新北师大初一数学平方差和完全平方公式.pdf
平方差和完全平方公式及其应用 一、知识梳理 1.平方差公式：公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即：22()()ab abab 特征：左边：两个二项式的积，其中一项相同，另一项互为相反数 右边：相同一项的平方减去互为相反数一项的平方。注意：A找符合公式特征的才能运用公式 B公式中 a、b 具有广泛性 C公式的逆用：22()()abab ab D注意公式的变形。添括号：括号前面是“+，括到括号内的各项不变号，括号前面是“-，括到括号内的各项全部变号。即：()abcabc ；()abcabc 2.完全平方公式：公式：两个数的和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的二倍。即：222()2()abaabb完全平方和公式 222()2()abaabb完全平方差公式 特征：左边：两个数和或差的平方 右边：是一个三项式，其中两项为两数的平方且符号相同，另一项为这两数积的二倍，且符号与左边相同。完全平方式：一个多项式能改写成平方的形式。3.乘法公式的运用：1正向运用：22()()ab abab；222()2abaabb 2逆向运用：22()()abab ab；2222()aabbab 3乘法公式的变式应用：2222()244()4abaabbabababab 22()()4ababab 2222()()2()ababab；22()()4ababab 2222()()2()2ababababab 22()()22ababab；2222111()()2()2aaaaaa 2222()222abcabcabbcac 2222221()()()2abcabbcacabbcac 2222221()()()2abcabbcacabbcac 3完全平方公式的非负性：非负性:2222()0aabbab 最值定理:a、b 同号，那么：222()abab，当且仅当时ab时，取等。4乘法公式的变式应用拓展：33223()33abaa babb；33223()33abaa babb 3322()()abab aabb；3322()()abab aabb 二、典例剖析 专题一：平方差公式 例 1：计算以下各整式乘法。位置变化(73)(37)xyyx 符号变化(27)(27)mnmn 数字变化98 102 系数变化(4)(2)24nnmm 项数变化(32)(32)xyz xyz公式变化2(2)(2)(4)mmm 变式拓展训练【变式 1】2244()()()()yxxy xyxy 【变式 2】22(2)(4)33bbaa 【变式 3】22222210099989721 专题二：平方差公式的应用 例 2：计算2200420042005 2003的值为多少？变式拓展训练【变式 1】22()()xyzxyz 【变式 2】2301(3021)(3021)【变式 3】(25)(25)xyzxyz 【变式 4】a、b 为自然数，且40ab，1求22ab的最大值；2求ab的最大值。专题三：完全平方公式 例 3：计算以下各整式乘法。位置变化：22()()xyyx 符号变化：2(32)ab 数字变化：2197 方向变化：2(32)a ：项数变化：2(1)xy ：公式变化22(23)(46)(23)(23)xyxyxyxy 变式拓展训练【变式 1】224,2abaabb则的值为（）A.8 B.16 C.2 D.4【变式 2】江苏中考221()4.,()_2ababab则【变式 3】云南中考225.6,xyxyxy 则的值为（）A.1 B.13 C.17 D.25【变式 4】烟台中考222(1)()32x xxyxyxy，求的值 专题四：完全平方公式的运用 例 4：4,2xyxy，求：22xy；44xy；2()xy 变式拓展训练【变式 1】2242411310,;xxxxxx 已知求 【变式 2】225,2,4xyx yxyxyxy已知满足求的值。三、创新探究名校、名书、名题、中考、培优、竞赛 1杭州市中考题babbaba,0524a22则 2.“祖冲之杯邀请赛试题26(1)xx展开后得1211121110a xa xa xa，那么 121086420_aaaaaaa 3.江苏省竞赛题(1)(2)(3)(4)Pxxxx，(1)(2)(3)(4)Qxxxx，那么QP的结果为 4.杭州如果41224|11|abacb，那么cb32a 5.(2021 七中)如果，那么 ；6.“祖冲之杯邀请赛试题n432114321132112111 7北京市竞赛题19971997199719972222,bayxbayxbayx求证：且若 8.2021 培优方数。，则证明是一个完全平若22221996199619951995a 9.安徽竞赛精选a=123456789，b=123456785，c=123456783，求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值
