木的总材积量估计为31209m 第 9 页 共 11 页 20.（1）解：设椭圆 E 的方程为221mxny，过30,2,12AB，则41914nm n，解得13m，14n，所以椭圆 E的方程为：22143yx.（2）3(0,2),(,1)2AB，所以2:23AB yx，若过点(1,2)P的直线斜率不存在，直线1x.代入22134xy，可得2 6(1,)3M，2 6(1,)3N，代入 AB 方程223yx，可得 2 6(6 3,)3T，由MTTH得到2 6(2 6 5,)3H 求得 HN 方程：2 6(2)23yx，过点(0,2).若过点(1,2)P的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kxykM x yN xy.联立22(2)0,134kxykxy得22(34)6(2)3(4)0kxkk xk k，可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkx xk，12222228(2)344(442)34kyykkky yk，且1221224(*)34kx yx yk 联立1,223yyyx可得111113(3,),(36,).2yTyHyx y 可求得此时1222112:()36yyHN yyx xyxx，将(0,2)，代入整理得12121221122()6()3120 xxyyx yx yy y，将(*)代入，得222241296482448482436480,kkkkkkk 显然成立，综上，可得直线 HN过定点(0,2).第 10 页 共 11 页 21.（1）()f x的定义域为(1,)当1a 时,()ln(1),(0)0exxf xxf,所以切点为(0,0)11(),(0)21exxfxfx,所以切线斜率为 2，所以曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为2yx（2）()ln(1)exaxf xx，2e11(1)()1e(1)exxxaxaxfxxx设2()e1xg xax 1若0a,当2(1,0),()e10 xxg xax,即()0fx 所以()f x在(1,0)上单调递增,()(0)0f xf，故()f x在(1,0)上没有零点,不合题意 2若10a,当,()0 x,则()e20 xg xax 所以()g x在(0,)上单调递增所以()(0)10g xga,即()0fx 所以()f x在(0,)上单调递增,()(0)0f xf，故()f x在(0,)上没有零点,不合题意 3若1a ，(1)当,()0 x,则()e20 xg xax,所以()g x在(0,)上单调递增(0)10,(1)e0gag，所以存在(0,1)m,使得()0g m,即()0fm 当(0,),()0,()xmfxf x单调递减，当(,),()0,()xmfxf x单调递增 所以，当(0,),()(0)0 xmf xf，当,()xf x ，所以()f x在(,)m 上有唯一零点 又(0,)m没有零点,即()f x在(0,)上有唯一零点(2)当2(1,0),()e1xxg xax，设()()e2xh xg xax，()e20 xh xa 所以()g x在(1,0)单调递增，1(1)20,(0)1 0egag，所以存在(1,0)n,使得()0g n，当(1,),()0,()xn g xg x 单调递减，当(,0),()0,()xng xg x单调递增,()(0)10g xga 又1(1)0eg，所以存在(1,)tn,使得()0g t,即()0ft 当(1,),()xtf x 单调递增,当(,0),()xtf x单调递减，有1,()xf x 而(0)0f,所以当(,0),()0 xtf x，所以()f x在(1,)t上有唯一零点,(,0)t上无零点 即()f x在(1,0)上有唯一零点，所以1a ,符合题意 所以若()f x在区间(1,0),(0,)各恰有一个零点,求a的取值范围为(,1)第 11 页 共 11 页（二）选考题，共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.（1）因l：sin03m，所以13sincos022m，又因为sin,cosyx，所以化简为13022yxm，整理得 l的直角坐标方程：320 xym（2）联立 l与 C的方程，即将3cos2xt，2sinyt代入 320 xym中，可得3cos22sin20ttm，所以23(12sin)2sin20ttm，化简为26sin2sin320ttm，要使 l 与 C 有公共点，则226sin2sin3mtt有解，令sin ta，则1,1a，令2()623f aaa，(11)a，对称轴为16a，开口向上，所以(1)623()5maxffa，min11219()36666 ffa，所以19256m m的取值范围为195122m.选修 4-5：不等式选讲 23.（1）证明：因为0a，0b，0c，则320a，320b，320c，所以33333322232223abcabc，即1213abc，所以19abc，当且仅当333222abc，即319abc时取等号（2）证明：因为0a，0b，0c，所以2bcbc，2acac，2abab，所以3222aaabcbcabc，3222bbbacacabc，3222cccabababc 333333222222122222abcabcabcbcacababcabcabcabcabc 当且仅当abc时取等号