高二期末考试试卷.pdf

试卷第 1 页，总 4 页 高二期末考试试卷 1 1 若集合1,1A,2,0B，则集合ByAxyxzz,|中的元素的个数为（）A 5 B.4 C.3 D.2 2 复数1 31iZi的实部是 （）A 2 B1 C1 D4 3 在等差数列 na中，1315310aaa，则5a的值为（）A 2 B3 C4 D5 4 一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为（）A 12 B32 C1 D13 5 条件:12p x，条件:2q x，则p是q的（）A 充分非必要条件 B必要不充分条件 C 充要条件 D既不充分也不必要的条件 6 运行如图所示框图的相应程序,若输入,a b的值分别为2log 3和3log 2,则输出 M的值是（）A.0 B.1 C.2 D.1 7 已知双曲线2222:1(,0)xyCa bab的左、右焦点分别为1F，2F,过2F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为H,若2F H的中点M在双曲线C上,则双曲线C的离心率为（）试卷第 2 页，总 4 页 A 2 B3 C2 D3 8 ABC 的 三 个 内 角A，B，C所 对 的 边 分 别 为a，b，c，aAbBAa2cossinsin2，则ab（）A 2 B2 2 C3 D2 3 9 设 第 一 象 限 内 的 点(,)x y满 足 约 束 条 件26020 xyxy，若 目 标 函 数(0,za xb y a0)b 的最大值为 40，则51ab的最小值为（）（A）256 （B）94 （C）1 （D）4 10已知)(xf是 R 上的偶函数，若将)(xf的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图像，若,12f则(1)(2)(3).(2014)ffff=（A）0 （B）1 （C）1 （D）1004.5 11已知向量a（3，1），b（0，1），c（k，3）若)2(ba与c共线，则 k _.12观察下列式子：2222221311511171,1,1222332344,根 据 以 上 式 子 可 以 猜 想：2222111112342011_;13函数2221()431xxf xxxx，的图象和函数()ln1g xx的图象的交点个数是 。14如图所示，在一个边长为 1的正方形AOBC内，曲线2yx和曲线yx围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 .15若对于任意实数 x不等式|2|4xxm 恒成立，则实数m的取值范围是：；16如图，已知Rt ABC的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3cm，4cm，以 AC 为直径作试卷第 3 页，总 4 页 圆与斜边 AB 交于点 D，则 BD 的长为 ；A B D C O 17已知极坐标的极点在直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的正半轴重合，曲线 C 的参数方程为cossinxy（为参数），直线l的极坐标方程为cos()63点 P 在曲线 C 上，则点 P 到直线l的距离的最小值为 18设函数2()2cossin 2()f xxxa aR（1）求函数()f x的最小正周期和单调递增区间；（2）当0,6x时，()f x的最大值为 2，求a的值，并求出()()yf x xR的对称轴方程 19（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥ABCDP中,PD 底面ABCD,且底面ABCD为正方形,GFEPDAD,2分别为CBPDPC,的中点 （1）求证:/AP平面EFG;（2）求平面GEF和平面DEF的夹角.20（本 小题满 分 12 分）已 知等差 数列 na的公差大 于 0,且53,aa是方程045142xx的两根,数列 nb的前 n 项的和为nS，且nnbS211.（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）记nnnbac,求证：nncc1.21（本小题满分 12 分）某高校在 2011年自主招生考试成绩中随机抽取 100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第 1 组75，80），第 2 组80，85），第 3 组85，90），第 4组90，95），第 5 组95，100得到的频率分布直方图如图所示 试卷第 4 页，总 4 页 （1）分别求第 3，4，5 组的频率；（2）若该校决定在笔试成绩高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，（）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；（）学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官 D 的面试，设第 4 组中有名学生被考官 D 面试，求的分布列和数学期望.22（本题满分 13 分）设椭圆C：22221(0)xyabab的离心率12e，右焦点到直线1xyab的距离217d，O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于,A B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离 23（本题满分 14 分）已知函数()ln1f xxax。（1）若曲线()yf x在点1,(1)Af处的切线l与直线4330 xy垂直，求实数a的值；（2）若()0f x 恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：111ln(1)231nnNn 评卷人 得分 四、新添加的题型 75 80 85 90 95 100 分数 频率组距 0.01 0.02 0.04 0.06 0.07 0.03 0.05 本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 1 页，总 11 页 参考答案 1 C 【解析】试题分析：因为1,1A，2,0B,则321,121,101,101，所以ByAxyxzz,|3,1,1，所以集合ByAxyxzz,|中的元素的个数是 3.考点：集合的概念与集合元素的性质.2 C 【解析】试题分析：复数1 31iZi)1)(1()1)(31(iiiiii21242 所以复数 z 的实部是-1 考点：复数的代数形式与运算.3 A 【解析】试题分析：在等差数列 na中，131531 0aaa，所以10510)2(345555adadada，所以5a2.考点：等差数列的性质 4 A 【解析】试题分析：由三视图可知，棱锥以俯视图为底面，以主视图的高为高1h,所以2312121）（底S 故2131hsV底，所以答案为 A.考点：由三视图求几何体的体积.5 A 【解析】试题分析：因为2|1|x，解得31xx或，所以p：13x，q：2x，2,1,3且2,1,3，所以p是q的充分非必要条件.考点：充分，必要及充要的判断.6 C 本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 2 页，总 11 页【解析】试 题 分 析：因 为3l o g2 1，12log3，所 以3l o g22l o g3，所 以212l o g3l o g32M，答案为 C.考点：程序框图.7 A 【解析】试题分析：由题意得双曲线2222:1(,0)xyCa bab的一条渐近线方程是xaby，则HF2方程为)(0cxbay代入渐 近线 方程xaby 可得),(2cabca，故HF2的中点)2,2(2cabcacM中点在 双曲 线上，所以,144)(2222222cbbaacac所以222ac，所以2ac，所以双曲线C的离心率2.考点：双曲线的标准方程及简单性质的应用.8 A 【解析】试 题 分 析：因 为 ABC，aAbBAa2cossinsin2，由 正 弦 定 理 得AABBAsin2cossinsinsin22,AAAAsin2)cos(sinsin22,又 因 为1c o ss i n22AA，所以ABsin2sin,得ab2，所以2ab.考点：正弦定理及同角三角函数的基本关系.9 B 【解析】试题分析：画不等式表示的平面区域，当直线0zbyax)0,0(ba过直线02 yx与直线062 yx的交点)10,8(时，目标函数byaxz)0,0(ba取得最大40，即40108ba，即2054 ba，而51ab49145)545(452054)15(baabbaba 故选 B 本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 3 页，总 11 页 考点：基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值.10C 【解析】试 题 分 析：由 题 意)(xf是R 上 的 偶 函 数，)1(xf是 奇 函 数，故 有)1()1()()(xfxfxfxf且 所以),1()1(xfxf则),()2(xfxf所以)()4(xfxf，所以函数的周期是4，)1(xf是奇函数，所以0)10(f即0)1(f，因为函数)(xf是 R 上的偶函数，所以0)1(f，由周期性可得0)3(f，由,12f1)2(f 所以)2()2()2()3()2()1()2()3()2()1(ffffffffff 1)2()1(0ff.考点：函数的奇偶性及周期性的应用.111 【解析】试题分析：由题意(2)(3,1)2(0,1)(3,3)ab，c（k，3）,因为)2(ba与c共线，所以0333k，解得1k.考点：向量的加减数乘运算及向量共线知识.1220114021【解析】试题分析：因为2122232112，3132353121122，4142474131211222 我们可以推断nnn12141312112222 所以222211111234201120114021.考点：归纳推理.132 【解析】本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 4 页，总 11 页 试题分析：在同一坐标系内作出)(xfy 和)(xgy 的图象,对于1,341,22)(2xxxxxxf,当1x时，它的图象是直线22 xy位于直线1x左侧的部分；当1x时，它的图象是抛物线342xxy位于直线1x右侧部分 对于)1ln()(xxg，它的图象是对数函数xyln的图象右移一个单位而得，经过定点)0,2(且在直线1x右侧，以1x为渐近线呈增函数趋势 当1x时，点)0,2(位于抛物线张口以内，且)1ln()(xxg经过该点 在直线1x右侧，两图象有两个交点 因为函数)1ln()(xxg上所有的点都在1x右侧，故当1x时，两图象没有公式点 综上所述，函数)(xfy 图象和函数)1ln()(xxg的图象有且仅有两个交点 故答案为：2 考点：基本初等函数的图象与性质 1431 【解析】试题分析：由定积分可求得阴影部分的面积为31|)3132()(10323210 xxdxxxS，又因为正方形的面积为 1，所以31P.考点：利用定积分求面积及几何概型知识.152m【解析】本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 5 页，总 11 页 试题分析：由题意可得xmx4|2|恒成立，故函数|2|mxy的图像在直线xy 4的上方，如图所示，则有42m解得2m.考点：含绝对值不等式的解法.16516【解析】试题分析：题意得5AB由连接 CD,则ABCD,由射影定理得,2ABBDBC可得542 BD,解得516BD.考点：射影定理.175 【解析】试题分析：由曲线 C 的参数方程为cossinxy（为参数）得 曲线 C 的普通方程122 yx 由直线l的极坐标方程为cos()63，可得63sinsin3coscos 即62321yx，所以直线l的方程0123yx，因为圆 C 的圆心为)0,0(，半径为 1，所以直线l到圆心 C 的距离6)3(1|12|22d 则点 P 到直线l的距离的最小值为516.考点：把极坐标方程与参数方程化为普通方程，直线与圆的最小距离.本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 6 页，总 11 页 18（1）T,)(8,83zkkk,（2）21a,zkkx,22【解析】试题分析：（1）求三角函数的最小正周期一般化成xAysin，xAycos，xAytan形式，利用周期公式即可.（2）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成xAysin形式，再xAysin的单调区间，只需把x看作一个整体代入xysin相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方.，（3）（2）求解较复杂三角函数的最值时，首先化成xAysin形式，在求最大值或最小值,寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；（4）求函数xAysin或xAycos的对称轴方程时，可以把x看做整体，代入xysin或xycos相应的对称轴即可 试题解析：（1）2()2cossin 21 cos2sin 2f xxxaxxa 2sin(2)14xa 则()f x的最小正周期2T，且当222()242kxkkZ时()f x单调递增 即3,()88xkkkZ为()f x的单调递增区间（写成开区间不扣分）（2）当0,6x时724412x，当242x，即8x时sin(2)14x 所以max()21212f xaa 2()4228kxkxkZ为()f x的对称轴 考点：三角函数的化简；求三角函数周期，最值，单调性及对称轴.19证明见解析【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 7 页，总 11 页 要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（1）如图，以D为原点,以,DA DC DP为方向向量 建立空间直角坐标系,xyzD 则)0,0,2(),1,0,0(),1,1,0(),0,2,1(),0,2,0(),2,0,0(AFEGCP.)11,1(),0,1,0(),2,0,2(EGEFAP.设平面EFG的法向量为(,)nx y z 0,0,n EFn EG即.0,0zyxy.0,yzx 令1x 则(1,0,1)n.1(2)0 0 1 20,.n APnAP 又AP平面/,APEFG 平面.EFG （2）底面ABCD是正方形,DCAD 又PD平面ABCD .ADPD又DCDPD,AD平面PCD 向量DA是平面PCD的一个法向量,)0,0,2(DA又由（1）知平面EFG的法向量(1,0,1)n.22cos,.2|2 2DA nDA nDAn 二面角DEFG的平面角为045.考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题.20（1）nnnbna32,12；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）根据等差数列的首项和公差求通项公式；根据等比数列的首项和公比求通项公式；注意题中限制条件；（2）等比数列的判定方法：定义法：若qaann1是不为零常数，则 na是等比数列；中项公式法：若数列 na中，221nnnaaa，则 na是等比数列；通项公式法：若数列通项公式可写成的常数为不等于0,1qcqcann；（3）证明不等式本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 8 页，总 11 页 作差法是一个最常用的方法.试题解析：（1）a3，a5是方程045142xx的两根，且数列na的公差 d0，a3=5，a5=9，公差.23535aad.12)5(5ndnaan 又当 n=1时，有 b1=S1=1.32,2111bb 当).2(31),(21,2111nbbbbSSbnnnnnnnn有时 数列bn 是等比数列，.31,321qb.3211nnnqbb （2）由（1）知,3)12(2,3)12(211nnnnnnncnbac .03)1(83)12(23)12(2111nnnnnnnncc.1nncc 考点：求等差，等比数列的通项公式并判断一个数列是等比数列，用作差法证明不等式.21（1）第三组的频率为 0.3；第四组的频率为 0.2；第五组的频率为 0.1.（2）（）1451（）分布列 0 1 2 P 52 158 151 数学期望32【解析】试题分析：（1）在频率分布直方图，小长方形的面积是表示数据落在小组内的频率，它的高是频率与组距的比；（2）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（3）当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（4）数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，（5）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（6）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（4）求解离散随机变量分布列首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值公式进行计算.本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 9 页，总 11 页 试题解析：（1）第三组的频率为 0.065=0.3；第四组的频率为 0.045=0.2；第五组的频率为 0.025=0.1.（2）（）设 M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试 P（M）=330128CC=1451 （）)210()(26242、iCCCiPii 0 1 2 P 52 158 151 32152158E 考点：频率分布直方图，概率，分布列及数学期望.22（1）22143xy，（2）2 217【解析】试题分析：（1）求椭圆的方程，用待定系数法求出22,ba的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1）11,22cea，右焦点(,0)c到直线1xyab的距离217d，则22217bcabab，且221bc，所以224,3ab，所以椭圆C的的方程是：22143xy（2）设直线l：ykxm，那么：2234120 xyykxm，则222(43)84120kxkmxm，21212228412,4343kmmxxxxkk 又因为直线l与椭圆C交于,A B两点，以AB为直径的圆过原点O，12120 x xy y 本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 10 页，总 11 页 1212()()0 x xkxm kxm，221212(1)()0kx xkm xxm 2222222(1)(412)804343kmk mmkk，化简得221217mk，即22 2171mk 所以O到直线l的距离为2 217.考点：（1）求椭圆的标准方程;（2）直线与椭圆相交的综合问题.23（1）34a（2）1.a（3）证明见解析【解析】试题分析：利用导数的几何意义求曲线在点1,(1)Af处的切线方程，注意这个点的切点.（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）maxxfaxfa恒成立，（2）minxfaxfa恒成立（3）证明不等式，注意应用前几问的结论.试题解析：（1）函数的定义域为0,，所以 11fa 又切线l与直线4330 xy垂直，从而，314a解得,（2）若0a，则 10,fxax则 f x在0,上是增函数 而 11,0fa f x 不成立，故0.a 若0a，则当10,xa时，10fxax；当1,xa时，10.fxax 所以 f x在10,a上是增函数，在1,a上是减函数,所以 f x的最大值为1ln.faa 要使 0f x 恒成立，只需ln0a，解得1.a （3）由（2）知，当1a 时，有 0f x 在0,上恒成立，且 f x在0,1上是增函axxf1)(43a本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 11 页，总 11 页 数，10f所以ln1xx在0,1x上恒成立.令1nxn，则1ln1,111nnnnn 令1,2,3.,nn则有 11211ln,ln,.,ln.223311nnn 以上各式两边分别相加，得12111lnln.ln.231231nnn 即1111ln.,1231nn 故111ln1.231nn 考点：（1）求切线方程；（2）函数在闭区间上恒成立的问题；（3）不等式证明.