数学高考导数难题导数零点问题导数新颖整理.pdf

.含参导函数零点问题的几种处理方法 方法一：直接求出,代入应用 对于导函数为二次函数问题,可以用二次函数零点的根本方法来求.1因式分解求零点 例 1 讨论函数)(12)21(31)(23Raxxaaxxf的单调区间 解析：即求)(xf的符号问题.由)2)(1(2)12()(2xaxxaaxxf可以因式分 方法二：猜出特值,证明唯一 对于有些复杂的函数,有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的,这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点,再证明该函数的单调性而验证其唯一性.例 4 讨论函数axxaxeaxxfx23)1(2131)1()(,Ra,的极值情况 解析：)1)()1()()(2xeaxaxaxeaxxfxx,只能解出)(xf的一个零点为a,其它的零点就是01 xex的根,不能解.例 52011 高考某某理科设函数Raxaxxf,ln)()(2 假如ex 为)(xfy 的极值点,某某数a 某某数a的取值 X 围,使得对任意的,3,0(ex恒有24)(exf成立注：e为自然对数,方法三：锁定区间,设而不求 对于例 5,也可以直接设函数来求,当10 x时,对 于 任 意 的 实 数a,恒 有240)(exf成 立 当ex31,由 题 意,首 先 有,4)3ln(3()3(22eeaeef）解得)3ln(23)3ln(23eeeaeee由()()(2ln1)afxxaxx,但这时会发现0)(xf 的解除了ax 外还有xax1ln2=0 的解,显然无法用特殊值猜出.令()2ln1ah xxx,注意到01)1(ah,0ln2)(aah,且23ln(3)(3)2ln(3)12ln(3)133eeeaheeeee =12(ln3)03 ln(3)ee.故0)(xf在),1(a与1,3e至少还有一个零点,又()h x在0,+内单调递增,所以函数()h x在3,1(e内有唯一零点,但此时无法求出此零点怎么办.我们可以采取设而不求的方法,记此零点为0 x,如此ax 01.从而,当0(0,)xx时,()0fx；当0(,)xx a时,()fxa；当(,)xa时,()0fx,即()f x在0(0,)x内单调递增,在0,()x a内 单 调 递 减,在(,)a 内 单 调 递 增.所 以 要 使2()4f xe对(1,3xe恒 成 立,只 要.2200022()()ln4,(1)(3)(3)ln(3)4,(2)f xxaxefeeaee成立.000()2ln10ah xxx,知002lnaxx3 将 3 代入 1 得232004ln4xxe,又01x,注意到函数23lnxx在1,+内单调递增,故01xe.再由 3 以与函数xxxln2在 1.+内单调递增,可得13ae.由 2解得,2233ln(3)ln(3)eeeaeee.所以233ln(3)eeaee综上,a 的取值 X 围为233ln(3)eeaee.例 6 函数|ln)(bxxaxxf是奇函数,且图像在)(,(efee 为自然对数的底数处的切线斜率为 3（1）求ba,的值（2）假如Zk,且1)(xxfk对任意1x恒成立,求k的最大值.例 7 2009 高考全国理科设函数 21f xxaInx有两个极值点12xx、,且12xx,I求a的取值 X 围,并讨论 f x的单调性；II证明：21 224Inf x 方法四：避开求值,等价替换.对于有些函数的零点问题,可能用方法一、二、三都无法解决,这是我们可以考虑回避求其零点.避开方法：放缩不等式 例 8 设函数21)(axxexfx 假如0a,求)(xf的单调区间 假如当,0)(,0 xfx时求a的取值 X 围.与例 8 类似,下面的 2010 高考全国理科的最后一题,也是这样的处理方法.设函数 1xf xe 证明：当x-1时,1xf xx；设当0 x 时,1xf xax,求a的取值 X 围