二项式定理练习.pdf

试卷第 1 页，总 3 页 一、单选题 1若随机变量的分布列如表所示，E()1.6，则ab()A.0.2 B.0.2 C.0.8 D.0.8 2已知袋中有 3 个白球，2 个红球，现从中随机取出 3 个球，其中每个白球计 1 分，每个红球计 2 分，记X为取出 3 个球的总分值，则E(X)()A.185 B.215 C.4 D.245 3（x2+3xy）5的展开式中，x5y2的系数为（）A.90 B.30 C.30 D.90 4已知51axx的展开式中各项系数的和为 32，则展开式中系数最大的项为()A.270 x1 B.270 x C.405x3 D.243x5 5在一个盒子中装有红、黄、白、绿四色的小球各3个,它们大小相同,现在从盒中任意摸出3个小球,每个小球被摸出的可能性都相等,则摸出的三个小球颜色都互不相同,这样的摸法种数为 A.36 B.108 C.216 D.648 7若(x-1)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a8(1+x)8,则 a6等于()A.112 B.28 C.-28 D.-112 9 从 3 名男生，2 名女生中选 3 人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（）A.310 B.25 C.12 D.35 10等比数列 na的公比为q，312,2aa a成等差数列，则q值为（）A.22 B.22 C.22或22 D.1或12 二、填空题 12若甲、乙两人从 6 门课程中各选修 3 门，则甲、乙所选修的课程中至多有 1 门相同的选法种数为_ 135212xx展开式中，2x项的系数为_ 14有6名学生做志愿者服务,将他们分配到图书馆、科技馆、养老院和火车站这四个地方去服务,每一个地方至少有一人,则不同的分配方案有_种（用数字作答）.1552axx展开式中常数项为 10，则实数a _ 16市内某公共汽车站 6 个候车位(成一排)现有 3 名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有 2 个连续空座位的候车方式的种数是_.17有编号分别为 1，2，3，4 的 4 个红球和 4 个黑球，从中取出 3 个，则取出的编号互不相同的概率是_ 18编号为 1,2,3,4 的四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为_ 试卷第 2 页，总 3 页 19省中医院 5 月 1 号至 5 月 3 号拟安排 6 位医生值班，要求每人值班 1 天，每天安排2 人若 6 位医生中的甲不能值 2 号，乙不能值 3 号，则不同的安排值班的方法共有_种 20安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 _种，学生甲被单独安排去金华的概率是_ 21数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是_ 22 袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球，2 个白球和 3 个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 24等差数列 na的前n项和为nS，1480,aSS，则12S_；满足0na 的n最大整数是_ 25已知 na是等比数列，且0na，243546225a aa aa a，则35aa_，4a的最大值为_ 26已知等差数列 na的前n项和为nS，若14kS，9kS，则ka _，1a的最大值为_ 28设等差数列 na的前n项和为nS，若675SSS，则0na 的最大n _，满足10kkS S的正整数k _ 29等比数列 na的前n项和为nS，已知11a，12,5a S成等差数列，则数列 na的公比q _ 一、单选题 1已知211+2nxxx的展开式中常数项为-42，则n（）A.10 B.8 C.12 D.11 2若12nxx展开式中含x项的系数为-80，则n等于（）A.5 B.6 C.7 D.8 4 从 3 名男生，2 名女生中选 3 人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（）A.310 B.25 C.12 D.35 5在一个盒子中装有红、黄、白、绿四色的小球各3个,它们大小相同,现在从盒中任意摸出3个小球,每个小球被摸出的可能性都相等,则摸出的三个小球颜色都互不相同,这样的摸法种数为 试卷第 3 页，总 3 页 A.36 B.108 C.216 D.648 6若2018220180122018113xaa xa xaxxR,则23201812320183333aaaa的值为 A.2 B.0 C.1 D.2 7某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（）A.A26A45种 B.A2654种 C.C2654种 D.C26A45种 9从7名同学（其中4男3女）中选出4名参加环保知识竞赛，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为（）A.34 B.31 C.28 D.25 10从 6 名团员中选出 4 人分别担任书记、副书记、宣传委员、组织委员四项职务，若其中甲、乙不能担任书记，则不同的任职方案种数是（）A.280 B.240 C.180 D.96 11将 3 本相同的语文书和 2 本相同的数学书分给四名同学，每人至少 1 本，不同的分配方法数有（）A.24 B.28 C.32 D.36 二、填空题 1252axx展开式中常数项为 10，则实数a _ 13在二项式321nxx的展开式中，只有第 4 项的系数最大，则展开式中3x 项的系数为_（用数字作答）14二项式561xx x展开式中的常数项是_ 16在6212xx的展开式中3x的系数为_ 18在32nxx的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_.19 某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是_ 224111xxx的展开式中3x的系数为_本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 1 页，总 10 页 参考答案 1B【解析】易知 a，b0,1，由 0.1ab0.11，得 ab0.8，又由 E()00.11a2b30.11.6，得 a2b1.3，解得 a0.3，b0.5，则 ab0.2.故选 B.2B【解析】由题意知，X的所有可能取值为 3,4,5，且 P(X3)3335110CC，P(X4)21323535C CC，P(X5)123235310C CC，所以 E(X)31104355310215.故选 B.3D【解析】523xxy的展开式中通项公式：52153rrrrTCyxx，令52r，解得3r ，32232622333333xxxxxxxx，52x y的系数35990C，故选 D【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1rn rrrnTC ab；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4B【解析】令 x1，得(a1)532，解得 a3，513xx展开式中共有 6 项，其中奇数项为正数，偶数项为负数，所以比较奇数项的系数，奇数项分别为 02C(3x)5243x5，25C(3x)321x=270 x，45C(3x)41x315x，所以系数最大的项为 270 x.故选 B.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数和问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。5B【解析】由题意可得，满足题意的摸法种数为：43 3 3 3=4 27=108种.本题选择 B选项.6D 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 2 页，总 10 页【解析】由二项式展开式的通项公式可得展开式的通项公式为：+1=(33)(1)=3372，展开式中含有常数项，则：372=0有正整数解，满足题意的最小的正整数为：=6,=7.本题选择 D选项.点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项 7A【解析】(x-1)8=(x+1)-28=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a8(1+x)8,a6=28C(-2)2=428C=112.本题选择 A 选项.8C【解析】(+1)(2 1)5的展开式中各项系数的和与无关，故令=1，可得展开式中各项系数的和为+1=2,=1，故(+1)(21)5=(+1)(2 1)5=(+1)(50(2)5(1)0+51(2)4(1)1+.+55(2)0(1)5)，故该展开式中的常数项为54 21=10，故选 C.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式+1=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9D【解析】由题得总的基本事件个数为53=10,事件 A 分三类，第一类：从三个男生中选两个男生和另外一个女生组合，有3211=3种方法；第二类：选除了甲以外的两个男生和女生乙，有一种方法；第三类：选两个女生，从除了甲以外的两个男生中选一个，有2221=2 种方法，共有 6 种方法，所以由古典概型的公式得()=610=35，故选 D.10C【解析】由题意得31222aaa化简得2420qq，解得22q，选 C.1160.【解析】二项式(+2)6的展开式的通项公式为+1=66(2)=266.令6 =4，则=2.展开式中42的系数为2262=4652=60 故答案为60.12200 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 3 页，总 10 页【解析】根据题意，分两种情况讨论：甲、乙所选的课程全不相同，有3363C C20种选法；甲、乙所选的课程有 1门相同，有122653C C C 180种选法 甲、乙所选的课程中至多有 1 门相同的选法共有 20180200种 故答案为：200.点睛：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手 (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决 1370【解 析】5122552122124xxxCxCx（）（）（）（），二 项 式5212xx展开式中，含2x项为2221024070 xxx，它的系数为 70 故答案为 70 141560【解析】可能的人数分配方案为：3+1+1+1或者2+2+1+1，采用方案3+1+1+1分配时，分配方案有6344种，采用方案2+2+1+1分配时，分配方案有624222 44种，不同的分配方案有6344+624222 44=1560种.点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”152【解析】52axx展开式的通项为55 5221552rrrrrrraTCxa C xx，又令5 50r，得1,r 将1r 代入可得，115102C aa，故答案为2.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1rn rrrnTC ab；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.1672【解析】根据题意，先把三名乘客全排列，有33A种排法，产生四个空，再将 2 个连续空座位和一个空座位插入四个空中，有24A种排法，则共有323472A A 种候车本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 4 页，总 10 页 方式 故答案为：72 1747【解析】8 个球，从中取出 3 个，共有3856C 种基本事件 其中取出的编号互不相同的有334232C 种基本事件，所以概率为3256 47 181724【解析】编号为 1,2,3,4 的四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，共有44=24 种基本事件，其中有两个球的编号与盒子的编号相同基本事件有（1，2，4，3），（1，4，3，2），（1，3，2，4），（4，2，3，1），（3，2，1，4），（2，1，3，4），共 6 种 其中有四个球的编号与盒子的编号相同基本事件有（4，3，2，1）因此至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为16+124=1724.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.1942;【解析】分两类(1)甲、乙同一天值班，则只能排在 1 号，有246C 种排法；(2)甲、乙不在同一天值班，有1143336C C 种排法，故共有 42 种方法 故结果为 42 20 150 775【解析】根据题意，按五名同学分组的不同分 2 种情况讨论：、五人分为 2、2、1 的三组，有2215312215C C CA 种分组方法，对应三项志愿者活动，有331590A 种安排方案，、五人分为 3、1、1 的三组，有3115212210C C CA种分组方法，对应三项志愿者活动，有本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 5 页，总 10 页 331060A 种安排方案，则共有9060150 种不同的安排方案；学生甲被单独安排去金华时，共有2231224241222214C CC C AAA种不同的安排方案，则学生甲被单独安排去金华的概率是14713075 21小乐，小强，小明【解析】其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌 2225【解析】试题分析：用12123,A B B C C C分别表示 1 个红球，2 个白球和 3 个黑球从袋中任取两个球，用列举法得所有的可能情况：1212312111213212223121323,AB ABAC ACACB B BC BCBC B C B CB C C C C C C C，共15 种，两球颜色一白一黑：111213212223,BC BCBC B C B CB C，共 6 种，所以所求概率为62155 考点：古典概型概率的计算 23 -14 4【解 析】由 2=6得 6 2=6+5+4+3=2(5+4)=0 5+4=0 21+7=0 由5544=2得52(1+5)542(1+4)4=12（5 4)=2 =4 所以1=14，故填（1）-14（2）4.24 0 6【解析】由48SS，可知670aa，所以11267121212022aaaaS，由10a 及670aa，所以0d，所以121161370,110,130SSaSa，即0na 的n最大整数是 6.填(1).0 (2).6。25 5 52【解析】243546225a aa aa a 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 6 页，总 10 页 2223355353522525,05naa aaaaaaa 22354354255242aaaa aa，即4a的最大值为52 26 5 4.【解析】15kkkaSS，因为1592kk aS，又k的最小值为 2，可知1a的最大值为 4.2732【解析】试题分析：2 2=0,=2，=1612,12+2=1612,+2=4,+=6，所以1+4=16(1+4)(+)=16(5+4)16 9=32.考点：基本不等式.28 6 12【解 析】依 题 意6650aSS，7760aSS，67750aaSS，则111116111102aaSa，11267121212022aaaaS，113137131302aaSa，所以12130S S，即满足10kkS S的正整数12k 292【解析】由题意得2125,2 11 5,2Saqq.30 3 48【解析】由等差数列的前项和公式得41+12 4 3=20，即2+6=20，解之得=3；所以6=61+12 6 5=3+45=48，应填答案3和48。314【解析】由等差数列的定义可得22+22(2+6)+(2+4)(2+8)=16，即422+242+322=16，也即22+62+82=4，则(2+2)(2+6)=4，所以46=4，应填答案4。本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 7 页，总 10 页 参考答案 1B【解析】设1nxx的展开式中的第 r+1项为1rT项为 211.rrnrrnTC x 当 n 为偶数时，令n-2r=0,得,2nr 令n-2r=-2，得2,2nr故 原 式 展 开 式 中 常 数 项 为 222222112142,nnnnnnCC 代入下面的选项检验得 n=8，显然当 n为奇数时，不存在常数项，故可得 n=8.故选 B.2A【解析】由二项式12nxx的展开式为 3211212rnrn rrrn rrrnnTCxC xx，令32123nrnr，即 22223331280,nnnnCnN，经验证可得5n，故选 A.点睛：根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或 确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解.本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.3D【解析】因为展开式中只有第 11 项的二项式系数最大,所以 n=20.二项式展开式的通项为+1=20(3)20(13)=2032022043，由 题 得 2043 为 整 数，所 以 =0,3,6,9,12,15,18.故选 D.4D【解析】由题得总的基本事件个数为53=10,事件 A 分三类，第一类：从三个男生中选两个男生和另外一个女生组合，有3211=3种方法；第二类：选除了甲以外的两个男生和女生乙，有一种方法；第三类：选两个女生，从除了甲以外的两个男生中选一个，有2221=2 种方法，共有 6 种方法，所以由古典概型的公式得()=610=35，故选 D.5B【解析】由题意可得，满足题意的摸法种数为：343 3 3427108C 种.本题选择 B 选项.6C【解析】令0 x 可得：01a，令3x 可得：2320180123201833330aaaaa，则：2320181232018033331aaaaa .本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 8 页，总 10 页 本题选择 C 选项.7C【解析】因为有且只有两个年级选择甲博物馆，所以参观甲博物馆的年级有26C种情况，其余年级均有5种选择，所以共有45种情况，根据分步计数乘法原理可得共有2465C 种情况，故选 C.8D【解析】令=0，得0=24=16，令=1得0+1+2+3+4=34=81，所以1+2+3+4=65 故选D 9A【解析】从7名同学选出4名同学共有47C35种情况，其中，选出的4人都是男生时，有1种情况，因女生有3人，故不会全是女生，所以4人中，即有男生又有女生的选法种数为35 134 故选A 10B【解析】根据题意，从 6人中任选 4 人，担任 4 种不同的职务，有 A46=360 种不同的情况，其中甲担任书记的有A53=60种，乙担任书记的有A53=60种；故若其中甲、乙不能担任书记，则不同的任职方案种数 3606060=240 种；故选 B.11B【解析】第一类,先选 1人得到两本语文书,剩下的 3人各得一本,有4131=12种，第二类,先选 1人得到一本语文书和一本数学书,其余 3 人各一本书,有4131=12种，第三类,先选 1人得到两本数学书,剩下的 3 人各得一本,有41=4种，根据分类计数原理可得，12+12+4 种，故选：B.122【解析】52axx展开式的通项为55 5221552rrrrrrraTCxa C xx，又令5 50r，得1,r 将1r 代入可得，115102C aa，故答案为2.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1rn rrrnTC ab；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.1320【解析】因为在二项式321nxx的展开式中，只有第 4 项的系数最大，所以展开式有 7本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 9 页，总 10 页 项，所以n=6.所以展开式的通项为 6318 516621,1853,3,rrrrrrTCxC xrrx 所以展开式中3x项的系数为3620.C 故填 20.145【解析】二项式561xx x展开式的通项为 315305622155kkkkkkTCxxCx，令153002k，得4k，即二项式561xx x展开式中的常数项是455C.1560.【解析】二项式(+2)6的展开式的通项公式为+1=66(2)=266.令6=4，则=2.展开式中42的系数为2262=4 652=60 故答案为60.16160【解析】展开式的通项为：666 31662122rrrrrrrTCxCxx，令6333rr ，所以系数为：3362160C 故答案为：160 1715【解析】二项式(1)的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，=6，则展开式中的通项公式为+1=6（1）632 令632=0，求得=4，故展开式中的常数项为64（1）2=15.，故答案为 15.18112【解析】由题意可得：2256,8nn，结合二项式展开式通项公式可得：8 483318822rrrrrrrTCxC xx，令8403r可得：2r，则常数项为：22824 28112C.1918【解析】根据题意得到这个学生有两种选择，其一是从物理化学生物中选两门，剩下的里面选一门，或者从物理化学生物中选一门，剩下的里面选两门，故情况为2112333318.C CC C 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 10 页，总 10 页 故答案为：18.20 1 60【解析】令=0 得：1=0+1+2+6 因为(2+1)6=1+2(+1)6，所以+1=6(1)62(+1)2=62(1)6222=60.点睛：赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(+),(2+)(,)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令=1即可；对形如(+)(,)的式子求其展开式各项系数之和，只需令=1即可.216【解析】(+2)=(1)+3 232=135(1)2=15 =6.(负舍)点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第+1项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第+1项，由特定项得出值，最后求出其参数.221【解析】4432111114641xxxxxxxxx，所以展开式中3x的系数为 6 1 41