角平分线、垂直平分线性质专项练习_1.pdf

1 5.角平分线、垂直平分线 知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。精典例题：【例题】如图，已知在ABC 中，ABAC，B300，AB 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，求证：CF2BF。分析一：要证明 CF2BF，由于 BF 与 CF 没有直接联系，联想题设中 EF 是中垂线，根据其性质可连结 AF，则 BFAF。问题转化为证 CF2AF，又BC300，这就等价于要证CAF900，则根据含 300角的直角三角形的性质可得 CF2AF2BF。分析二：要证明 CF2BF，联想B300，EF 是 AB 的中垂线，可过点 A 作 AGEF 交 FC于 G 后，得到含 300角的 RtABG，且 EF 是 RtABG 的中位线，因此 BG2BF2AG，再设法证明 AGGC，即有 BFFGGC。例题图 1 FECBA 例题图 2 GFECBA 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作 ADBC 于 D，则 BDCD，考虑到B300，不妨设 EF1，再用勾股定理计算便可得证。以上三种分析的证明略。例题图 3 DFECBA 问题图 321EDCBA 探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，ABC 中，AD 是角平分线。求证：ACABDCBD。分析：要证ACABDCBD，一般只要证 BD、DC 与 AB、AC 或 BD、AB 与 DC、AC 所在三角形相似，现在 B、D、C 在同一条直线上，ABD 与ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式ACABDCBD中，AC 恰好是 BD、DC、AB 的第四比例项，所以考虑过 C作 CEAD 交 BA 的延长线于 E，从而得到 BD、CD、AB 的第四比例项 AE，这样，证明ACABDCBD就可以转化为证 AEAC。1 证明：过 C 作 CEAD 交 BA 的延长线于 E CEADE13221E3AEAC CEADAEABDCBD ACABDCBD（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种选出一个填入后面的括号内（）数形结合思想 转化思想 分类讨论思想 答案：转化思想（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知 AD 是ABC 中BAC 的角平分线，AB5 cm，AC4 cm，BC7 cm，求 BD 的长。答案：935cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。跟踪训练：1 一、填空题：1、如图，A520，O 是 AB、AC 的垂直平分线的交点，那么OCB 。2、如图，已知 ABAC，A440，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则DBC 。3、如图，在ABC 中，C900，B150，AB 的中垂线 DE 交 BC 于 D 点，E 为垂足，若 BD8，则 AC 。4、如图，在ABC 中，ABAC，DE 是 AB 的垂直平分线，BCE 的周长为 24，BC10，则AB 。5、如图，EG、FG 分别是MEF 和NFE 的角平分线，交点是 G，BP、CP 分别是MBC 和NCB的角平分线，交点是 P，F、C 在 AN 上，B、E 在 AM 上，若G680，那么P 。二、选择题：1、如图，ABC的角平分线 CD、BE 相交于点 F，且A600，则BFC 等于（）A、800 B、1000 C、1200 D、1400 2、如图，ABC 中，12，34，若D360，则C 的度数为（）A、820 B、720 C、620 D、520 3、如图ABC 的外角平分线 CEAB，中线 AF 分ABC 的周长为 23 两部分，若ABC 的周长为 30cm，则它的三边长分别是（）A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm C、8 cm、8 cm、14cm 或 12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对 4、如图，RtABC 中，C900，CD 是 AB 边上的高，CE 是中线，CF选择第 4 题图 EF DCBA第 1 题图 OCBA第 2 题图 NMDCBA第 4 题图 EABCD中垂线、中线、角平分线填空第 5 题图 GPMEBNCFA选择第 1 题图 FEDCBA选择第 2 题图 4321DCBA选择第三题 ABCDEF第 3 题图 DEBCA 1 是ACB 的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（）A、0 组 B、2 组 C、3 组 D、4 组 5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 三、解答题：1、如图，RtABC 的A 的平分线与过斜边中点 M 的垂线交于点 D，求证：MAMD。2、在ABC 中，ABAC，D、E 在 BC 上，且 DEEC，过 D 作 DFBA 交 AE 于点 F，DFAC，求证：AE 平分BAC。3、如图，在ABC 中，B，C600，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，BD26，AEBC于点 E，求 EC 的长。4、如图，在 RtABC 中，ACB900，ACBC，D 为 BC 的中点，CEAD，垂足为 E，BFAC 交 CE 的延长线于点 F，求证 AB 垂直平分 DF。第 2 题图 EFDCBA第 1 题图 MDCBA第 3 题图 EFDCBA第 4 题图 EFDCBA 1 参考答案 一、填空题：1、380；2、240；3、4；4、14；5、680 二、选择题：C B C D B 三、解答题：1、证明：过 A 作 ANBC 于 N，则B+C=B+BAN=90 C=BAN M 是 BC 的中点 AM=CM CAM=C=BAN AD 是A 的平分线 BAD=CAD DAN=MAD AN/DM ADM=DAN=MAD MA=MD 2、证明：延长 FE 到 G，使 EGEF，连结 CG，DEF=CEG，DE=CE DEFCEG DF=CG，DFG=G DFAC AC=CG CAG=G=DFG DFBA BAG=DFG=CAG AE 平分BAC 3、连结 AD，DF 为 AB 的垂直平分线，ADBD26，BDAB 1 ADE450，AE22AD26226 又C600 EC32363AE 4、证明：CAD+ADC=BCF+ADC=90 CAD=BCF ACD=CBF=90，AC=BC ACDCBF CD=BF CD=BD BD=BF DBA=ABF=45 AB 垂直平分 DF