抛物线方程高中数学.pdf
1 抛物线与抛物线标准方程 一、抛物线的定义与方程 1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，定点 F 不在定直线l上。2.抛物线的标准方程有四种形式，参数p的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：其中00,yxP为抛物线上任一点。例 1.设抛物线xy82上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是 。例 2.若抛物线pxy22的焦点坐标为（1,0），则p=；准线方程为：。例 3.已知抛物线022ppxy，的准线与圆16322yx相切，则p的值为 。例 4.抛物线241xy 的准线方程是 。例 5.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆422 yx相交的公共弦长等于32，求此抛物线的方程。2 二、高考常见题型与解题方法 题型一、抛物线的定义及其标准方程 方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为mxy 2或0,2mmyx。例 6.根据下列条件求抛物线的标准方程。（1）抛物线的焦点是双曲线22169144xy的左顶点；（2）经过点 A（2，3）；（3）焦点在直线 x-2y-4=0 上；（4）抛物线焦点在 x 轴上，直线 y=-3 与抛物线交于点 A，AF=5.题型二、抛物线的几何性质 方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线 l 的距离处理，例如：若 P（x0，y0）为抛物线0,22ppxy上一点，则20pxPF。2、若过焦点的弦 AB，2211,yxByxA，则弦长pxxAB21，21xx 可由韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。例 7.设 P 是抛物线xy42上的一个动点。（1）求点 P 到点 A（-1，1）的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值；（2）若 B（3，2），求PFFB 的最小值。3 题型三、利用函数思想求抛物线中的最值问题 方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。例 7.已知抛物线 yx2，动弦 AB 的长为 2，求 AB 的中点纵坐标的最小值。题型四、抛物线的焦点弦问题（1）过抛物线0,22ppxy焦点的直线交抛物线于 2211,yxByxA，那么 AB 称为抛物线的焦点弦；（2）抛物线上任意一点00,yxP与焦点的距离称为该抛物线在该点处的焦半径；（3）焦点弦具有以下性质：221221,4pyypxx；221sin2ppxxAB（为 AB的倾斜角）若xAB 轴，则9011AKBFBA;pBFAF211；1BOA、三点共线；由几何图形易得 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；过焦点 F 且垂直于对称轴的弦称为通径，通径是最短的焦点弦。例 8.设 F 为抛物线xyC32：的焦点，过 F 且切斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|=（）A.330 B.6 C.12 D.37 例 9.已知直线l过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l与 C 交于 A，B 两点，|AB|=12，P为 C 的准线上一点，则ABP的面积为（）A.18 B.24 C.36 D48 4 题型五、直线与抛物线的位置关系问题求解（1）直线与抛物线的位置关系的判断：联立直线与抛物线方程，判断符号；（2）直线与抛物线的位置关系的应用 与向量、函数、不等式相结合考查焦点弦问题，主要借助抛物线的定义来求解；研究直线与抛物线位置关系时注意数形结合；涉及弦长问题时注意直线与抛物线方程联立后的“设而不求”思想与韦达定理的运用；（3）过一点直线与抛物线方程的仅一个交点问题 点在抛物线内，仅一个交点直线只有一条；点在抛物线上，仅一个交点直线有两条；点在抛物线外，仅一个交点直线有三条。（4）涉及直线与抛物线相交、面积等问题 此类问题，一般先联立直线与抛物线的方程，然后结合根与系数的关系、相关公式（点点距离公式、点线距离公式、弦长公式等）求解；或运用转化与化归的数学思想，将问题转化为坐标运算。例 10.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F（1，0）的距离和到直线 x=-1 的距离相等，若机器人接触不到过点 P（-1，0）且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是 。例 11.如图，已知ABP的三个顶点在抛物线yxC4:2上，F 为抛物线 C 的焦点，点 M 为 AB的中点，FMPF3.（1）若|PF|=3，求点 M 的坐标；（2）求ABP 面积的最大值 例 12.已知曲线 T 上的点到点 F（0,1）的距离比到直线 y=-3 的距离小 2.求曲线 T 的方程。P B A M F y x 0 5 三、高考真题训练 1（2014 湖南，5 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为a，b(a0)的焦点为F，其准线与双曲线x23y231 相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p .4（2012 天津，5 分）已知抛物线的参数方程为 x2pt2，y2pt，(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|MF|，点M的横坐标是 3，则p .5.（2012 陕西，5 分）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 米，水面宽 4 米水位下降 1 米后，水面宽 米 6（2010 浙江，4 分）设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 7（2014 新课标全国，5 分）已知抛物线xyC8:2的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP4FQ，则|QF|()A.72 B.52 C3 D2 8（2014 新课标全国，5 分）设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为 30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.3 34 B.9 38 C.6332 D.94 6 9（2014 辽宁，5 分）已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.12 B.23 C.34 D.43 10（2013 新课标全国，5 分）设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28x Cy24x或y216x Dy22x或y216x 11（2012 山东，5 分）已知双曲线C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为 2，则抛物线C2的方程为()Ax28 33y Bx216 33y Cx28y Dx216y 12（2011 新课标全国，5 分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24 C36 D48 13（2011 辽宁，5 分）已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34 B1 C.54 D.74 14（2014 山东，14 分）已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3 时，ADF为正三角形 (1)求C的方程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标；ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 7 15（2014 陕西，13 分）如图，曲线C由上半椭圆C1：y2a2x2b21(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为32.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程 16（2013 湖南，13 分）过抛物线E：x22py(p0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1k22，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10，k20，证明：FMFN0）做倾斜角为 60的直线与曲线 C 相交于 A，B 两点，若点 F 始终在以线段 AB 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围；（3）过点 M（m，0）（m0）做直线与曲线 C 相交于 A，B 两点，问：是否存在一条垂直于x 轴的直线与以线段 AB 为直径的圆始终相切？若存在，求出所有 m 的值；若不存在，请说明理由.
